12.2.2 直方图 初中七年级数学教学设计

12.2.2直方图初中七年级数学教学设计一、教材分析与课标定位本节内容选自人教版七年级数学下册第十章数据的收集、整理与描述第二节第二课时。学生在前面已经学习了统计表、条形图、折线图、扇形图等描述数据的基本方法，对数据的收集与整理有了初步体验。直方图是描述连续型数据分布情况的常用统计工具，在日常生活和科学研究中有着广泛应用，也是初中阶段学生必须掌握的四种统计图之一。义务教育数学课程标准（2022年版）在“统计与概率”领域对第三学段（7~9年级）提出明确要求：经历收集、整理、描述和分析数据的活动，了解数据加工处理的基本方法；会制作扇形统计图，能用统计图直观、有效地描述数据；体会样本与总体的关系，知道可以用样本数据推断总体特征。直方图作为描述数据分布的重要工具，是达成上述目标的关键载体。本节教学不仅要让学生学会画直方图，更重要的是体会用直方图描述数据分布特征的过程，感悟数据中蕴含的信息，培养数据观念。二、学情分析七年级学生已经具备一定的统计知识基础，能够制作简单的统计图表，并对数据的意义有了初步感悟。但在认知特点上，他们仍以具体形象思维为主，抽象逻辑思维正在发展之中。对于“组距”“频数”“频数分布”等概念的建立，需要充分的感性材料支撑。同时，学生在将连续型数据进行分组处理时，容易出现组数划分不合理、边界归属混乱等典型问题，需要在教学过程中重点突破。此外，七年级学生好奇心强、乐于参与实践活动，喜欢在动手操作中学习数学。教师应充分利用这一特点，设计贴近学生生活的数据情境，让学生在收集、整理、描述、分析数据的完整过程中，自然建构直方图的相关知识。三、教学目标基于课程标准、教材内容和学生实际，确定以下三维教学目标：（一）知识与技能目标理解频数、组距、组数等基本概念，明确直方图与条形图的区别与联系；掌握画直方图的步骤，能根据实际问题收集数据、确定组距和组数、列频数分布表、绘制频数分布直方图；能读懂直方图，从图中获取数据分布的信息。（二）过程与方法目标经历数据的收集、整理、描述和分析全过程，体会统计思想方法；通过自主探究与合作交流，积累画直方图的活动经验，发展数据观念和几何直观素养。（三）情感态度与价值观目标感受数学与生活的密切联系，增强用数据说话的意识；在小组合作中培养团结协作精神；通过分析数据分布特征，体会统计在决策中的作用。四、教学重点与难点教学重点：频数分布直方图的绘制步骤与读图方法。频数分布表和直方图是描述数据分布的核心工具，学生只有掌握画图的基本流程，才能进一步理解数据分布的意义。教学难点：组距和组数的确定方法；直方图与条形图的本质区别。组距的选择直接影响数据分布的呈现效果，具有较大灵活性；而直方图中各长方形连续排列的特点与条形图的离散排列在视觉上容易混淆，需要从数据类型的角度深入理解。五、教学方法与学法指导教学方法上采用“情境引入—自主探究—合作交流—归纳提升”的教学模式，综合运用启发式教学法、讨论法和演示法。在学法指导上，引导学生通过观察、猜想、操作、验证等数学活动主动建构知识，鼓励学生用自己的语言描述数据分布规律，培养数学表达能力。六、教学过程（一）创设情境，激趣导入上课伊始，教师利用多媒体展示一组学生的身高数据，并提出问题：“学校要举办广播操比赛，需要为全班同学统一采购运动服。服装厂提供了以下尺码：140~145cm、145~150cm、150~155cm、155~160cm、160~165cm、165~170cm。如果我们班有40名同学，每种尺码大约需要准备多少套衣服呢？”学生独立思考后自由发言。有的学生提出数一数每个范围内的人数，有的学生提出直接将身高数据排列后统计。教师在肯定学生想法的基础上进一步追问：“用我们之前学过的条形图能否清楚地看出每个身高段的人数呢？如果数据很多、范围很广，怎样整理才能让信息更加清晰明了？”设计意图：通过“购买校服”这一贴近学生生活的情境，激发学生的学习兴趣和探究欲望。让学生意识到，当数据较多且连续分布时，需要一种新的统计工具来处理，从而自然引出直方图学习的必要性。（二）自主探究，建构概念教师出示某班50名同学的身高数据（单位：cm），数据如下：158162165168170155160175172163167169171174159161164166173168157163170165162169176158166172160167171159164175168161173165156170174163158169167172166171教师引导学生思考：要清楚地看出这些同学身高的分布情况，可以怎样处理这些数据？学生小组讨论后汇报。教师归纳学生的方案，引导得出以下步骤：第一步：计算最大值与最小值的差。这批数据中最大值是176，最小值是155，它们的差是176−155=21，说明身高的变化范围是21cm。第二步：决定组距与组数。教师讲解：如果取组距为3cm，那么组数为21÷3=7，可以考虑分为7组。如果取组距为2cm，那么组数为21÷2=10.5，可以分为11组。组距越小，组数越多，数据被分得越细。教师引导学生思考：“组距取多少合适呢？组数太多或太少会有什么影响？”学生讨论后得出：组数太多，数据过于分散，看不出集中趋势；组数太少，数据过于集中，丢失细节信息。通常当数据在50个以内时，可以按照数据个数的多少分成5~10组。教师示范：这里取组距为3cm，数据分成7组。那么各组的范围怎样确定呢？第三步：列频数分布表。教师介绍“频数”的含义：每个小组内数据的个数叫做频数。教师组织学生以小组为单位，合作完成频数统计，并选派代表汇报结果。教师将结果汇总到黑板上，得到如下频数分布表：身高分组（cm） 划记 频数155≤x＜158 正一 6158≤x＜161 正 5161≤x＜164 正正 10164≤x＜167 正正 9167≤x＜170 正正 10170≤x＜173 正 5173≤x＜176 正一 5合计 — 50教师特别强调边界问题：“当数据正好等于158时，应该归入哪一组呢？”引导学生明确“分组时要注意不重不漏”，即每个数据只能属于一个组，所有数据都要被包含进去。此处规定“上限不在内”，即每个小组只包括下限，不包括上限。第四步：画频数分布直方图。教师示范在坐标系中画出横轴和纵轴，横轴表示身高，纵轴表示频数。以每个小组的组距为底、频数为高，画出连续排列的长方形，形成直方图。教师在黑板上边示范边讲解，同时用多媒体同步展示画图过程。完成后，教师引导学生观察直方图，发现数据的分布规律：大部分同学的身高集中在161~167cm之间，身高特别高和特别矮的同学比较少，整体分布呈现中间高、两边低的形态。设计意图：通过完整的探究活动，让学生经历直方图的产生过程，理解频数、组距、组数等核心概念。在动手操作中积累基本活动经验，培养学生的数据观念和合作意识。（三）对比分析，深化理解教师展示一幅条形图（展示某班学生最喜爱的运动项目分布情况）和刚才画出的直方图，引导学生观察两者的区别与联系。学生通过观察、讨论，逐步发现以下区别：第一，条形图用横向排列的条形表示各类别数据的多少，各条形之间有空隙；直方图各长方形之间没有空隙，是连续排列的。第二，条形图描述的是离散型数据，各项目之间相互独立；直方图描述的是连续型数据，各组之间界限相邻。第三，条形图的横轴表示不同的类别，直方图的横轴表示数据的变化范围。第四，条形图的纵轴表示各类别的数量，直方图的纵轴表示频数。教师进一步追问：“为什么直方图各长方形之间没有空隙呢？”引导学生从连续数据的特点出发理解：身高是一个连续变量，我们为了处理方便将其分组，实际上数据是连续变化的，所以各组之间应是连续的，没有明确的分界。教师还可以补充说明：当组距相同时，直方图中各长方形的面积与频数成正比，这也是直方图的一个重要特征。设计意图：通过对比分析，帮助学生区分直方图与条形图，理解两种统计图各自适用的数据类型和场景。这样的对比有助于学生形成系统化的知识结构，避免概念混淆。（四）例题精讲，巩固方法教师出示教材中的例1：为了参加全校各年级之间的广播操比赛，七年级准备从63名同学中挑选身高差不多的40名同学参加比赛。为此收集到这63名同学的身高（单位：cm）数据如下：158158160168159159151158159168158154158154169158158158159167170153160160159159160149163163162172161153156162162163157162162161157157164155156165166156154166164165156157153165159157155164156教师引导学生按步骤解决问题。先求最大值与最小值的差：最大值是172，最小值是149，差为172−149=23，说明身高的变化范围是23cm。再决定组距与组数。学生讨论后，教师引导取组距为3cm，则23÷3≈7.67，可以将数据分成8组。如果取组距为4cm，则23÷4≈5.75，可以分成6组。教师带领学生分别尝试两种分组方式，列频数分布表并画直方图，比较两种分组方式的效果。分组方式一：组距为3cm，分为8组身高分组（cm） 划记 频数149≤x＜152 一 1152≤x＜155 正一 6155≤x＜158 正正 10158≤x＜161 正正正 15161≤x＜164 正正 10164≤x＜167 正正 9167≤x＜170 正正 10170≤x＜173 正 4合计 — 63分组方式二：组距为4cm，分为6组身高分组（cm） 频数149≤x＜153 2153≤x＜157 15157≤x＜161 20161≤x＜165 15165≤x＜169 8169≤x＜173 3合计 63教师组织学生比较两种分组方式下的直方图，讨论哪种方式更能清楚地反映数据的分布特征。学生通过观察发现：组距为3cm时，数据分布呈现出中间高、两边低的明显特征，能够比较精细地看出多数同学身高集中在155~164cm之间；组距为4cm时，图形较为简洁，但细节有所损失。教师进一步提问：“如果需要挑选40名身高差不多的同学参加比赛，怎样选比较合理？”学生基于直方图分析，提出可以选身高在155~167cm范围内的同学，这个范围包含的频数为10+15+10+9=44人，超过40人，可以从中选出40名。教师对学生的分析给予肯定，并强调：直方图不仅能描述数据分布，还能帮助我们在实际问题中做出决策。这正是统计的价值所在。设计意图：通过完整的例题教学，巩固画直方图的四个基本步骤。通过两种分组方式的对比，让学生体会组距选取对数据呈现效果的影响，培养灵活运用知识的能力。同时，将统计知识与实际问题解决相结合，体现数学的应用价值。（五）课堂练习，内化提升练习一：教材中的“做一做”。某校七年级100名学生的体重数据如下（单位：kg），请用直方图描述这组数据的分布情况。教师出示数据后，请学生独立完成以下任务：（1）求最大值与最小值的差；（2）确定组距与组数；（3）列频数分布表；（4）画频数分布直方图。学生独立完成后，同桌互评，教师选取有代表性的作品投影展示，引导学生从组距选择是否合理、分组是否不重不漏、直方图绘制是否规范等角度进行评价。练习二：根据给出的直方图回答问题。教师呈现一幅关于某城市一周空气质量指数的频数分布直方图，提出问题：（1）该图一共分了几组？组距是多少？（2）空气质量指数在哪个范围内天数最多？（3）如果空气质量指数不超过100为优良，那么这一周优良天数为多少天？学生独立思考后回答，教师根据学生的答题情况及时反馈。设计意图：通过不同层次、不同类型的练习，帮助学生巩固所学知识。练习一侧重操作技能，练习二侧重读图能力，两者结合促进学生对直方图的全面理解。（六）综合应用，拓展思维教师出示一个开放性问题：学校要举办运动会，需要给参加800米跑步项目的同学编号。已知参加该项目的有30名同学，他们的最好成绩（单位：秒）如下：175183190168192185178195188172180196205170186193182179198176184189171200187194181177203191请同学们以小组为单位，设计一个合理方案，用直方图描述这些成绩的分布情况，并根据直方图提出建议：如果要将运动员分为三组比赛，怎样分组比较公平？各小组在讨论中需要确定组距和组数，制作频数分布表和直方图。在展示环节，各组汇报本组的方案和结论。有的小组选择组距为5秒，分为8组；有的小组选择组距为10秒，分为4组。教师引导学生比较不同方案的优缺点，讨论哪种方案更能清楚地反映成绩分布特征。对于分组比赛的问题，学生结合直方图的形状，提出按成绩从快到慢平均分为三组，或者按直方图中自然形成的集中区域进行分组的方案。教师组织学生评估各方案的合理性，引导学生运用数据决策。设计意图：综合应用环节旨在培养学生的数据意识和决策能力。开放性的问题设计，让学生体会统计方法的多样性，学会根据实际需要选择合适的统计策略。小组合作的形式促进学生之间的思维碰撞和相互学习。（七）归纳总结，构建体系教师引导学生回顾本节课的学习过程，从知识和思想方法两个维度进行总结。知识层面：本节课学习了频数、组距、组数等概念；掌握了画频数分布直方图的基本步骤——计算最大值与最小值的差、决定组距与组数、列频数分布表、画频数分布直方图；理解了直方图与条形图的区别，知道直方图适用于连续型数据的分布描述。方法层面：经历“收集数据—整理数据—描述数据—分析数据”的统计过程，体会了数形结合的思想方法；在确定组距和组数时，学会了根据数据特征和实际需要进行合理选择。教师用思维导图的形式在黑板一侧展示本节课的知识结构，帮助学生构建系统的认知框架。设计意图：通过总结归纳，帮助学生梳理知识脉络，形成系统化的认知结构。思维导图的使用促进知识的可视化，加强记忆和理解。（八）布置作业，分层设计基础作业：教材练习题。要求学生独立完成频数分布表的填写和直方图的