高考数学一轮复习第七章立体几何初步、空间向量与立体几何第41节空间直线、平面的垂直课件

第41节空间直线、平面的垂直课标要求考题分析从立体几何定义和基本事实出发,借助长方体,通过直观感知,了解空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直关系.年份Ⅰ卷(一卷)Ⅱ卷(二卷)2023年−T202024年−T172025年T9,T17−主干梳理•基础落实【知识梳理】1.直线与平面垂直(1)直线和平面垂直的定义一般地,如果直线l与平面α内的_____一条直线都垂直,我们就说直线l与平面α互相垂直.任意(2)判定定理与性质定理类型文字语言图形表示符号表示判定定理如果一条直线与一个平面内的______________垂直,那么该直线与此平面垂直

性质定理垂直于同一个平面的两条直线_____

两条相交直线平行[注意点]证明线面垂直时,平面内的两条直线必须是相交直线.2.直线和平面所成的角(1)定义:平面的一条斜线和它在平面上的_____所成的角,叫作这条直线和这个平面所成的角.一条直线垂直于平面,则它们所成的角是____;一条直线和平面平行,或在平面内,则它们所成的角是0°.(2)范围:_____.射影90°

3.二面角(1)定义:从一条直线出发的____________所组成的图形叫作二面角.(2)二面角的平面角:若有①O∈l,②OA⊂α,OB⊂β,③OA⊥l,OB⊥l,则二面角α−l−β的平面角是_______.(3)二面角的平面角θ的范围:___________.两个半平面∠AOB0°≤θ≤180°4.平面与平面垂直(1)定义一般地,两个平面相交,如果它们所成的二面角是_________,就说这两个平面互相垂直.直二面角(2)判定定理与性质定理类型文字语言图形表示符号表示判定定理如果一个平面过另一个平面的_____,那么这两个平面垂直

性质定理两个平面垂直,如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的_____,那么这条直线与另一个平面垂直

垂线(𝐥⊂𝛃)交线(𝐥⊂𝛃)[注意点]在性质定理中要注意两点:一是“在平面内”,二是“垂直于交线”.【常用结论】1.若两条平行线中的一条垂直于一个平面,则另一条也垂直于这个平面.2.一条直线垂直于两个平行平面中的一个,则这条直线与另一个平面也垂直.3.两个相交平面同时垂直于第三个平面,它们的交线也垂直于第三个平面.【知能自测】类型回源教材澄清盲点结论应用题号3,4121.(易错辨析)正确的画“√”,错误的画“×”.(1)直线l与平面α内的无数条直线都垂直,则l⊥α.()(2)设m,n是两条不同的直线,α是一个平面,若m∥n,m⊥α,则n⊥α.()(3)若直线a⊥平面α,直线b∥α,则直线a与b垂直.()(4)若两平面垂直,则其中一个平面内的任意一条直线垂直于另一个平面.()(5)α,β,γ是三个不同的平面,若α⊥γ,α⊥β,则β⊥γ.()×√√××2.(多选题)(2025·全国一卷)在正三棱柱ABC−A1B1C1中,D为BC中点,则(

)A.AD⊥A1C B.BC⊥平面AA1DC.AD∥A1B1 D.CC1∥平面AA1D√√【解析】选BD.取B1C1的中点D1.A:若AD⊥A1C,又AD⊥AA1,可得AD⊥平面ACA1,所以AD⊥AC,矛盾,A错误;B:AD⊥BC,BC⊥AA1,可得BC⊥平面AA1D,B正确;C:若AD∥A1B1,又AB∥A1B1,这样过点A有两条直线都与A1B1平行,矛盾,C错误;D:CC1∥AA1,CC1⊄平面AA1D,所以CC1∥平面AA1D,D正确.3.(必修第二册P152练习T2变式)已知PD垂直于菱形ABCD所在的平面,连接PA,PB,PC,AC,BD,则一定互相垂直的平面有__对,与AC垂直的直线有__条.

43【解析】由PD⊥平面ABCD,得平面PAD⊥平面ABCD,平面PDB⊥平面ABCD,平面PDC⊥平面ABCD.因为AC⊥BD,AC⊥PD,BD∩PD=D,所以AC⊥平面PDB,所以平面PAC⊥平面PDB,故互相垂直的平面有4对.与AC垂直的直线有PD,BD,PB,共3条.

考点探究•核心突破考点一

直线与平面垂直的判定与性质角度1

直线与平面垂直的判定【例1】如图1,等腰梯形ABCD中,AD∥BC,AB=AE=BE=CD=2,BC=ED=4,O为BE的中点,F为BC的中点.将△ABE沿BE折起到△A'BE的位置,如图2.证明:CD⊥平面A'OF.【证明】在等腰梯形ABCD中,AD∥BC,BC=ED=4,所以四边形BCDE是平行四边形,所以BE∥CD.因为AB=AE=BE=CD=2,所以△ABE为等边三角形,则∠BAE=60°.因为O为BE中点,所以BE⊥A'O.在等腰梯形ABCD中,可得∠BAE=∠CDE=∠CBE=60°.

【方法总结】证明线面垂直的常用方法(1)判定定理;(2)垂直于平面的传递性(a∥b,a⊥α⇒b⊥α);(3)面面平行的性质(a⊥α,α∥β⇒a⊥β);(4)面面垂直的性质.

【证明】如图,连接DP,过点D作DH⊥AP,垂足为H,由CD是圆O1的直径,得CP⊥DP,由AD是圆柱侧面的母线,得AD⊥平面CDP,而CP⊂平面CDP,则AD⊥CP.又AD,DP⊂平面ADP,AD∩DP=D,因此CP⊥平面ADP,而DH⊂平面ADP,则DH⊥CP.

角度2

直线与平面垂直的性质【例2】如图,在四棱锥P-ABCD中,四边形ABCD是矩形,AB⊥平面PAD,AD=AP,E是PD的中点,M,N分别在AB,PC上,且MN⊥AB,MN⊥PC.证明:AE∥MN.【证明】因为AB⊥平面PAD,AE⊂平面PAD,所以AE⊥AB.又AB∥CD,所以AE⊥CD.因为AD=AP,E是PD的中点,所以AE⊥PD.又CD∩PD=D,CD,PD⊂平面PCD,所以AE⊥平面PCD.因为MN⊥AB,AB∥CD,所以MN⊥CD.又因为MN⊥PC,PC∩CD=C,PC,CD⊂平面PCD,所以MN⊥平面PCD,所以AE∥MN.【方法总结】直线与平面垂直性质的解题策略(1)判定定理与性质定理的合理转化是证明线面垂直的基本思想,证明线线垂直则需借助线面垂直的性质.(2)在解题中要重视平面几何的知识,特别是正、余弦定理及勾股定理的应用.(3)重要结论要熟记:经过一点与已知直线垂直的直线都在过这点且与已知直线垂直的平面内.此结论可帮助解决动点的轨迹问题.【对点训练】如图所示,已知AB⊥平面ACD,DE⊥平面ACD,AD=DE=2AB,F为CD的中点.求证:AF∥平面BCE.

【方法总结】面面垂直的两种判定方法与一个转化(1)两种方法:面面垂直的定义;面面垂直的判定定理(a⊥β,a⊂α⇒α⊥β).(2)一个转化:在已知两个平面垂直时,一般要用性质定理进行转化,在一个平面内作交线的垂线,转化为线面垂直,然后进一步转化为线线垂直.

又BB'∥AA',所以AD⊥BB'.因为BC∩BB'=B,所以AD⊥平面BCC'B'.又C'D⊂平面BCC'B',所以AD⊥C'D.因为AD∩DE=D,AD,DE⊂平面ADE,所以C'D⊥平面ADE.又C'D⊂平面AC'D,所以平面AC'D⊥平面ADE.

因为AB,AC⊂平面ABCD,且AB∩AC=A,所以AF⊥平面ABCD.又AD⊂平面ABCD,所以AF⊥AD.因为AB,AF⊂平面BAF,且AB∩AF=A,所以AD⊥平面BAF.又AN⊂平面BAF,所以AD⊥AN.又因为AD∥BC,所以BC⊥AN.又N是BF中点,AF=AB,所以AN⊥BF.因为BF,BC⊂平面BCEF,且BF∩BC=B,所以AN⊥平面BCEF.又因为CF⊂平面BCEF,所以AN⊥CF.【方法总结】面面垂直性质的应用(1)面面垂直的性质定理是把面面垂直转化为线面垂直的依据,运用时要注意“平面内的直线”.(2)若两个相交平面同时垂直于第三个平面,则它们的交线也垂直于第三个平面.

√

(2)如图,四棱柱ABCD−A1B1C1D1是正四棱柱,侧棱长为1,底面边长为2,E是BC的中点,求平面C1DE与平面CDE所成二面角的正切值.【解析】过点C作CM⊥DE,垂足为点M,连接C1M,因为C1C⊥平面ABCD,所以DE⊥C1C.又C1C∩CM=C,所以DE⊥平面CC1M,所以DE⊥C1M,

【方法总结】求线面角、二面角的常用方法(1)线面角的求法:找出斜线在平面上的射影,关键是作垂线、找垂足,把线面角转化到一个三角形中求解.(2)二面角的大小求法:二面角的大小用它的平面角来度量.平面角的作法常见的有定义法和垂面法.注意利用等腰三角形和等边三角形的性质.

√【解析】选A.设O'为下底面圆的圆心,连