高考数学一轮复习第七章立体几何初步、空间向量与立体几何第44节第3课时空间距离课件

第3课时空间距离课标要求考题分析能用向量方法解决点到直线、点到平面、相互平行的直线、相互平行的平面的距离问题.体会向量法在研究空间距离问题中的作用.年份Ⅰ卷(一卷)Ⅱ卷(二卷)2023年−−2024年−−2025年−−主干梳理•基础落实

即两异面直线间的距离,等于两异面直线上分别任取两点的向量和公垂线方向向量的数量积的绝对值与公垂线的方向向量模的比值.

【知能自测】1.(易错辨析)正确的画“√”,错误的画“×”.(1)直线l上两点到平面α的距离相等,则l∥α.(

)(2)平面α上不共线的三点到平面β的距离相等,则α∥β.(

)(3)点到直线的距离就是该点与直线上任一点连线的长度.(

)类型回源教材澄清盲点题号2,31,4×√×

4.如图,在正四棱柱ABCD−A1B1C1D1中,AA1=2AB=2,E和F分别是线段AC1与BD上的动点,则EF间的最小距离为__________.

考点探究•核心突破

√

(2)如图,在棱长为1的正方体ABCD−A'B'C'D'中,已知E为CC'上一点,且2CE=EC',在平面CDD'C'内作EF∥A'B,交C'D'于点F,则直线EF与A'B之间的距离为__________.

【方法总结】向量法求点到直线的距离的方法方法一:(1)求直线的方向向量;(2)计算所求点与直线上某一点所构成的向量在直线的方向向量上的投影向量的长度;(3)利用勾股定理求解.方法二:在直线上设出垂线段的垂足的坐标,利用共线和垂直求出垂足坐标,再求向量的模.方法三:(1)求直线的方向向量;(2)计算所求点与直线上某一点所构成的向量与直线的方向向量夹角的余弦值,进而求出正弦值;(3)求出所求点与直线上某一点所构成的向量的模,再乘以夹角的正弦值,即得所求.[提醒]将平行直线间的距离转化为点到直线的距离求解.

√

考点二

点面距及其应用【例2】已知正方形ABCD的边长为1,PD⊥平面ABCD,且PD=1,E,F分别为AB,BC的中点.

(2)求直线AC到平面PEF的距离.【解析】(2)因为E,F分别为AB,BC的中点,所以EF∥AC,又EF⊂平面PEF,AC⊄平面PEF,所以AC∥平面PEF,故直线AC到平面PEF的距离等于点A到平面PEF的距离.

【方法总结】求点面距的步骤(1)建系:建立恰当的空间直角坐标系.

√

考点三

异面直线之间的距离【例3】在四棱锥P−ABCD中,PD⊥平面ABCD,底面ABCD为矩形,PD=DC=4,DA=3,M为PC的中点,则异面直线PA与BM之间的距离为____________.

【解析】因为PD⊥平面ABCD,所以PD⊥AD,PD⊥CD,因为底面ABCD为矩形,所以AD⊥CD,所以DA,DC,DP两两垂直.建立如图所示的空间直角坐标系,

【方法总结】求异面直线间的距离的方法(1)几何法使用情境异面直线的公垂线段存在或比较容易作出解题步骤证线段AB为异面直线a,b的公垂线段→求出AB的长即可(2)向量法使用情境异面直线的公垂线段不存在或不容易作出,根据已知条件比较容易建立坐标系,写出点的坐标解题步骤【对点训练】如图1,在菱形ABCD中,∠B=60°,BE=EC=1.沿着