高考数学一轮复习第五章平面向量、复数第29节平面向量的数量积课件

第29节平面向量的数量积课标要求考题分析1.理解平面向量数量积的概念及其物理意义,会计算平面向量的数量积.2.了解平面向量投影的概念以及投影向量的意义.3.会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.4.能用坐标表示平面向量的数量积、会表示两个平面向量的夹角.5.能用坐标表示平面向量垂直.年份Ⅰ卷(一卷)Ⅱ卷(二卷)2023年T3T132024年T3T32025年−T12主干梳理•基础落实

【知识梳理】1.向量的夹角(1)定义条件结论________叫作向量a与b的夹角∠AOB

0≤∠AOB≤π0π

2.平面向量的数量积条件两个非零向量a与b的夹角为θ结论数量__________叫作向量a与b的数量积(或内积)记法记作a·b,即a·b=__________规定零向量与任一向量的数量积为__|a||b|cosθ|a||b|cosθ03.投影向量条件作图结论投影投影向量|a|cosθ

e4.向量数量积的运算律交换律a·b=____分配律(a+b)·c=________数乘结合律(λa)·b=λ(a·b)=_______[注意点](1)数量积不满足消去律,即a·b=a·c(a≠0)不能得出b=c;(2)数量积不满足乘法结合律,即一般情况下,(a·b)·c≠a·(b·c).b·aa·c+b·ca·(λb)5.平面向量数量积的坐标运算已知非零向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),a与b的夹角为θ.结论符号表示坐标表示模|a|=_________夹角cosθ=_______________a⊥b的充要条件a·b=0______________|a·b|与|a||b|的关系|a·b|≤|a||b|,当且仅当a∥b时等号成立

x1x2+y1y2=0

【知能自测】类型回源教材澄清盲点结论应用题号2,314

√×√×

120°

(2,2)考点探究•核心突破考点一

平面向量的数量积的运算【例1】(1)(2025·八省联考)已知向量a=(0,1),b=(1,0),则a·(a−b)=(

)A.2 B.1 C.0 D.−1【解析】选B.a·(a−b)=(0,1)×(−1,1)=1.√

√

【方法总结】求两个向量的数量积的三种方法【对点训练】1.(2023·北京高考)已知向量a,b满足a+b=(2,3),a−b=(−2,1),则|a|2−|b|2=(

)A.−2 B.−1 C.0 D.1【解析】选B.向量a,b满足a+b=(2,3),a−b=(−2,1),所以|a|2−|b|2=(a+b)·(a−b)=2×(−2)+3×1=−1.√

√

√

√

角度2

求平面向量的夹角【例3】易错对对碰(1)设a=(−3,m),b=(4,3),若a与b的夹角是钝角,则实数m的取值范围是______________________.

(2)设a=(−3,m),b=(4,3),若a与b的夹角是锐角,则实数m的取值范围是________.

【解析】(2)由a与b的夹角是锐角,则a·b=(−3,m)·(4,3)=−12+3m>0,且a与b的夹角不等于0°,解不等式得m>4,所以实数m的取值范围是m>4.(4,+∞)

√

角度3

平面向量的垂直问题【例4】(1)(一题多法)已知单位向量a,b的夹角为60°,则在下列向量中,与b垂直的是(

)A.a+2b B.2a+bC.a−2b D.2a−b√

√

√

√

(2)(2026·荆州模拟)已知向量|a|=2,b在a上的投影向量为−2a,则a·b=(

)A.−8 B.8 C.4

D.−4【解析】选A.由|a|=2得|−2a|=4,根据b在a上的投