高考数学一轮复习第七章立体几何初步、空间向量与立体几何第44节第2课时两平面的夹角课件

第2课时两平面的夹角课标要求考题分析能用向量方法解决两平面的夹角问题,并描述解决这一类问题的程序,体会向量法在研究空间角问题中的作用.年份Ⅰ卷(一卷)Ⅱ卷(二卷)2023年T18T202024年T17T172025年−T17主干梳理•基础落实

|cos<n1,n2>|2.二面角的大小(1)如图1,AB,CD是二面角α−l−β的两个面内与棱l垂直的直线,则二面角的大小θ=__________.

(2)如图2、图3,n1,n2分别是二面角α−l−β的两个半平面α,β的法向量,则二面角的大小θ满足|cosθ|=____________.[注意点]在空间几何体的直观图中,有时不容易直观确定二面角的大小,若条件中未明确给出,一般以锐二面角为主.|cos<n1,n2>|

【知能自测】1.(易错辨析)正确的画“√”,错误的画“×”.(1)二面角的平面角为θ,则两个平面的法向量的夹角也是θ.(

)(2)二面角α−l−β的平面角与平面α,β的夹角相等.(

)(3)二面角的范围是(0,π).(

)类型回源教材澄清盲点题号2,41,3×××

√

3.若锐二面角α−a−β的两个半平面α,β的法向量n1,n2所成角为157°,则锐二面角α−a−β的大小是__________.

【解析】由题意得,锐二面角α−a−β与<n1,n2>互补,所以锐二面角α−a−β的大小是23°.23°

考点探究•核心突破

【方法总结】利用空间向量法求解二面角的步骤(1)建立合适的空间直角坐标系,写出二面角对应的两个半平面中对应的点的坐标.(2)设出法向量,根据法向量垂直于平面内两条相交直线的方向向量,求解出平面的法向量.注:若半平面为坐标平面,直接取法向量即可.(3)计算(2)中两个法向量夹角的余弦值,结合立体图形中二面角的实际情况,判断二面角是锐角还是钝角,从而得到二面角的余弦值.[提醒](1)建系时若垂直关系不明显,则应先给出证明.(2)分别在二面角的两个半平面内找到与棱垂直且以垂足为起点的两个向量,则这两个向量的夹角的大小就是二面角的大小.【对点训练】(2025·全国二卷)如图,四边形ABCD中,AB∥CD,∠DAB=90°,F为CD中点,E在AB上,EF∥AD,AB=3AD,CD=2AD,将四边形EFDA沿EF翻折至四边形EFD'A',使得平面EFD'A'与平面EFCB所成的二面角为60°.(1)证明:A'B∥平面CD'F;【解析】(1)由EB∥FC,FC⊂平面FCD',得EB∥平面FCD',由A'E∥D'F,D'F⊂平面FCD',得A'E∥平面D'FC,A'E∩EB=E,故平面A'EB∥平面CFD',因为A'B⊂平面A'EB,所以A'B∥平面CD'F.

【解题分析】信息读取信息联想1PA⊥底面ABCD,AD⊥PB垂直关系:联想到AD⊥平面PAB,AD⊥AB,证明AD∥BC23证明:AD∥平面PBC将线面平行的证明转化为证明AD∥BC信息读取信息联想4联想二面角的常用方法:坐标法和几何法5求AD将此信息转化为求点D的位置(1)若AD⊥PB,证明:AD∥平面PBC;【标准答案】(1)因为PA⊥底面ABCD,AD⊂平面ABCD,所以PA⊥AD. [2分][①基础思维]线线垂直:由垂直关系联想到AD⊥平面PAB,AD⊥AB.又AD⊥PB,PB∩PA=P,PB,PA⊂平面PAB,所以AD⊥平面PAB.又AB⊂平面PAB,所以AD⊥AB.[②进阶思维]线面平行:由勾股定理逆定理可得BC⊥AB,从而AD∥BC,再根据线面平行的判定定理即可证明.因为BC2+AB2=AC2,所以BC⊥AB, [4分]所以AD∥BC,因为AD⊄平面PBC,BC⊂平面PBC,所以AD∥平面PBC. [6分]

法二:因为AD⊥DC,所以以AD,DC所在直线为x轴、y轴,以过点D的平面ABCD的垂线为z轴,建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz.[③基础思维]坐标法建系:找两两垂直的三条直线并证明.

[8分]

【多想少算】路径好的建系方法能简化计算第(2)问,以A为原点建系,因为直角△ADC的斜边AC=2,以∠DAC=θ为参数,容易写出点D的坐标,计算过程相对简单.

【解题反思】1.解决立体几何的常用方法(1)坐标法:关键是选择合适的方式对动点坐标设参,主要有利用三点共线“设位置”和利用点的坐标特点“设坐标”两种方式.(2)几何法:关键是“作、证、算”.2.解决本题的得分关键(1)需要调用平面几何方法、线面平行的判定定理、三垂线定理、二面角相关的概念对条件进行分析.(2)第(1)问的得分点是AD⊥AB和BC⊥AB的证明,第(2)问的得分点是三垂线定理的证明、法向量的求解及二面角余弦值的表示.(3)在书写步骤时抓住采分点,能很好地简化步骤、获得高分.

【方法总结】求最值、范围问题的常用思路(1)几何法在变化过程中判断点、线、面在何位置时,所求的量有相应的最大、最小值,即可求解.(2)代数法通过建系或引入变量,根据有关公式建立函数,进而利用代数方法求函数的最值或范围.【对点训练】(2025·泉州模拟)如图所示的几何体是由圆锥SO1与圆柱O1O组成的组合体,其中圆柱的轴截面ABCD是边长为2的正方形,圆锥的高SO1=2,M为圆柱下底面圆周上异于A,B的点.(1)求证:SD∥平面MOC;【解析】(1)连接SO,设圆锥的底面所在平面为α,则SO1⊥α,OO1⊥α,所以S,O1,O三点共线.从而SO∩DC=O1,所以S,D,C