3.3 二项式定理 讲义（含答案）-2021-2022学年高二上学期数学人教B版（2019）选择性必修第二册

3.3二项式定理（新课）知识梳理二项式定理基本概念的区分（1）二项式展开式有（2）二项式系数：（3）项的系数：包括符号和前面的常数（4）通项：二项式系数的性质（1）对称性：与首末两端等距离的两个二项式系数相等。即（2）当时，二项式系数逐渐增大；当时，二项式系数逐渐减小。（3）二项式系数的最大值当是偶数时，中间一项（第项）的二项式系数最大，最大值；当是奇数时，中间两项（第项和第项）的二项式系数相等，且同时取到最大值，最大值为或。（4）各二项式系数的和的展开式的各二项式系数的和等于，即；二项展开式中奇数项和偶数项的二项系数的和相等，为。常用结论（1）（2）（3）赋值法（4）各项系数的问题：，则各项系数之和为。奇数项系数之和；偶数项系数之和。典例解析考点一：通项公式的应用例1．设二项式的展开式中常数项为，则_____.变式1.展开式中的系数？变式2．的有理项共有（）项A．4 B．5 C．6 D．8考点二：二项式的性质例2．已知的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为（）A．B． C． D．变式．已知关于(eq\r(x)＋eq\f(a,\r(3,x)))n的展开式的二项式系数之和为32，常数项为80，则a的值为()A．1B．±1C．2 D．±2变式2.设为正整数，展开式的二项式系数最大值为，展开式的二项式系数的最大值为，若，则.考点三：赋值法的应用例3．设二项式的展开式的各项系数和为，所有二项式系数和为，若，则=_____.变式1.若的展开式中各项系数之和为64，则展开式中的常数项为多少？变式2．的展开式中的奇数次幂项的系数之和为，则a=_____。例4.若，则=_____.变式1.,.变式2.若多项式________，________.考点三：含有三项的二项式例5．求的展开式中的一次项系数？变式1.求的常数项？变式2．的展开式中，的系数为（）A．10 B．20 C．30 D．60 考点四：两个二项式相乘例6．求展开式中的系数。变式1．的展开式中的系数为_____.(用数字填写答案)变式2．已知的展开式中的系数为5，则（）A． B． C． D．考点五：二项定理的逆用例7.若能被7整除，则的值可能为（）A.B.C.D.变式1．(2016·山东师大附中月考)设复数x＝eq\f(2i,1－i)(i为虚数单位)，则C20171x＋C20172x2＋C20173x3＋…＋C20172017x2017＝()A．iB．－IC．－1＋i D．1＋i变式2.=_____.考点六：杨辉三角例8．杨辉是我国南宋末年的一位杰出的数学家.在他著的《详解九章算法》一书中，画了一张表示二项式展开后的系数构成的三角形数阵（如图所示），称做“开方做法本源”，现在简称为“杨辉三角”，它是杨辉的一大重要研究成果.它比西方的“帕斯卡三角形”早了393年.若用表示三角形数阵的第行第个数，则（）A．5050 B．4851 C．4950 D．5000变式1．我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》就给出了著名的杨辉三角，由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的.以下关于杨辉三角的猜想中错误的是（）A．由“与首末两端‘等距离’的两个二项式系数相等”猜想：Cnm＝Cnn－mB．由“在相邻的两行中，除1以外的每一个数都等于它‘肩上’两个数的和”猜想：C．由“第n行所有数之和为2n”猜想：Cn0＋Cn1＋Cn2＋…＋Cnn＝2nD．由“111＝11，112＝121，113＝1331”猜想：115＝15101051变式2．下图三角形数阵为杨辉三角：按照图中排列的规律，第行（）从左向右的第3个数为______（用含的多项式表示）．巩固练习1.若的二项展开式中第5项为常数项，则=_____.2．已知的展开式中含的项的系数为30，则（）A． B． C．6 D．-63．在的展开式中，的系数为_____.4．的展开式中的系数是_____.(用数字作答)5．的展开式中的系数为_____.（用数字作答）6.若二项式的展开式中的系数是84，则实数（）A．2 B.． C．1 D．7．的展开式中的系数是（）A． B． C．5 D．208．若的展开式中项的系数为20，则的最小值为_____.9．若的展开式中的系数为，则实数_____.10．展开式中的常数项为（）A．80 B．－80 C．40 D．－4011．求二项式的展开式中的常数项？12．在二项式的展开式中倒数第3项的系数为45，求含有的项的系数？13．在的展开式中，含项的系数为（）A． B． C． D．14．已知的展开式中第6项与第8项的二项式系数相等，则含项的系数是____.15．，则___________，___________.16．二项展开式，则________；________．17．已知，若，则________，________.18．若，则______.19．若，，则_____.20．的展开式中的系数为_____________.21．在展开式中，含的项的系数是__________.22．展开式中的系数为________.23．展开式中含的项的系数为_______．24．的展开式中的系数是（）A．56 B．84 C．112 D．16825．多项式展开式的常数项为__________.（用数字作答）26．的展开式中的项的系数是________.27．展开式中的常数项为（）A． B．15 C． D．663.3二项式定理讲义答案例1．变式1.变式2．C例2．D变式1.C变式2．6例3．4变1.变式2．例4.31变式1.2004变式2.,1040例5．240变式1.变式2．C例6．变式1．-20变式2．D例7.C变式1．C变式2.例8．B变式1