中国精算师职业资格考试（准精算师精算数学）复习题库及答案(甘肃2026年)

中国精算师职业资格考试（准精算师精算数学）复习题库及答案(甘肃2026年)一、单项选择题（每题2分，共40分）1.极限limxA.0B.1C.2D.3答案：B解析：利用等价无穷小替换，当x→0时，sin3x∼2.设函数f((1)=$（）A.1B.2C.3D.4答案：C解析：一阶导数f′(x)=(1)=3$。3.不定积分∫xA.1B.1C.2D.x答案：A解析：用分部积分法，令u=x，dv=e2x4.定积分0πA.1B.2C.πD.1答案：B解析：0π5.设二元函数z=x2A.4B.9C.12D.13答案：D解析：对y求偏导时将x视为常数，∂z∂y=x6.下列级数中收敛的是（）A.nB.nC.nD.n答案：C解析：p级数n=1∞1np当7.三阶行列式12A.-1B.0C.1D.2答案：B解析：行列式第二行减第一行、第三行减第二行，得128.设A为3阶方阵，且|A|=A.1B.2C.4D.8答案：C解析：由方阵行列式性质，|kA|=kn|9.设A是m×n矩阵，秩r(A.rB.mC.nD.m答案：C解析：齐次线性方程组解空间的维数等于未知数个数减去系数矩阵的秩，即基础解系所含向量个数为n−10.设3阶方阵A的特征值为1,2,A.6B.12C.24D.30答案：C解析：方阵的行列式等于其所有特征值的乘积，A+E的特征值为1+1=2、11.设随机事件A,B满足P(A)=0.5A.0.2B.0.3C.0.4D.0.5答案：B解析：由概率加法公式P(A∪B)12.甲、乙两人独立射击同一目标，命中率分别为0.6和0.5。已知目标被击中，则它是甲击中的概率为（）A.0.6B.0.75C.0.8D.0.9答案：B解析：设A="甲击中"，B="乙击中"，C="目标被击中"，则C=A13.设随机变量X∼B(A.1B.2C.3D.4答案：B解析：二项分布B(n,p)14.设随机变量X∼N(A.0.25B.0.5C.0.75D.0.95答案：B解析：正态分布N(μ,σ215.设随机变量X服从参数为λ的指数分布，则下列结论正确的是（）A.EB.DC.PD.分布函数F答案：C解析：指数分布具有无记忆性，即P(X>s+t|16.已知随机变量X满足E(X)=2A.1B.2C.4D.8答案：C解析：方差D(X)=E17.设随机变量X,Y满足D(X)=2A.1B.3C.5D.6答案：B解析：由方差的差公式，D(18.根据切比雪夫不等式，对任意随机变量X，若其均值为μ、方差为σ2，则PA.1B.8C.2D.1答案：B解析：切比雪夫不等式为P(|X−μ|≥19.设总体X∼N(μ,σ2)，其中A.标准正态分布B.自由度为n−1的C.自由度为n的χ2D.F分布答案：B解析：当总体方差未知时，均值的置信区间构造使用样本方差代替总体方差，统计量服从自由度为n−1的20.在假设检验中，第一类错误是指（）A.原假设为真时拒绝原假设B.原假设为假时接受原假设C.备择假设为真时拒绝备择假设D.备择假设为假时接受备择假设答案：A解析：第一类错误（弃真错误）是指原假设H0为真时，错误地拒绝了H0；第二类错误（取伪错误）是指原假设H0二、计算题（共6题，每题10分，共60分）1.求函数f(x)答案：单调递增区间为(−∞,−1)和(3,+∞)，单调递减区间为(解析：(1)求导得驻点：f′(x)=3x(2)单调性判断：-当x<−1时，f′(x)>0(3)极值计算：x=−1为极大值点，极大值f(3)=27-27-27+5=-22$。（2分）(4)闭区间最值：计算端点和驻点的函数值：f((4)=64-48-36+5=-15$，对比得最大值为$f(-1)=10$，最小值为$f(3)=-22$。（4分）2.计算二重积分D​xy dσ，其中答案：1解析：(1)确定积分区域：联立y=x2和y=x，解得交点为(0,0)(2)化为累次积分：$$\iint_Dxy\,d\sigma=\int_{0}^{1}dx\int_{x^2}^{x}xy\,dy

$$（2分）

(3)计算内层积分：$$\int{x^2}^{x}xy\,dy=x\cdot\left.\frac{y^2}{2}\right|{x^2}^{x}=\frac{x}{2}(x^2-x^4)=\frac{x^3-x^5}{2}$$（2分）

(4)计算外层积分：$$\int{0}^{1}\frac{x^3-x^5}{2}dx=\frac{1}{2}\left(\frac{x^4}{4}-\frac{x^6}{6}\right)\bigg|{0}^{1}=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{4}-\frac{1}{6}\right)=\frac{1}{24}$$（3分）

3.求非齐次线性方程组$$\begin{cases}x1+x2+x_3=1\\x1+2x2+3x_3=2\\2x1+3x2+4x_3=3\end{cases}$$的通解。

**答案**：通解为$x=\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}+k\begin{pmatrix}1\\-2\\1\end{pmatrix}$，其中$k$为任意常数。

**解析**：

(1)写出增广矩阵并做初等行变换：$$\overline{A}=\begin{pmatrix}1&1&1&1\\1&2&3&2\\2&3&4&3\end{pmatrix}\stackrel{r2-r1}{\stackrel{r3-2r1}{\longrightarrow}}\begin{pmatrix}1&1&1&1\\0&1&2&1\\0&1&2&1\end{pmatrix}\stackrel{r3-r2}{\longrightarrow}\begin{pmatrix}1&1&1&1\\0&1&2&1\\0&0&0&0\end{pmatrix}$$（3分）

(2)秩判断：$r(A)=r(\overline{A})=2<3$，方程组有无穷多解。（1分）

(3)求特解：取自由变量$x_3=0$，得$x_2=1$，$x_1=0$，即特解$\eta^*=\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}$。（2分）

(4)求对应齐次方程组的基础解系：齐次方程组为$\begin{cases}x_1+x_2+x_3=0\\x_2+2x_3=0\end{cases}$，取$x_3=1$，得$x_2=-2$，$x_1=1$，即基础解系$\xi=\begin{pmatrix}1\\-2\\1\end{pmatrix}$。（2分）

(5)通解为$x=\eta^*+k\xi$，$k$为任意常数。（2分）

4.设二维随机变量$(X,Y)$的联合概率密度为$$f(x,y)=\begin{cases}2,&0<x<y<1\\0,&其他\end{cases}$$求：(1)边缘概率密度$f_X(x)$和$f_Y(y)$；(2)判断$X$与$Y$是否独立；(3)协方差$Cov(X,Y)$。

**答案**：(1)$f_X(x)=\begin{cases}2(1-x),&0<x<1\\0,&其他\end{cases}$，$f_Y(y)=\begin{cases}2y,&0<y<1\\0,&其他\end{cases}$；(2)不独立；(3)$\frac{1}{36}$。

**解析**：

(1)边缘密度计算：

当$0<x<1$时，$f_X(x)=\int_{x}^{1}2dy=2(1-x)$；当$x\leq0$或$x\geq1$时，$f_X(x)=0$。（1分）

当$0<y<1$时，$f_Y(y)=\int_{0}^{y}2dx=2y$；当$y\leq0$或$y\geq1$时，$f_Y(y)=0$。（1分）

(2)独立性判断：在区域$0<x<y<1$内，$f(x,y)=2$，而$f_X(x)f_Y(y)=2(1-x)\cdot2y=4y(1-x)\neq2$，因此$X$与$Y$不独立。（2分）

(3)协方差计算：

$E(X)=\int_{0}^{1}x\cdot2(1-x)dx=2\int_{0}^{1}(x-x^2)dx=2\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{3}\right)=\frac{1}{3}$（1分）

$E(Y)=\int_{0}^{1}y\cdot2ydy=2\int_{0}^{1}y^2dy=\frac{2}{3}$（1分）

$E(XY)=\iint_{0<x<y<1}xy\cdot2d\sigma=2\int_{0}^{1}dx\int_{x}^{1}xydy=2\int_{0}^{1}x\cdot\frac{1-x^2}{2}dx=\int_{0}^{1}(x-x^3)dx=\frac{1}{2}-\frac{1}{4}=\frac{1}{4}$（2分）

$Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)=\frac{1}{4}-\frac{1}{3}\times\frac{2}{3}=\frac{1}{4}-\frac{2}{9}=\frac{1}{36}$（2分）

5.设总体$X$服从区间$[0,\theta]$上的均匀分布，其中$\theta>0$为未知参数，$X_1,X_2,\dots,X_n$是来自总体$X$的简单随机样本。求$\theta$的矩估计量和极大似然估计量。

**答案**：矩估计量为$\hat{\theta}_1=2\overline{X}$；极大似然估计量为$\hat{\theta}_2=\max\{X_1,X_2,\dots,X_n\}$。

**解析**：

(1)矩估计：

总体$X$的期望$E(X)=\frac{\theta}{2}$，由矩估计法，用样本均值$\overline{X}$代替总体期望，得$\frac{\theta}{2}=\overline{X}$，因此矩估计量$\hat{\theta}_1=2\overline{X}$。（4分）

(2)极大似然估计：

总体的概率密度为$f(x;\theta)=\begin{cases}\frac{1}{\theta},&0\leqx\leq\theta\\0,&其他\end{cases}$

似然函数为：$$L(\theta)=\prod{i=1}^{n}f(Xi;\theta)=\begin{cases}\frac{1}{\theta^n},&0\leqX_i\leq\theta\(i=1,2,\dots,n)\\0,&其他\end{cases}$$（2分）

要使$L(\theta)$最大，需使$\theta$尽可能小，而$\theta$必须满足$\theta\geqX_i$对所有$i$成立，即$\theta\geq\max\{X_1,X_2,\dots,X_n\}$，因此当$\theta=\max\{X_1,X_2,\dots,X_n\}$时，似然函数取得最大值。

故极大似然估计量为$\hat{\theta}_2=\max\{X_1,X_2,\dots,X_n\}$。（4分）

6.某保险公司有1000人投保某意外险，每人每年保费300元，出险时赔付10000元。假设每人每年出险概率为0.02，且各人出险相互独立。用中心极限定理近似计算保险公司在该险种上的年利润小于0的概率。（注：标准正态分布函数值$\Phi(2.26)\approx0.988$）

**答案**：约0.012

**解析**：

(1)设$X$为1000人中的出险人数，则$X\simB(n=1000,p=0.02)$。（2分）

(2)年利润$L=1000\times300-10000X=300000-10000X$，利润小于0即$L<0$，等价于$X>30$。（2分）

(3)二项分布的数字特征：

$E(X)=np=1000\times0.02=20$，