2026秋北师9年级数学导教导学案9 教材母题回归

教材母题回归1.(BS九上P21T3)已知：如图，E，F是正方形ABCD的对角线BD上的两点，且BE＝DF.求证:四边形AECF是菱形．证明：如图，连接AC，交BD于点O.∵四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD，OA＝OC，OB＝OD.∵BE＝DF，∴OB－BE＝OD－DF，即OE＝OF.又∵OA＝OC，∴四边形AECF是平行四边形．∵AC⊥BD，即AC⊥EF，∴四边形AECF是菱形．2.(BS九上P28T16)如图，把两个大小、形状完全相同的矩形ABCD和矩形CEFG拼成如图所示的图案，求∠ACF，∠AFC的度数．解：∵矩形CEFG和矩形ABCD大小完全相等，∴AC＝CF，∠FCG＝∠ACB.∵∠ACB＋∠ACD＝90°，∴∠FCG＋∠ACD＝90°，即∠ACF＝90°.∴△FAC是等腰直角三角形．∴∠AFC＝45°.3.(BS九上P27T12)已知：如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点M，P，N，Q分别在AO，BO，CO，DO上，且AM＝BP＝CN＝DQ.求证：四边形MPNQ是矩形．证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AC＝BD，OA＝OC＝AC，OB＝OD＝BD.∴OA＝OC＝OB＝OD.∵AM＝BP＝CN＝DQ，∴OA－AM＝OB－BP＝OC－CN＝OD－DQ，即OM＝OP＝ON＝OQ.∴四边形MPNQ是平行四边形．又∵MN＝OM＋ON，PQ＝OP＋OQ，∴MN＝PQ.∴四边形MPNQ是矩形．4.(BS九上P28T14)如图，在矩形ABCD中，AB＝20cm.动点P从点A出发沿AB方向以4cm/s的速度运动，动点Q同时从点C出发沿CD方向以1cm/s的速度运动.当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动.设动点的运动时间为t

s，则当t为多少时，四边形APQD是矩形?解：依题意，得AP＝4tcm，DQ＝(20－t)cm；∵四边形APQD是矩形，∴AP＝DQ，即4t＝20－t，解得t＝4.答：当t＝4时，四边形APQD是矩形. 5.(BS九上P22T7节选)四边形ABCD是正方形．

(1)如图1，点P是对角线BD上一点，连接AP，CP．线段

AP与CP有怎样的关系？请证明你的结论．

(2)如图2，如果点P在BD的延长线上，连接AP，CP．线

段AP与CP有怎样的关系？为什么？解：(1)AP＝CP.证明如下：∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝CD，∠ADP＝∠CDP＝45°.又∵PD＝PD，∴△APD≌△CPD(SAS).∴AP＝CP.(2)AP＝CP.理由如下：∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝CD，∠ADB＝∠CDB＝45°.∵∠ADB＋∠ADP＝180°，∠CDB＋∠CDP＝180°，∴∠ADP＝∠CDP.又∵PD＝PD，∴△ADP≌△CDP(SAS).∴AP＝CP.6.如图，正方形ABCD的对角线相交于点O，正方形A′B′C′O与正方形ABCD的边长相等．在正方形A′B′C′O绕点O旋转的过程中，两个正方形重叠部分的面积与正方形ABCD的面积有什么关系？请证明你的结论．解：重叠部分面积不变，总是等于正方形ABCD面积的

.证明如下：如图，设OA′交AB于点M，OC′交BC于点N.∵四边形ABCD和四边形A′B′C′O都是正方形，∴OB＝OC，∠OBA＝∠OCB＝45°，∠BOC＝∠A′OC′＝90°.∴∠A′OB＝∠COC′.在△OBM和△OCN中，∴△OBM≌△OCN(ASA).∴S△OBM＝S△OCN.∴四边形OMBN的面积等于三角形BOC的面积．∵S△BOC＝S正方形ABCD，∴重叠部分的面积不变，总是等于正方形ABCD的面积的

.7.(BS九上P29T19)(1)如图1，将矩形纸片ABCD沿BE折叠，顶点A落在纸片ABCD内的A′点．展开纸片，得到四边形ABA′E，这个四边形有哪些性质？解：①它是轴对称图形，对称轴为BE；②有两组邻边相等，即AE＝A′E，AB＝A′B；③有一组对角相等，即∠A＝∠A′；④对角线BE垂直平分AA′.(2)如图2，将矩形纸片ABCD沿BE折叠，顶点A落在BC边上的A′点．展开纸片，得到四边形ABA′E，这个四边形是正方形吗？为什么？(2)这个四边形是正方形．理由如下：∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝∠ABA′＝90°.由折叠的性质，得∠BA′E＝∠A＝90°,A′B＝AB，∴∠A＝∠ABA′＝∠BA′E＝90°.∴四边形ABA′E是矩形．又∵A′B＝AB，∴四边形ABA′E是正方形．(3)如图3，将矩形纸片ABCD沿EF折叠，顶点A落在BC边上的A′点，顶点B落在纸片外的B′点．展开纸片，得到四边形AFA′E，试判断这个四边形的形状，并证明你的结论．(3)这个四边形是菱形．证明如下：由折叠的性质，得B′F＝BF，A′E＝AE，∠B′＝∠B，A′B′＝AB，∠B′FE＝∠BFE，∴△A′FB′≌△AFB(SAS).∴A′F＝AF，∠A′FB′＝∠AFB.∵四边形ABCD