2026-2027学年内蒙古包头市第二十七中学高二（上）月考数学试卷（10月份）（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2026-2027学年内蒙古包头市第二十七中学高二（上）月考数学试卷（10月份）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知直线l的倾斜角为45°，则直线l的斜率为(

)A.12 B.22 C.2.直线3x+y+2026=0的倾斜角为(

)A.π6 B.π3 C.2π33.已知向量a=(1,1,0)，b=(0,2,1)，则a⋅bA.2 B.1 C.−1 D.04.在空间四边形PABC中，BP+CA−A.AP B.PC C.AB D.CP5.如图所示，空间四边形OABC中，OA=a,OB=b,OC=c，点M在OA上，且OM=2A.12a−23b+126.已知a=(2,3,−3),b=(−4,2,0),c=(10,3,λ)，若a,A.6 B.5 C.−5 D.−67.已知平行六面体ABCD−A1B1C1D1的所有棱长均为2，cosA.23 B.63 C.8.已知直线l过点(0,2)，且与直线3x−y+2=0及x轴围成等腰三角形，则直线l的方程为(

)A.3x+y−2=0或3x−3y+6=0

B.3x−3y+6=0或3x−二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.在平面直角坐标系中，下列结论正确的是(

)A.每一条直线都有点斜式与斜截式方程

B.倾斜角为钝角的直线，斜率为负数

C.直线过点P0(x0,y0)，倾斜角为90°，则其方程为10.已知直线l：y=kx+6k−9，则下列说法正确的是(

)A.直线l恒过定点(−6,−9)

B.若直线l与直线2x+y−1=0垂直，则k=−12

C.若直线l在x轴上的截距为3，则k=1

D.若k≥3，则直线l11.如图，在棱长为1的正方体ABCD−A1B1C1D1中，点PA.不存在点P，使得AP⊥CD1

B.D1P⋅AP的最小值为−13

C.当A1P=23A三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知空间向量a=(−2,1,n)，b=(3,m,2)且a//b，则mn=

13.若直线l1：x+(1+m)y+m−2=0与l2：2mx+4y+16=0平行，则实数m的值为

．14.经过点P(−1,−2)的直线l与连接A(−3,4)，B(2,2)两点的线段总有公共点，则直线l的斜率的取值范围为

．四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

已知向量a=(−2,−1,2)，b=(−1,1,2)，c=(x,2,2)．

(1)若a⊥c，求|b+c|；

(2)设OA=a,OB16.(本小题15分)

已知A(1,1)，B(2,3)，C(4,0)，求(均写出一般式方程)：

(1)BC边上的中线所在的直线方程l1；

(2)过B点且在x轴和y轴上的截距互为相反数的直线方程l2；

(3)AB边垂直平分线方程l3及点C关于l3的对称点17.(本小题15分)

如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是矩形，PD⊥平面ABCD，PD=DA=2，DC=1，M是BC的中点，点Q在PM上，且PQ=2QM．

(1)证明：DQ⊥平面PAM；

(2)求直线DQ与PA的夹角．18.(本小题17分)

如图，在直四棱柱ABCD−A1B1C1D1中，AD⊥AB，AD⊥CD，AD=AA1=CD=2AB，E，F，G分别是BC，CD，A1D1的中点．

19.(本小题17分)

如图，三棱锥A−BCD中，DA=DB=DC=2，BD⊥CD，∠ADB=∠ADC=60°，E为BC的中点，点F满足EF=DA．

(1)证明：BC⊥DA；

(2)求DF的长；

(3)求F到平面ABD

1.【答案】D

2.【答案】C

3.【答案】A

4.【答案】D

5.【答案】B

6.【答案】D

7.【答案】D

8.【答案】A

9.【答案】BC

10.【答案】AC

11.【答案】AD

12.【答案】2

13.【答案】1

14.【答案】(−∞,−3]∪[415.【答案】解：(1)向量a=(−2,−1,2)，b=(−1,1,2)，c=(x,2,2)．

由a⊥c，得a⋅c=−2x−2+4=0，解得x=1，

则c=(1,2,2)，而b=(−1,1,2)，

∴b+c=(0,3,4)，

∴|b+c|=32+42=5．

(2)若O，A，16.【答案】解：(1)设BC中点为E，则得E(2+42,3+02)，即E(3,32)，

则直线l1的方程为y−1=1−321−3(x−1)，即x−4y+3=0；

(2)当截距不为0时，依题意，可设直线l2：xa+y−a=1，代入点B(2,3)，解得a=−1，

则得−x+y=1，即x−y+1=0，

当截距为0时，直线l2过原点和点B，则其方程为y=32x，即3x−2y=0；

综上，l2的方程为3x−2y=0或x−y+1=0；

(3)AB的中点F(32,2)，斜率为kAB=3−12−1=217.【答案】(1)证明：因为底面ABCD是矩形，PD⊥平面ABCD，PD=DA=2，DC=1，

以D为坐标原点，以DA，DC，DP所在的直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，

可得D(0,0,0)，A(2,0,0)，P(0,0,2)，B(2,1,0)，C(0,1,0)，

因为M是BC的中点，点Q在PM上，且PQ=2QM，所以M(1,1,0)，

设Q(x,y,z)，则PQ=2QM，即(x,y,z−2)=2(1−x,1−y,−z)，

所以x=2(1−x)y=2(1−y)z−2=−2z，解得x=23，y=23，z=23，即Q(23,23,23)，

则DQ=(23,23,23)，取直线DQ的方向向量s=(1,1,1)，

设平面PAM的法向量为n=(x′,y′,z′)，

PA=(2,0,−2)，PM=(1,1,−2)，

则n⋅PA=0n⋅PM=0，即2x′−2z′=0x′+y′−2z′=0，取x′=1，可得n=(1,1,1)，

18.【答案】解：(1)证明：连接BD.∵ABCD−A1B1C1D1是四棱柱，

∴BB1/​/DD1，BB1=DD1，

∴四边形BB1D1D是平行四边形，∴BD/​/B1D1．

∵E，F分别是BC，CD的中点，∴EF/​/BD，

∴B1D1//EF．

∵B1D1⊄平面EFG，

∴B1D1/​/平面EFG．

(2)易得DA，DC，DD1两两垂直．

以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，

设AB=2，则E(2,3,0)，F(0,2,0)，G(2,0,4)，19.【答案】解：(1)证明：连接AE，DE，由DA=DB=DC=2，∠ADB=∠ADC=60°，

得△ADC，△ADB均为等边三角形，则AC=AB=2，而E为BC的中点，

因此BC⊥DE，BC⊥AE，又AE∩DE=E，AE，DE⊂平面ADE，

则BC⊥平面ADE，又AD⊂平面ADE，所以BC⊥DA．

(2)由BD⊥CD，DB=DC=2，得BC=22，而E为BC的中点，则DE=CE=2，

由(1)得AE=AC2−CE2=2，因此DE2+AE2=AD2，即EA⊥ED，

又AE=DE，则∠DAE=45