2026-2027学年江苏省徐州市王杰中学高一上学期第一次学情抽测数学试卷（含解析）

/数学一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．1.已知命题：，，则的否定为（）A.， B.，C.， D.，2.集合，，则（）A. B. C. D.3.已知，，且，则下列不等式恒成立的是（）A. B.C. D.4.设，则“”是“”的（

）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件5.为了丰富学生的课余生活，促进学生全面发展，某校开设了劳动实践、研学参观、技术培训类拓展课程．高三某班学生共有人报名参加拓展课程，其中有人报名参加劳动实践，有人报名参加研学参观，有人报名参加技术培训，同时报名参加劳动实践和研学参观的有人，同时报名参加研学参观和技术培训的有5人，只参加技术培训的人数为（）A. B. C. D.6.已知，则的最小值为（）A. B. C.5 D.97.已知集合，，若“”是“”的充分条件，则实数的取值范围为（）A. B.C. D.8.已知正实数满足，则的最小值是（）A. B.4 C. D.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.下列说法正确的是（）A.“，”是“”成立的充分不必要条件B.命题：，，则：，C.命题“若，则”是真命题D.“”是“”成立的必要不充分条件10.已知集合，，，则（）A. B.C. D.11.已知正数，满足，则下列说法正确的是（）A.的最大值为B.的最小值为1C.的最大值为D.的最小值为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.若命题“，使得”为真命题，则实数的取值范围是_____.13.已知实数满足，则的取值范围是______.14.已知集合，，若，则实数的值为________.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知集合.（1）若，求的取值范围.（2）已知命题，命题，若是的必要不充分条件，求实数的取值范围.16.（1）已知，求的最大值；（2）已知，，且，求的最小值．17.徐州是两汉文化发源地.汉文化旅游节期间，徐州东站向汉文化景区和云龙湖景区两个方向发送游客接驳车．设向汉文化景区发x车，向云龙湖景区发y车（）．调度中心每天在两个方向投入固定管理费：汉文化景区方向每天3万元．云龙湖景区方向每天5万元．这些固定管理费按各方向车次平均分摊．已知两个方向每车平均分摊的固定管理费之和为1万元．（1）求总车次的最小值，并写出此时一组x，y的值．（2）为保障游客体验，每车需配备志愿者：汉文化景区每车配2名志愿者，云龙湖景区每车配3名志愿者．设志愿者总数为．（ⅰ）求两方向车次乘积xy的最小值．（ⅱ）求志愿者总数T的最小值，并写出此时一组x，y的值．18.设命题p：对任意，不等式恒成立，命题q：存在，使得不等式成立．（1）若p为真命题，求实数m的取值范围；（2）若命题与命题q一真一假，求实数m的取值范围．（3）设命题p为真时m的取值集合为A，命题q为真时m的取值集合为B．若“”是“”的充分不必要条件，其中集合，求实数a的取值范围．19.“笛卡尔积”是一个很有趣的问题．设是任意两个非空集合，则称集合为“与的笛卡尔积”，并记集合中的元素个数为．（1）若，，求与；（2）若，，为素数，且对任意的恒成立，求实数的最大值，并写出当取到最大值时一组符合条件的．

数学一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．1.已知命题：，，则的否定为（）A.， B.，C.， D.，答案：A解析：思路：根据全称量词命题的否定规则，变换量词并否定结论即可得出结果解答过程：原命题为：，，按规则否定：量词替换：将改为；取值范围保留：仍为；结论否定：的否定为，因此的否定为，.2.集合，，则（）A. B. C. D.答案：D解析：解答过程：，解得或，因此集合，则.3.已知，，且，则下列不等式恒成立的是（）A. B.C. D.答案：C解析：思路：利用不等式的性质证明，或者构造反例说明，即可得解.解答过程：对于A，若，则，故A错误；对于B，若，满足，则，故B错误；对于C，显然成立，C正确；对于D，，当时等号成立，故D错误.4.设，则“”是“”的（

）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件答案：A解析：解答过程：由可得，由于是的真子集，所以“”是“”的充分不必要条件.5.为了丰富学生的课余生活，促进学生全面发展，某校开设了劳动实践、研学参观、技术培训类拓展课程．高三某班学生共有人报名参加拓展课程，其中有人报名参加劳动实践，有人报名参加研学参观，有人报名参加技术培训，同时报名参加劳动实践和研学参观的有人，同时报名参加研学参观和技术培训的有5人，只参加技术培训的人数为（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：使用三集合容斥原理，通过韦恩图划分各部分人数，设三类都参加的人数为、只参加劳动实践和培训的人数为，根据总人数列方程化简得，再结合培训的总人数，算出只参加培训的人数．解答过程：设类课程全参加的有人，同时只参加劳动实践和技术培训的有人，列出韦恩图，则，可得，则只参加技术培训的人数为人．6.已知，则的最小值为（）A. B. C.5 D.9答案：B解析：思路：利用常数代换，结合基本不等式求解可得.解答过程：因为，所以，所以，当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值为.7.已知集合，，若“”是“”的充分条件，则实数的取值范围为（）A. B.C. D.答案：B解析：思路：利用已知可得，从而有恒成立，设，利用导数求的最小值即可.解答过程.因为“”是“”的充分条件，所以.所以当时，恒成立，即.设，则，令，解得或(舍去).当时，，函数单调递减；当时，，函数单调递增.所以.所以.8.已知正实数满足，则的最小值是（）A. B.4 C. D.答案：A解析：思路：由题意得，代入得，再由均值不等式求解即可.解答过程：由，，可得，所以，当且仅当，即时，等号成立.故选：A二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.下列说法正确的是（）A.“，”是“”成立的充分不必要条件B.命题：，，则：，C.命题“若，则”是真命题D.“”是“”成立的必要不充分条件答案：AC解析：思路：根据充分性的定义、必要性的定义、全称命题的否定的性质、比较法逐一判断即可．解答过程：对于，由，可以推出，但推不出，，比如，但，所以“，”是“”成立的充分不必要条件，故A正确；对于B，根据全称命题的否定为特称命题，所以：，，故B错误；对于C，当时，，可得，故C正确；对于D，由不能推出，比如，，所以必要性不成立，故D错误．故选：AC．10.已知集合，，，则（）A. B.C. D.答案：AC解析：解答过程：对于A，因为，，所以，故A正确；对于B，因为，，所以，故B错误；对于C，因为，所以，故C正确；对于D，因为，故D错误.11.已知正数，满足，则下列说法正确的是（）A.的最大值为B.的最小值为1C.的最大值为D.的最小值为答案：AD解析：思路：利用已知条件、基本不等式逐项判断可得答案.解答过程：对于A：由题意，，.所以，.当且仅当，即，，取等号，故A正确；对于B：，由（1）知，所以，即，故B不正确；对于C.所以，故C错误；对于D：，当且仅当，即，即时取等号（负值舍去），所以D正确.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.若命题“，使得”为真命题，则实数的取值范围是_____.答案：解析：思路：根据存在性问题为真，可推得，利用函数单调性即可求出的取值范围.解答过程：，使得，等价于在上有解,即，又因为在上单调递增，则可得.13.已知实数满足，则的取值范围是______.答案：解析：思路：设，求出后由不等式性质求解即可.解答过程：设，则，解得，因为，，所以，故14.已知集合，，若，则实数的值为________.答案：1解析：解答过程：因为，所以，所以，解得.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知集合.（1）若，求的取值范围.（2）已知命题，命题，若是的必要不充分条件，求实数的取值范围.答案：（1）（2）解析：思路：（1）由不等式的解法，求得，根据，得到，列出不等式组，即可求解；（2）根据题意，转化为是的真子集，分和，两种情况讨论，列出不等式组，即可求解.（1）解：由不等式，可得，解得，所以，又由且，可得，则满足，解得，所以的取值范围是.（2）解：由是的必要不充分条件，可得是的真子集，所以时，，解得，此时满足是的真子集；当时，则满足，且等号不能同时成立，此时无解.综上所述，实数的取值范围是.16.（1）已知，求的最大值；（2）已知，，且，求的最小值．答案：（1）；（2）解析：解答过程：（1）因为，所以，，所以，当且仅当，即时等号成立，所以，即的最大值为.（2）因为，，所以，当且仅当时等号成立，所以，即，所以，所以或，又，所以，解得，当且仅当时等号成立，故的最小值为9.17.徐州是两汉文化发源地.汉文化旅游节期间，徐州东站向汉文化景区和云龙湖景区两个方向发送游客接驳车．设向汉文化景区发x车，向云龙湖景区发y车（）．调度中心每天在两个方向投入固定管理费：汉文化景区方向每天3万元．云龙湖景区方向每天5万元．这些固定管理费按各方向车次平均分摊．已知两个方向每车平均分摊的固定管理费之和为1万元．（1）求总车次的最小值，并写出此时一组x，y的值．（2）为保障游客体验，每车需配备志愿者：汉文化景区每车配2名志愿者，云龙湖景区每车配3名志愿者．设志愿者总数为．（ⅰ）求两方向车次乘积xy的最小值．（ⅱ）求志愿者总数T的最小值，并写出此时一组x，y的值．答案：（1）最小值为，，.（2）(i)60，(ii)的最小值为，，.解析：思路：根据题意列出关系式，利用不等式与“1”的代换进行求解。（1）由题意可得汉文化景区每车分摊固定管理费为万元，云龙湖景区每车分摊固定管理费为万元，且，因为为正整数，故，当时，成立，故的最小值为，此时，.（2）(i)由于，，则，整理得，当且仅当，时等号成立.因此的最小值为60.(ii)，因为为正整数，故，当时，成立且，故的最小值为，18.设命题p：对任意，不等式恒成立，命题q：存在，使得不等式成立．（1）若p为真命题，求实数m的取值范围；（2）若命题与命题q一真一假，求实数m的取值范围．（3）设命题p为真时m的取值集合为A，命题q为真时m的取值集合为B．若“”是“”的充分不必要条件，其中集合，求实数a的取值范围．答案：（1）（2）（3）解析：思路：先分别求解命题、为真时实数的取值范围，再结合逻辑命题真假规则、充分不必要条件与集合真子集的对应关系依次解答三个小题。（1）命题为真的条件：对任意，恒成立，函数在上单调递增，最小值为，因此只需，整理得，因式分解为，解得.因此，当为真命题时，实数的取值范围为.（2）命题为真的条件：存在，使得成立，函数开口向上，对称轴为，在上单调递减，最小值为，因此只需，解得.命题、一真一假，分两类讨论：①真假：1≤m≤3m>2②假真：，即综上所述.（3）由(1)(2)得，，故，“”是“”的充分不必要条件，等价于A∪B⫋C，其中因此需满足，即实数的取值范围为.19.“笛卡尔积”是一个很有趣的问题．设是任意两个非空集合，则称集合为“与的笛卡尔积”，并记集合中的元素个数为．（