2026-2027学年江西省宜春市多校联考高三上学期9月限时训练数学试卷（含解析）

/数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.命题“，的个位数字等于7”的否定是（）A.，的个位数字大于7 B.，的个位数字不等于7C.，的个位数字大于7 D.，的个位数字不等于72.已知向量，，，则的最小值为（）A. B. C. D.3.函数的单调递增区间为（）A. B. C. D.4.已知函数的部分图象可能是（）A. B.C. D.5.在一定条件下，某人工智能大语言模型训练个单位的数据量所需要的时间，其中为常数．在此条件下，训练个单位的数据量所需要的时间是训练个单位的数据量所需要的时间的（）A.2倍 B.3倍 C.4倍 D.8倍6.若函数的极大值点为负数，则的取值范围为（）A. B. C. D.7.已知函数，则（）A.没有零点B.有一个零点，且该零点等于1C.有两个零点，且两个零点之和大于D.有两个零点，且两个零点之和小于8.已知焦距相同的椭圆与双曲线的一个交点为，的左、右焦点分别为、，且的离心率为，，则的离心率为（）A. B. C. D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.若，，复数的虚部为2，则的实部可能为（）A.2 B.4 C.6 D.810.已知函数的导函数为，且，，则（）A. B. C. D.11.已知函数的定义域为，且，，则（）A. B.C.是偶函数 D.在上单调递增三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.若锐角满足，则________，________．13.已知圆的圆心在直线上，若圆与轴相切，且被轴截得的弦长为，则圆的半径为________．14.已知非空数集，若对任意，存在，使得，则称为和集．在集合的所有子集中，和集的个数为________．若集合为和集，则的取值范围为________．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.如图，在直三棱柱中，，，，，分别为，的中点．（1）证明：平面．（2）求直线与平面所成角的正弦值．16.已知甲、乙两名队员定点投篮的命中率分别为，，且每人每次投篮命中与否相互独立．（1）若甲、乙各进行1次定点投篮，求两人至少有一人投篮命中的概率；（2）若甲进行1次定点投篮，乙进行2次定点投篮，记两人投篮命中次数之和为，求的分布列与期望．17.在等比数列中，，且．（1）求的通项公式；（2）若，在与之间插入个数，使得这个数构成一个公差为（）的等差数列，数列的前项和为，证明：．18.已知函数，的定义域均为，且，的图象均为连续不断的曲线．对任意，，，经过，两点的直线的斜率为，经过，两点的直线的斜率为，且，则称与同向．（1）判断函数与是否同向，并说明理由；（2）若函数与的定义域均为，且与同向，且，求的取值范围；（3）已知函数，，在上的图象均为连续不断的曲线，且，，两两同向，证明：“是函数，，的公共周期”是“是函数的周期”的充要条件．19.已知函数．（1）当时，求曲线在点处的切线方程．（2）证明：．（3）证明：对任意的，，有．

数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.命题“，的个位数字等于7”的否定是（）A.，的个位数字大于7 B.，的个位数字不等于7C.，的个位数字大于7 D.，的个位数字不等于7答案：D解析：解答过程：因为存在命题的否定是全称命题，所以命题“，的个位数字等于7”的否定是，的个位数字不等于7.2.已知向量，，，则的最小值为（）A. B. C. D.答案：A解析：解答过程：，则，当且仅当，即时等号成立，故的最小值为．3.函数的单调递增区间为（）A. B. C. D.答案：D解析：解答过程：的定义域是，而.令，则1x−7>0⟹由于，故7x<1⟹故单调递增区间为.4.已知函数的部分图象可能是（）A. B.C. D.答案：D解析：思路：先求得函数为上的偶函数，再由，结合选项，即可求解.解答过程：由函数，可得其定义域为，且，所以函数为上的偶函数，可得的图象关于轴对称，可排除A，B项；又因为，可排除选项C，所以函数的部分图象可能是选项D.5.在一定条件下，某人工智能大语言模型训练个单位的数据量所需要的时间，其中为常数．在此条件下，训练个单位的数据量所需要的时间是训练个单位的数据量所需要的时间的（）A.2倍 B.3倍 C.4倍 D.8倍答案：B解析：解答过程：设训练个单位数据的时间为​，训练个单位数据的时间为​，由已知，得.根据对数运算性质，可得.由题意，，因此时间之比为：，

即前者所需时间是后者的3倍.6.若函数的极大值点为负数，则的取值范围为（）A. B. C. D.答案：D解析：思路：对函数求导，应用导数研究函数的极值点，结合极大值点为负数求参数范围.解答过程：对函数求导令，得，且是开口向上的二次函数，当，即时，在附近的左侧为正，右侧为负，是极大值点，在附近的左侧为负，右侧为正，是极小值点，由极大值点为负数，即，得，故此时；当，即时，在附近的左侧为正，右侧为负，是极大值点，在附近的左侧为负，右侧为正，是极小值点，显然不满足题意，舍去；当，即时，，函数在定义域上单调递增，没有极大值点，舍去；综上，的取值范围为.7.已知函数，则（）A.没有零点B.有一个零点，且该零点等于1C.有两个零点，且两个零点之和大于D.有两个零点，且两个零点之和小于答案：C解析：思路：画出函数及的图像，判断出零点的个数，根据零点存在定理判断出零点的取值范围，进而求出两个零点之和.解答过程：令，得，画出函数及的图像，由图像可知函数和有两个交点，所以函数有两个零点，且一个大于，一个小于，又，所以为函数的一个零点，又，，，所以函数在上存在零点，所以两个零点之和大于.8.已知焦距相同的椭圆与双曲线的一个交点为，的左、右焦点分别为、，且的离心率为，，则的离心率为（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：根据椭圆和双曲线的定义及基本性质，结合余弦定理，列出方程，求得，即可求得双曲线的离心率.解答过程：由题意，椭圆与双曲线的焦距相同，即焦点相同，设，，则在椭圆中，可得。，则，则，又，即，即，所以，所以，在双曲线中，可得，则，所以，又，所以，化简得，又，所以，所以，解得，所以双曲线的离心率为.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.若，，复数的虚部为2，则的实部可能为（）A.2 B.4 C.6 D.8答案：BCD解析：思路：先分离实部虚部，由虚部得到约束条件，实部转化为，利用基本不等式算出实部的范围，进而判断选项．解答过程：，已知，，复数的虚部为2，即，则复数实部，当且仅当，即时取等号，故的实部大于等于4．10.已知函数的导函数为，且，，则（）A. B. C. D.答案：AC解析：思路：构造函数，利用导数判断其单调递减，结合，分别代入和推导结论．解答过程：已知，且，则，即，令，求导得：，故在定义域上单调递减，已知，则；在定义域上单调递减，则，故，解得，，故，故A正确，B错误；由单调性知，，，故C正确，D错误．11.已知函数的定义域为，且，，则（）A. B.C.是偶函数 D.在上单调递增答案：ABD解析：思路：令，得到，且，可判定B正确；令，求得，可判定A正确；由，用代换，得到，联立方程组求得恒成立，可判定C错误；由为奇函数，和，求得，进而可判定D正确.解答过程：由题意知：对于任意，都有，对于B，令，可得左边，右边，令，可得，即，可得，代入上式，可得，整理得，所以B正确；对于A，令，可得，即，由，且，可得，代入上式得，左边，右边，即，所以，所以A正确；对于C，由，可得，将上式中替换为，可得，联立方程组，可得，整理得，当时，可得，且，所以，恒成立，所以函数为奇函数，不是偶函数，所以C不正确；对于D，因为函数为奇函数，可得，由选项A知：，所以，即，因为，可得，所以，当时，，且，所以对于任意都成立，因为函数在上为单调递增函数，所以在上单调递增，所以D正确.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.若锐角满足，则________，________．答案：①.②.2解析：思路：运用二倍角正弦公式，结合同角三角函数的商关系和两角和的正切公式进行求解即可.解答过程：因为是锐角，所以.因此由..13.已知圆的圆心在直线上，若圆与轴相切，且被轴截得的弦长为，则圆的半径为________．答案：4解析：思路：设出圆心的坐标，再由弦长公式计算可得半径为4.解答过程：由圆心在直线上可设，且圆的半径设为；又圆与轴相切，所以，则被轴截得的弦长为，解得,所以圆的半径为.14.已知非空数集，若对任意，存在，使得，则称为和集．在集合的所有子集中，和集的个数为________．若集合为和集，则的取值范围为________．答案：①.2②.解析：思路：按元素个数分类枚举集合M的所有非空子集，依据和集定义逐一验证，统计符合条件的和集个数；推导闭区间为和集的充要条件是区间同时包含正、负数，据此列不等式组求解a的取值范围．解答过程：集合，按子集元素个数分类枚举所有非空子集如下：单元素子集，均无法找到满足的元素，全不是和集；二元子集，任意二元集中，至少存在一个元素x，找不到符合条件的y使仍在集合内，全部不是和集；三元子集：时，仅可选，，不是和集；：时，可选或，或，均不在集合内，不是和集；：时，仅可选，，不是和集；：时，取，；时，取，；时，取，，全部满足，是和集；四元子集：，时，取，；时，取，；时，取，；时，取，，全部满足，是和集；综上，和集共有2个；已知为和集，是闭区间，若N是和集，取区间最大值，需存在使得，故区间必须包含负数，即；同理取最小值，需存在，故区间必须包含正数，即；若区间同时包含正负数，即，对任意取，对任意取，均可满足，且，，故为和集等价于，解得，故的取值范围为．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.如图，在直三棱柱中，，，，，分别为，的中点．（1）证明：平面．（2）求直线与平面所成角的正弦值．答案：（1）证明：如图，取的中点，连接，．，分别为，的中点，，，，，，，∴四边形是平行四边形，．平面，平面，平面．（2）解析：思路：（1）根据线面平行的判定定理证得；（2）建立空间直角坐标系，利用向量法求得直线与平面所成角的正弦值.（1）略（2）以为原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，，，．设平面的法向量为，则，取，得，，得．故直线与平面所成角的正弦值为．16.已知甲、乙两名队员定点投篮的命中率分别为，，且每人每次投篮命中与否相互独立．（1）若甲、乙各进行1次定点投篮，求两人至少有一人投篮命中的概率；（2）若甲进行1次定点投篮，乙进行2次定点投篮，记两人投篮命中次数之和为，求的分布列与期望．答案：（1）（2）0123解析：思路：（1）由间接法代入计算，即可得到结果；（2）根据题意，写出的可能取值，然后分别求得其对应的概率，即可得到分布列，从而得到期望.（1）由间接法可得所求概率为．（2）的可能取值为0，1，2，3．，，，．的分布列为0123故．17.在等比数列中，，且．（1）求的通项公式；（2）若，在与之间插入个数，使得这个数构成一个公差为（）的等差数列，数列的前项和为，证明：．答案：（1）或．（2）证明：因为，所以，所以，由题意得，则，，①，②得，得．因为，所以．解析：思路：（1）根据题意，求出公比和首项，代入等比数列通项公式即可.（2）根据题意，求出，再根据错位相减的方法求出，进而证明.（1）设的公比为，由，得，因为，所以，因为，所以或，故或．（2）略18.已知函数，的定义域均为，且，的图象均为连续不断的曲线．对任意，，，经过，两点的直线的斜率为，经过，两点的直线的斜率为，且，则称与同向．（1）判断函数与是否同向，并说明理由；（2）若函数与的定义域均为，且与同向，且，求的取值范围；（3）已知函数，，在上的图象均为连续不断的曲线，且，，两两同向，证明：“是函数，，的公共周期”是“是函数的周期”的充要条件．答案：（1）不同向．（2）（3）证明：（先证充分性）若是，，的公共周期，则，，，所以，即．故“是函数，，的公共周期”是“是函数的周期”的充分条件．（再证必要性）若是的周期，则，即，所以．当时，由，，两两同向，得得，，则，不符合题意．同理可得当时，，不符合题意．故．同理可得，．故“是函数，，的公共周期”是“是函数的周期”的必要条件．综上：“是函数，，