2026-2027学年江西省余干县私立蓝天中学高三上学期第一次月考数学试卷（含解析）

/数学一、单选题（每小题5分，共40分）1.设集合，，则（）A. B. C. D.2.已知，则“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件3.，，则的否定是（）A.， B.， C.， D.，4.已知函数，若，则（）．A.0 B.2 C.4 D.65.已知，，，则（）A. B.C. D.6.二次函数的最大值为，则，，的大小关系是（）A. B.C. D.7.已知定义在R上的函数满足条件，且函数是偶函数，当时，，当时，的最小值为，则a的值等于（）A.4 B.3 C.2 D.18.已知函数，（，其中为自然对数的底数），若关于的方程有且只有一个实数解，则实数的取值范围为（）A. B. C. D.二、多选题（每小题6分，共18分）9.已知为实数，下列命题中一定成立的是（）A.若，则B.若，则C.若且，则D.若，则10.下列命题中是真命题的有（）A.B.“”是“”的必要不充分条件C.设函数，则D.函数的图像必过定点11.已知函数，，，则下列说法正确的是（）A.B.的图象关于原点对称C.对任意的，的最大值与最小值之和为D.的解集为三、填空题（每小题5分，共15分）12.___________．13.已知命题：“，使得”是真命题，则实数的取值范围是________.14.已知函数．若存在实数，使得关于的方程有三个不同的根，则实数的取值范围是______．四、解答题15.已知集合，．（1）若，求；（2）若，求实数的取值范围．16.已知=.（1）若=4，且a>0，求实数a的值；（2）求的值.17.已知函数，．（1）求和的函数解析式；（2）设，判断的奇偶性，并加以证明．18.已知，；，．（1）若为真命题，求实数的取值范围；（2）若，中有且仅有一个真命题，求实数的取值范围．19.已知函数．（1）判断并证明函数的奇偶性；（2）解关于的不等式；（3）设，若函数与图象有2个公共点，求实数的取值范围．

数学一、单选题（每小题5分，共40分）1.设集合，，则（）A. B. C. D.答案：B解析：解答过程：因为集合，，所以.2.已知，则“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件答案：B解析：思路：先求解一元二次不等式得到对应解集，通过判断两个解集的集合包含关系，结合充分必要条件的定义得出结论.解答过程：不等式解集为，所以，“”是“”的必要不充分条件.3.，，则的否定是（）A.， B.， C.， D.，答案：B解析：思路：根据全称量词命题的否定为特称量词判断即可.解答过程：由题意得命题的否定是，.4.已知函数，若，则（）．A.0 B.2 C.4 D.6答案：D解析：思路：根据的值，即可求解.解答过程：，，所以，则.5.已知，，，则（）A. B.C. D.答案：B解析：思路：利用和作为中间量，比较的大小即可得解.解答过程：函数单调递增，又，所以，即；函数单调递减，又，所以，即；函数单调递增，又，所以，即，所以.6.二次函数的最大值为，则，，的大小关系是（）A. B.C. D.答案：C解析：思路：根据二次函数的最值得出二次函数的开口得出单调性即可比较大小.解答过程：二次函数的最大值为，则二次函数开口向下，且二次函数对称轴为，所以单调递增，单调递减，又，所以.7.已知定义在R上的函数满足条件，且函数是偶函数，当时，，当时，的最小值为，则a的值等于（）A.4 B.3 C.2 D.1答案：D解析：思路：借助函数的奇偶性与周期性，求出参数的值.解答过程：已知函数是偶函数，所以，即函数图像关于对称，即，当时，，所以，因为，所以，即，在区间中，的最小值为，解得.8.已知函数，（，其中为自然对数的底数），若关于的方程有且只有一个实数解，则实数的取值范围为（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：利用，先解出的根，又由得到，再利用函数的图象即可得的取值范围.解答过程：当时，，则；当时，则，得.因为，所以.又关于的方程有且只有一个实数解，所以有且只有一个实数解.如图，作出函数的图象，又，由图可得.二、多选题（每小题6分，共18分）9.已知为实数，下列命题中一定成立的是（）A.若，则B.若，则C.若且，则D.若，则答案：ACD解析：解答过程：已知，不等式两边同时加上同一个实数，不等式方向不变，所以，正确；已知，当时，，错误；已知且，不等式两边同时乘同一个负数，不等式方向改变，即，正确；已知，对于正数，分母越大，分数越小，即，正确.10.下列命题中是真命题的有（）A.B.“”是“”的必要不充分条件C.设函数，则D.函数的图像必过定点答案：CD解析：思路：对于A，由空集定义可判断选项正误；对于B，由必要不充分条件定义可判断选项正误；对于C，由分段函数解析式可判断选项正误；对于D，由可判断选项正误.解答过程：对于A，空集为不含有任何元素的集合，则不属于空集，故A错误；对于B，或，则“”是“”的充分不必要条件，故B错误；对于C，，故C正确；对于D，令，则，故的图像必过定点，故D正确.故选：CD11.已知函数，，，则下列说法正确的是（）A.B.的图象关于原点对称C.对任意的，的最大值与最小值之和为D.的解集为答案：BCD解析：思路：利用指数幂的运算性质可判断A选项；利用函数奇偶性的定义可判断B选项；推导出函数的图象关于点对称，结合对称性可判断C选项；分析函数的单调性与对称性，将所求不等式变形为，结合函数的单调性解之即可，可判断D选项.解答过程：对于A选项，对任意的，，故函数的定义域为，，所以，A错；对于B选项，对任意的，，故函数的定义域为，，即，故函数为奇函数，所以函数的图象关于原点对称，B对；对于C选项，对任意的，，所以函数的图象关于点对称，故函数图象的最高点和最低点关于点对称，所以，C对；对于D选项，易知函数的定义域为，函数在上为减函数，因为内层函数在上单调递减，外层函数在上为增函数，由复合函数法可知，函数在上为减函数，又因为函数为奇函数，故该函数在上也为减函数，所以函数在上为减函数，故函数在上为减函数，由可得，所以，解得，故不等式的解集为，D对.三、填空题（每小题5分，共15分）12.___________．答案：##解析：解答过程：原式.13.已知命题：“，使得”是真命题，则实数的取值范围是________.答案：解析：解答过程：，，∴，所以实数的取值范围是.14.已知函数．若存在实数，使得关于的方程有三个不同的根，则实数的取值范围是______．答案.解析：思路：方程有三个不同的根等价于直线与函数图象有个不同的交点，比较分段点处左右函数值大小，结合图象单调性得到参数范围.解答过程：如下图所示，当时，若要满足题意，需要，解得；当时，，此时函数在上单调递增，在上单调递减，故不存在，使得关于的方程有三个不同的根；当时，若要满足题意，需要，解得或（舍去）.综上所述，实数的取值范围为.四、解答题15.已知集合，．（1）若，求；（2）若，求实数的取值范围．答案：（1）（2）解析：思路：（1）先解不等式，再由并集的概念求解即可；（2）由交集与空集的概念求解.（1）当时，，又，所以．（2）由（1）知，．因为恒成立，所以，所以或，即或．所以实数的取值范围为．16.已知=.（1）若=4，且a>0，求实数a的值；（2）求的值.答案：（1）或；（2）2；解析：思路：（1）由分段函数的各区间解析式求a值，验证所得a值是否在区间内即可；（2）由分段函数在上可得，进而求值即可.解答过程：（1）由=4且a>0，∴当，有；当，有，（舍去），综上，有或；（2）由分段函数的解析式知：.方法提示：本题考查了分段函数，综合考查了已知函数值求参数，利用分段函数求函数值，属于基础题.17.已知函数，．（1）求和的函数解析式；（2）设，判断的奇偶性，并加以证明．答案：（1）（2）是偶函数，证明如下：，的定义域为，，，所以是偶函数．解析：（1）由于所以，所以．（2）略18.已知，；，．（1）若为真命题，求实数的取值范围；（2）若，中有且仅有一个真命题，求实数的取值范围．答案：（1）（2）解析：思路：（1）通过分离参数，将全称命题转化为求在给定闭区间上的最小值问题，从而解出实数的取值范围；（2）先利用二次方程判别式求出特称命题为真的条件，再分“真假”与“假真”两种情况分别求解不等式组并取并集即可.（1）若p为真，在恒成立，即，时，，故；（2）若q为真，方程有实根，，解得或，由p、q一真一假：①p真q假：，解得；②p假q真：，解得；综上：19.已知函数．（1）判断并证明函数的奇偶性；（2）解关于的不等式；（3）设，若函数与图象有2个公共点，求实数的取值范围．答案：（1）偶函数；对任意的，，所以，函数的定义域为，，即，所以，所以函数是偶函数；（2）（3）解析：思路：（1）由偶函数的定义结合对数运算性质证明；（2）分析函数在上的单调性，由偶函数的性质将所求不等式变形为，可得出关于实数的不等式，解之即可；（3）令，由题意可知，关于的方程有