2026-2027学年宁夏银川市银川一中高三上学期第一次月考数学试卷（含解析）

/数学一、单项选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）1.已知全集，集合，，则图中阴影部分表示的集合为（）A. B.C. D.2.命题，的否定为（）A.，B.，C.，D.，3.从1，2，3，4，5，6，7七个数字中，选出两个奇数和一个偶数，组成一个没有重复数字的三位数，这样的三位数共有（）A.18个 B.36个 C.72个 D.108个4.已知角的终边经过点，且，则（）A. B. C. D.5.已知函数为奇函数，则下列结论不正确的是（）A.的定义域为B.C.的单调递减区间为D.的值域为6.已知，为某随机试验的两个事件，为事件的对立事件．若，，．则（）A. B. C. D.7.已知函数，若正实数，满足，则的最小值是（）A. B. C. D.8.已知函数，，当关于实数的方程有个根时，实数的取值范围是（）A. B. C. D.二.多项选择题（共3小题，满分18分，每小题6分）9.下列命题中，正确的命题是（）A.已知随机变量X服从二项分布，若，，则B.若回归直线的斜率估计值为，样本点中心为，则回归直线的方程为C.设服从正态分布，若，则D.某人在10次射击中，击中目标的次数为X，，则当时概率最大10.已知函数，则下列结论正确的是（）A.在上单调递增B.若函数有两个零点，则C.不等式的解集为D.若，则11.已知定义域为的函数，，满足，，，，则下列说法正确的是（）A. B.是周期函数C.是奇函数 D.点是的对称中心三、填空题（共3小题，满分15分，每小题5分）12.如图，一把折扇完全打开后，扇面的两条弧，的弧长分别是和，且，则图中阴影部分的面积是________13.已知，，则______.14.已知直线是曲线与曲线的公切线，则等于______.四、解答题（共5小题，满分77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15.已知函数（）．（1）讨论函数的单调性；（2），，求的取值范围．16.郑州某中学为了解学生课后阅读时间与体育锻炼时长的关联性，以及基于阅读时间预测学生作业完成质量，随机抽取了高二年级名学生进行调查，将学生课后阅读时间分为“不少于小时”“少于小时”两类，体育锻炼时长分为“不少于小时”“少于小时”两类，得到如下统计数据（单位：人）：（1）求下面表格中，，的值，并依据小概率值的独立性检验，分析学生课后阅读时间与体育锻炼时长是否有关？阅读时间\锻炼时长不少于1小时少于1小时总计不少于1小时15少于1小时1050总计4555100参考数据（独立性检验临界值表）：0.10.050.0250.010.0050.0012.7063.8415.0246.6357.87910.828（2）为进一步研究课后阅读时间（单位：小时）与学生每日作业完成质量得分的关系，随机选取其中20名学生的样本数据，经计算得：，，，，求关于的一元线性回归方程，并预测若某学生课后阅读时间为2.5小时，则其每日作业完成质量得分为多少？附：（i），其中.（ii）在线性回归方程中，，；17.已知函数．（1）若函数在定义域上单调递增，求实数a的取值范围；（2）若，求证：；（3）设是函数的两个极值点，求证：．18.甲、乙两名同学进行羽毛球比赛，每局比赛无平局，且各局比赛结果相互独立.已知单局比赛中，甲获胜的概率为.（1）双方进行比赛，先赢得局比赛的一方获胜.若，（i）求乙获胜的概率；（ii）求在甲获胜的条件下，乙至少获胜一局的概率.（2）设为“双方进行满局比赛（不提前结束），甲赢得至少局”的概率；为“双方进行比赛，采用至少赢局且至少多赢局的规则（例如甲至少赢局，且净胜乙至少局时，甲获胜），甲获胜”的概率.比较与的大小.19.已知函数.（1）证明：在上恰有两个零点；（2）已知点，的坐标为，.（i）证明：当时，的图象位于线段下方；（ii）设的两个零点为，，证明.

数学一、单项选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）1.已知全集，集合，，则图中阴影部分表示的集合为（）A. B.C. D.答案：C解析：解答过程：由，可得，即，又，所以图中阴影部分表示的集合为．2.命题，的否定为（）A.，B.，C.，D.，答案：B解析：解答过程：命题“，”的否定为“”.3.从1，2，3，4，5，6，7七个数字中，选出两个奇数和一个偶数，组成一个没有重复数字的三位数，这样的三位数共有（）A.18个 B.36个 C.72个 D.108个答案：D解析：思路：利用排列组合以及分步乘法计数原理即可求解.解答过程：由题意得：第一步：先选两个奇数有种选法，第二步：再选一个偶数有种选法，第三步：最后将三个数组成没有重复的三位数有种排法，根据分步乘法计数原理共有：种排法.4.已知角的终边经过点，且，则（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：根据余弦的定义计算即可.解答过程：由题知，解得．故选：B.5.已知函数为奇函数，则下列结论不正确的是（）A.的定义域为B.C.的单调递减区间为D.的值域为答案：D解析：思路：对于A选项，由，即可求解；对于B选项，根据函数为奇函数，由即可求解；对于C选项，利用指数函数的单调性求解；对于D选项，由时，，得到，再由是奇函数即可求解.解答过程：对于选项A，由，解得，所以的定义域为，故A正确；对于选项B，因为函数是定义域为的奇函数，所以，即，解得，当时，，所以，则符合题意，所以B正确；对于选项C，当时，，且在上递增，则在上递减，所以在上递减，又是奇函数，则的单调递减区间为和，故C正确；对于选项D，由选项B可知，，当时，，则，所以，又是奇函数，当时，，所以的值域为，故D错误.6.已知，为某随机试验的两个事件，为事件的对立事件．若，，．则（）A. B. C. D.答案：D解析：思路：由求出，再求出，最后由条件概率公式计算可得.解答过程：因为，所以，所以，又，所以，所以.故选：D7.已知函数，若正实数，满足，则的最小值是（）A. B. C. D.答案：D解析：思路：先判断函数的奇偶性及单调性，结合题设可得，然后利用基本不等式“1”的代换求解最值即可.解答过程：由，，则，故是定义在上的奇函数，由，得，由为增函数，知是增函数，所以，即，所以，当且仅当，即时等号成立，则的最小值是.8.已知函数，，当关于实数的方程有个根时，实数的取值范围是（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：分别作出函数，的图象，分、、和四种情况讨论，结合函数图象分析交点个数即可得解.解答过程：分别作出函数，的图象，如图所示，令，则即为，若，则方程没有根，不合题意；若，则方程有且仅有1个根，即，可知方程有且仅有2个不相等根，不合题意；若，则方程有2个不相等实根，，方程有且仅有2个不相等实根，且方程有且仅有2个不相等实根，所以方程有4个不相等实根，不合题意；若，则方程有3个不相等实根，，，方程有且仅有2个不相等实根，且方程有且仅有2个不相等实根，由题意可知方程有且仅有2个不相等实根，则或，可得；综上所述：实数的取值范围是.方法提示：本题的关键是将方程根的问题转化为复合函数的零点个数问题，利用函数图象对参数进行分类讨论求解.二.多项选择题（共3小题，满分18分，每小题6分）9.下列命题中，正确的命题是（）A.已知随机变量X服从二项分布，若，，则B.若回归直线的斜率估计值为，样本点中心为，则回归直线的方程为C.设服从正态分布，若，则D.某人在10次射击中，击中目标的次数为X，，则当时概率最大答案：BC解析：思路：利用二项分布的期望公式和方差公式列出关于的方程组，解方程组即可判断A选项；根据回归方程过样本中心点求出回归方程，即可判断B选项；利用正态分布图像的对称性即可判断C选项；根据与1比较，判断其单调性，即可判断D．解答过程：解：对于A，由随机变量X服从二项分布，若，，可得，解得，故A错误；对于B，若回归直线的斜率估计值为，样本点中心为，则回归直线的方程，即，故B正确；对于C，随机变量服从正态分布，则图像关于轴对称，若，则，所以，故C正确；对于D，因为10次射击中，击中目标的次数为X，，则，，，则，当，即时，递增，当，即时，递减，所以当，即当时概率最大，故D错误．10.已知函数，则下列结论正确的是（）A.在上单调递增B.若函数有两个零点，则C.不等式的解集为D.若，则答案：ACD解析：思路：对于A，利用导数与函数单调性间的关系，直接求出单调区间，即可求解；对于B，利用选项A中结果，结合，即可求解；对于C，分和两种情况，当时，恒成立，当，构造函数，即可求解；对于D，根据条件得到，再结合选项A的结果，即可求解.解答过程：对于选项A，因为，由，得到，当时，，当时，，即在区间上单调递减，在区间上单调递增，所以选项A正确，对于选项B，若有两个不同的零点，即直线与有两个交点，因为是的极小值点，，因为，且时，所以，当时直线与有两个交点，选项B错误；对于选项C，由，得到，当时，恒成立，当时，由，得到，令，在区间上单调递增，所以，则，综上，不等式的解集为，C选项正确；对于选项D，由，得到，则，由选项A知，在区间上单调递增，所以，则，故选项D正确，11.已知定义域为的函数，，满足，，，，则下列说法正确的是（）A. B.是周期函数C.是奇函数 D.点是的对称中心答案：ABD解析：思路：先根据函数递推式推导的周期性，再结合的对称性、与

的关系逐一判断选项．解答过程：对于选项A：由，令

得，已知，代入得，所以A正确；对于选项B：已知，将替换为得，两式联立消去得，再将替换为得，即，故是周期为6的周期函数，所以B正确；对于选项C：由得关于直线对称，又由条件，

令，则，

由关于直线对称得，因为，所以，即，

令，则，所以是偶函数，不是奇函数．所以C错误；对于选项D：要判断是否为对称中心，即需验证对任意，，

因为，所以，

所以因此只需证明，由，令，得：，即，将替换为得又因是偶函数，有，所以

所以因此是的对称中心，所以D正确．三、填空题（共3小题，满分15分，每小题5分）12.如图，一把折扇完全打开后，扇面的两条弧，的弧长分别是和，且，则图中阴影部分的面积是________答案：解析：思路：设扇形的圆心角为，小扇形半径为，根据弧长公式建立方程组求出半径和圆心角，再利用扇形面积公式作差求解．解答过程：设扇形的圆心角为，小扇形的半径为，则大扇形的半径为．依题意得

αr=2πα(r将α=2π3代入，解得，则所以阴影部分的面积

．13.已知，，则______.答案：解析：解答过程：，，则，所以，.14.已知直线是曲线与曲线的公切线，则等于______.答案：3解析：思路：由求得切线方程，结合该切线也是的切线列方程，求得切点坐标以及斜率，进而求得直线，从而求得正确答案.解答过程：设是图象上的一点，，所以在点处的切线方程为，即，令，解得，，所以，，所以或，当时，，不符合题意，舍去，所以，此时，所以.四、解答题（共5小题，满分77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15.已知函数（）．（1）讨论函数的单调性；（2），，求的取值范围．答案：（1）当时，在上单调递减；当时，在上单调递减，在上单调递增（2）解析：思路：（1）求导后拆分因式，定义域内恒正，只需根据的正负分类讨论符号，划分单调区间；（2）不等式消去二次项，将参数单独移到一侧，转化为大于右侧函数在区间上的最大值，再通过求导求右侧函数最值.（1）因为函数，函数定义域为，所以（），因为，故，若时，恒成立，，在上单调递减；若时，令，得，当时，，单调递减；当时，，单调递增．综上所述，当时，在上单调递减；当时，在上单调递减，在上单调递增．（2）不等式化简得：，，变形得：．所以对，不等式恒成立．令（），求导得，当时，，在上单调递增当时，，在上单调递减，因此的最大值为，故，即的取值范围为．16.郑州某中学为了解学生课后阅读时间与体育锻炼时长的关联性，以及基于阅读时间预测学生作业完成质量，随机抽取了高二年级名学生进行调查，将学生课后阅读时间分为“不少于小时”“少于小时”两类，体育锻炼时长分为“不少于小时”“少于小时”两类，得到如下统计数据（单位：人）：（1）求下面表格中，，的值，并依据小概率值的独立性检验，分析学生课后阅读时间与体育锻炼时长是否有关？阅读时间\锻炼时长不少于1小时少于1小时总计不少于1小时15少于1小时1050总计4555100参考数据（独立性检验临界值表）：0.10.050.0250.010.0050.0012.7063.8415.0246.6357.87910.828（2）为进一步研究课后阅读时间（单位：小时）与学生每日作业完成质量得分的关系，随机选取其中20名学生的样本数据，经计算得：，，，，求关于的一元线性回归方程，并预测若某学生课后阅读时间为2.5小时，则其每日作业完成质量得分为多少？附：（i），其中.（ii）在线性回归方程中，，；答案：（1），，，有关（2），77.5分解析：思路：（1）根据列联表的性质填表，计算卡方值，利用独立性检验思想即得结论；（2）利用相关数据代入公式求出的值，即得回归方程，代入即可计算对应的估计值.（1）由表知：，，，零假设为：学生课后阅读时间与体育锻炼时长无关则，依据小概率值的独立性检验，有充分证据推断不成立，因此可以认为学生课后阅读时间与体育锻炼时长有关；（2）因，，则，又，，则，则于是关于的一元线性回归方程为，当时，所以若某学生课后阅读时间为2.5小时，则其每日作业完成质量得分为77.5分.17.已知函数．（1）若函数在定义域上单调递增，求实数a的取值范围；（2）若，求证：；（3）设是函数的两个极值点，求证：．答案：（1）（2）当时，，要证明，只需证，只需证，记，则，所以单调递增；单调递减，成立；（3）由题意可知，因为有两个极值点，所以是方程的两个不等实根，，所以，，所以要证，即证，即证，即证，即证，令，则证明，令，则，所以在上单调递增，则，即，所以原不等式成立；解析：思路：（1）由题意得恒成立，参变分离求最值即可；（2）由题意得要证明，只需证，记，利用导数研究单调性求最大值即可得证；（3）化简，将转化成，再构造函数，通过讨论其单调性即可求证.（1）的定义域为在上恒成立，所以在上恒成立，又，当且仅当时，等号成立，所以，即a的取值范围是；（2）略（3）略18.甲、乙两名同学进行羽毛球比赛，每局比赛无平局，且各局比赛结果相互独立.已知单局比赛中，甲获胜的概率为.（1）双方进行比赛，先赢得局比赛的一方获胜.若，（i）求乙获胜的概率；（ii）求在甲获胜的条件下，乙至少获胜一局的概率.（2）设为“双方进行满局比赛（不提前结束），甲赢得至少局”的概率；为“双方进行比赛，采用至少赢局且至少多赢局的规则（例如甲至少赢局，且净胜乙至少局时，甲获胜），甲获胜”的概率.比较与的大小.答案：（1）（i）；（ii）（2）当时，；当时，；当时，解析：思路：（1）（i）若乙以获胜，则第局乙赢，前局乙赢局输局，再利用独立事件和独立重复试验的概率公式可求出所求事件的概率；（ii）设事件为甲获胜，事件为乙至少获胜一局，分析出甲获胜的情况，求出的值，以及事件所包含的情形，求出的值，再利用条件概率公式可求出的值；（2）设表示前局中同学甲赢得的局数，记，求得，，作差，对与的大小进行分类讨论，即可得出与的大小关系.（1）（i）因为甲每局获胜的概率为，所以乙每局获胜的概率为，若乙以获胜，则第局乙赢，前局乙赢局输局.所以乙获胜的概率为；（ii）设事件为甲获胜，事件为乙至少获胜一局，若甲获胜，则甲对乙可以以、、获胜