2026-2027学年山西省忻州市某校高二上学期期始考试数学试卷（含解析）

/数学一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合，则（）A. B. C. D.2.已知直线过点，且在两坐标轴上的截距相等，则直线的方程为（）A. B.C.或 D.或3.已知五个数，，，，的极差为4，方差为2，则，，，，的（）A.极差为12，方差为18 B.极差为9，方差为6C.极差为12，方差为6 D.极差为9，方差为184.直线和无公共点，则a的值为（）A.－1或2 B.0或3C.－1或0 D.－1或35.已知空间内三点，，，则点到直线的距离为（）A. B. C. D.6.若直线平分圆，则的最小值是（）A. B. C. D.7.某种药物作用在农作物上的分解率为，与时间（小时）满足函数关系式（其中为非零常数），若经过12小时该药物的分解率为，经过24小时该药物的分解率为，那么这种药物完全分解，至少需要经过（）（参考数据：）A.48小时 B.52小时 C.64小时 D.120小时8.棱长为2的正方体内有一个棱长为a的正四面体，且该正四面体可以在正方体内任意转动，则a的最大值为（）A.1 B. C. D.2二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．每题给出的选项中，有多项符合要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.下列说法正确的是（）A.直线的倾斜角为B.若直线经过第三象限，则，C.存在使得直线与直线垂直D.已知直线过定点且与以为端点的线段有交点，则直线的斜率的取值范围是10.在复平面内，复数，对应的点分别为，，为坐标原点，则下列结论正确的是（）A.若，则B.若，且，则，关于轴对称C.若，则D.若，且，是关于的方程的两个根，则11.棱长为1的正方体中，点在线段上运动（包括端点），则下列结论正确的是（）A.一定成立B.当直线与直线相交时，点是线段的一个三等分点C.三棱锥的体积不变D.的最小值为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.圆上的点到直线的距离的最小值为_______.13.已知cos(＋α)＝，，则的值为________.14.已知函数，若存在，使得，则的最小值为________．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知圆C的圆心在直线x+y﹣2＝0上，且经过点A（4，0），B（2，2）．（1）求圆C的方程；（2）若直线l过点P（3，4）与圆交于M，N两点，且弦长，求直线l的方程．16.如图，已知正三棱柱中，，点P为的中点.（1）证明：平面；（2）求点B到平面的距离.17.学校在组织选拔数学弘毅班的过程中，对报名的50名学生进行了一次测试．已知参加此次测试的学生的分数全部介于45分到95分之间（满分100分），学校将所有测试分数分成5组：，，，，整理得到如图所示的频率分布直方图（同组数据以这组数据的中间值作为代表）．（1）求的值．（2）估计此次数学测试分数的平均数与中位数．（保留一位小数）（3）若采用分层随机抽样的方法，从分数在内的学生中抽出5人，查看他们的答题情况，再从中选取2个人进行面试，求这2人中至少有一人分数在内的概率．18.如图，在中，内角，，的对边分别为，，．已知，，，且为边上的中线，为的角平分线．（1）求及线段的长；（2）求的面积．19.如图1所示，在等腰梯形，，，垂足为，，，将沿折起到的位置，如图2所示，平面平面．（1）求证：平面平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值；（3）在棱（不包括端点）上是否存在点，使平面与平面的夹角的余弦值为，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由．

数学一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合，则（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：解不等式化简集合，根据交集的概念求解.解答过程：由，解得，所以，由，解得，所以.所以，故选：A.2.已知直线过点，且在两坐标轴上的截距相等，则直线的方程为（）A. B.C.或 D.或答案：C解析：思路：通过对截距的取值是否为进行分类，分别设直线方程为和，代入点，即可求解.解答过程：设直线的横截距为，纵截距为，因为直线在两坐标轴上的截距相等，即，当时，设直线的方程为，又直线过点，所以，解得，所以直线的方程为；当时，设直线的方程为，即，又直线过点，所以，解得，所以直线的方程为，即.综上所述，过点，且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程为或.故选：C3.已知五个数，，，，的极差为4，方差为2，则，，，，的（）A.极差为12，方差为18 B.极差为9，方差为6C.极差为12，方差为6 D.极差为9，方差为18答案：A解析：解答过程：对于一组数据，如果每个数据都进行线性变换，其中为常数，那么新数据的极差是原数据极差的倍，新数据的方差是原数据方差的倍.由题可知，，原极差为4，方差为2，则新极差为，新方差为，A正确.4.直线和无公共点，则a的值为（）A.－1或2 B.0或3C.－1或0 D.－1或3答案：C解析：思路：两直线无公共点，由两直线平行求解.解答过程：当时，这两条直线分别为和，无公共点.当时，，解得.综上，或.故选：C5.已知空间内三点，，，则点到直线的距离为（）A. B. C. D.答案：D解析：思路：根据空间向量数量积的坐标表示求出，利用同角三角函数的关系求出，结合计算即可求解.解答过程：空间内三点，，，，因为，由，所以，所以点到直线的距离.故选：D.6.若直线平分圆，则的最小值是（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：由题意可知，直线过圆心，可得出，将代数式与相乘，展开后利用基本不等式可求得的最小值.解答过程：圆的标准方程为，圆心为，由题意可知，点在直线上，则，所以，当且仅当时，即当时，等号成立，故的最小值为.故选：C.7.某种药物作用在农作物上的分解率为，与时间（小时）满足函数关系式（其中为非零常数），若经过12小时该药物的分解率为，经过24小时该药物的分解率为，那么这种药物完全分解，至少需要经过（）（参考数据：）A.48小时 B.52小时 C.64小时 D.120小时答案：B解析：思路：根据已知条件，利用待定系数法求出函数关系式，然后再代入计算即可．解答过程：由题意可得，解得，所以，这种药物完全分解，即当时，有，即，解得．故选：B．8.棱长为2的正方体内有一个棱长为a的正四面体，且该正四面体可以在正方体内任意转动，则a的最大值为（）A.1 B. C. D.2答案：B解析：思路：棱长为的正四面体的外接球的半径为1，设正四面体为，过作平面，垂足为，连接，表示出，然后结合图形利用勾股定理列方程求解解答过程：棱长为2的正方体内切球的半径为1，因为正四面体可以在正方体内任意转动，所以只需该正四面体为球的内接正四面体，换言之，棱长为的正四面体的外接球的半径为1，设正四面体为，过作平面，垂足为，连接，为底面正的中心，则，体高为，由于外接球半径为1，利用勾股定理得：，解得或(舍)，故选：B二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．每题给出的选项中，有多项符合要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.下列说法正确的是（）A.直线的倾斜角为B.若直线经过第三象限，则，C.存在使得直线与直线垂直D.已知直线过定点且与以为端点的线段有交点，则直线的斜率的取值范围是答案：ACD解析：思路：对于A，将方程转化为点斜式方程求得斜率，再根据斜率与倾斜角的关系即可判断；对于B，取特例判断即可；对于C，根据直线一般式方程下垂直的关系直接列示求解即可；对于D，根据点的位置关系，结合直线斜率公式求解即可.解答过程：解：A选项，对于直线，将其化为斜截式，斜率,因为倾斜角,且，所以,故A选项正确；B选项，取，此时直线为，过第三象限，满足，，与矛盾，故B选项错误C选项，若直线与直线垂直，则，即，此时直线为与，满足题意，故C选项正确；D选项，对于点，，由于，，因为直线与线段有交点，且所以直线的斜率的取值范围是，即，故D选项正确.故选：ACD10.在复平面内，复数，对应的点分别为，，为坐标原点，则下列结论正确的是（）A.若，则B.若，且，则，关于轴对称C.若，则D.若，且，是关于的方程的两个根，则答案：BC解析：解答过程：若，则，故A错误；因为，，所以，则，关于轴对称，故B正确；若，则，则，故C正确；由题意得，，则，故D错误.11.棱长为1的正方体中，点在线段上运动（包括端点），则下列结论正确的是（）A.一定成立B.当直线与直线相交时，点是线段的一个三等分点C.三棱锥的体积不变D.的最小值为答案：ACD解析：思路：利用正方体的结构特征，结合线面垂直的判定、性质推理判断A；确定与的交点判断B；由线面平行的判定及三棱锥的体积公式判断C；正与等腰置于同一平面，利用两点间距离最短计算判断D.解答过程：对于A，矩形是正方体的对角面，则，由平面，平面，得，而，平面，则平面，又平面，因此，A正确；对于B，由平面，平面，得，而，平面，则平面，又平面，因此，，同理，而平面，于是平面，令平面，必为与的交点，由三棱锥为正三棱锥，得是正的中心，为线段的中点，B错误；对于C，由，平面，平面，得平面，因此点到平面的距离为定值，而的面积为定值，则为定值，C正确；对于D，将正与等腰置于同一平面，由，得，，当且仅当为的中点时取等号，D正确.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.圆上的点到直线的距离的最小值为_______.答案：2解析：思路：先计算出圆心到直线的距离，判断圆与直线的关系，根据圆与直线的关系进行求解.解答过程：该圆的圆心为，半径，到直线的距离，所以圆与直线相离，其上一点到的距离的最小值为.13.已知cos(＋α)＝，，则的值为________.答案：解析：思路：首先化简目标式为，根据已知条件求出、，即可求值解答过程：由知：，又∴，，，故∴综上，有故方法提示：本题考查了利用三角恒等变换求函数值，注意正弦二倍角公式、和角公式化简目标式的应用，根据象限角判断相关角的函数值，进而求目标三角函数的值14.已知函数，若存在，使得，则的最小值为________．答案：5解析：思路：根据正弦函数值域，判断等式成立的条件，进而根据函数最值，列出不等式，求出参数范围，求出结果即可.解答过程：因为，又存在，使得，所以在上要有最大值与最小值，且，所以，所以，所以，又因为，所以，经分析，要使最小，需区间包含区间，即且时，解得，所以的最小值为.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知圆C的圆心在直线x+y﹣2＝0上，且经过点A（4，0），B（2，2）．（1）求圆C的方程；（2）若直线l过点P（3，4）与圆交于M，N两点，且弦长，求直线l的方程．答案：（1）（2）x﹣3＝0或15x﹣8y﹣13＝0解析：思路：（1）求得圆心和半径，由此求得圆的方程.（2）根据直线的斜率存在和不存在进行分类讨论，结合弦长来求得直线的方程.（1）由题意可得：，AB中点坐标为M（3，1），则直线AB的垂直平分线方程为y﹣1＝x﹣3，与直线x+y﹣2＝0联立可得两直线的交点坐标为（2，0），即所求圆的圆心坐标为（2，0），圆的半径r＝4﹣2＝2，圆的方程为：．（2）设圆心到直线的距离为d，则，解得d＝1，很明显直线斜率不存在时，直线x﹣3＝0满足题意，当直线斜率存在时，设直线方程为：y﹣4＝k（x﹣3），即kx﹣y﹣3k+4＝0，从而有：，解得，则直线方程为，即15x﹣8y﹣13＝0，综上可得，直线方程为x﹣3＝0或15x﹣8y﹣13＝0．16.如图，已知正三棱柱中，，点P为的中点.（1）证明：平面；（2）求点B到平面的距离.答案：（1）证明见解析（2）解析：思路：（1）连接交于点，利用三角形中位线定理证明，再结合线面平行的判定定理即可得证.（2）利用等体积法，通过计算三棱锥的体积和底面积求解点到平面的距离.（1）连接交于点，连接.因为三棱柱为正三棱柱，所以侧面为矩形，所以为的中点.又因为点为的中点，所以在中，为中位线，故.因为平面，平面，所以平面.（2）设点到平面的距离为.因为为正三角形，为的中点，所以，且.因为三棱柱为正三棱柱，所以平面.又平面，所以.因为，平面，所以平面.又平面，所以.在中，.所以的面积.又的面积.由可得，即，解得.所以点到平面的距离为.17.学校在组织选拔数学弘毅班的过程中，对报名的50名学生进行了一次测试．已知参加此次测试的学生的分数全部介于45分到95分之间（满分100分），学校将所有测试分数分成5组：，，，，整理得到如图所示的频率分布直方图（同组数据以这组数据的中间值作为代表）．（1）求的值．（2）估计此次数学测试分数的平均数与中位数．（保留一位小数）（3）若采用分层随机抽样的方法，从分数在内的学生中抽出5人，查看他们的答题情况，再从中选取2个人进行面试，求这2人中至少有一人分数在内的概率．答案：（1）（2）；（3）解析：思路：（1）利用频率分布直方图中各小矩形面积和为1列式求解.（2）利用（1）的结论，利用频率分布直方图中平均数和中位数定义求解.（3）利用分层抽样求出落在两个区间内的人数并编号，再利用列举法求出古典概率.（1）由频率分布直方图，得，所以.（2）由（1）得，该次考试测试分数的平均数的估计值为：分；测试分数在的频率：，测试分数在的频率：，则测试分数中位数为，，解得，所以此次数学测试分数的中位数约为.（3）记分数在的人数为（人），分数在的人数为（人），由，得采用分层随机抽样的方法，抽取的5人中，分数在的有2人，编号分别为，分数在有3人，编号为，样本空间，则，记事件“至少一人分数在”，则，则，所以这2人中至少有一人分数在内的概率为.18.如图，在中，内角，，的对边分别为，，．已知，，，且为边上的中线，为的角平分线．（1）求及线段的长；（2）求的面积．答案：（1），BC＝6（2