2026-2027学年山西省长治市高三上学期9月月考数学试卷

/山西长治市2026-2027学年高三上学期9月份学情调研数学试题一、单选题1．已知复数满足，则的共轭复数是（

）A． B． C． D．2．设集合，，则（

）A． B．C． D．3．已知向量，，则（

）A． B． C． D．4．已知是定义域为的奇函数，且单调递减，则不等式的解集为（

）A． B．C． D．5．甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排照相，则甲站在两端，丙和丁相邻的排法有（

）A．12种 B．24种 C．40种 D．48种6．与圆及圆都外切的圆的圆心在．A．一个圆上 B．一个椭圆上 C．双曲线的一支上 D．抛物线上7．已知数列为等比数列，，公比．若是数列的前项积，则取得最大值时的值为（

）A．7 B．8 C．9 D．108．质点和在以坐标原点为圆心，半径为1的圆上逆时针作匀速圆周运动，同时出发．的角速度大小为，起点为圆与轴正半轴的交点；的角速度大小为，起点为圆与射线的交点．则当与第2026次重合时，的坐标为（

）A． B．C． D．二、多选题9．已知二项式，则下列结论正确的有（

）A．展开式中项系数为36B．展开式中二项式系数的和为512C．展开式中二项式系数最大项为第四项和第五项D．展开式中所有二项式系数的第一四分位数为3610．设函数，则（

）A．有两个零点B．当时，C．过点仅可以作两条直线与的图象相切D．若在区间上有最大值，则的取值范围为11．已知正四面体的棱长为2，点在棱上（不含端点），过点作平行于和的截面，则下列结论正确的有（

）A．截面面积的最大值为1B．当点为中点时，三棱锥内切球的半径为C．直线与平面所成角为D．异面直线与所成角的取值范围三、填空题12．已知向量，的夹角为，，，则的值为______．13．记等差数列的前n项和为．若，，则______．14．已知函数与函数的零点分别为，则__________.四、解答题15．在中，内角，，所对的边分别为，，，且．(1)求角的大小；(2)若，求面积的最大值．16．已知两点的坐标分别是，直线相交于点，且直线的斜率与直线的斜率的差是2．(1)求点的轨迹方程；(2)若经过点的直线与点的轨迹相交于两点，，为坐标原点，求线段的长．17．如图，三棱柱的所有棱长均为2，三棱柱的体积为3，且．(1)若平面与平面交于直线，求点到直线的距离；(2)求平面与平面夹角的余弦值．18．设函数，．(1)讨论的单调性；(2)证明：当时，；(3)当，，求的取值范围．19．现有A、B两个箱子，里面分别装有3个大小、质地完全相同的小球．A箱有2个红球，1个白球；B箱有1个红球，2个白球．现有甲、乙两人进行摸球游戏，每轮游戏甲从A箱取一球，乙从B箱取一球，每次取球后放回原来箱子（即每次取球时箱中球的总数和颜色保持不变，各轮取球相互独立）．每轮取球得分规则如下：•若两人取出的球颜色相同：各得2分•若一人取红球，一人取白球：取红球者得3分，取白球者得1分(1)求第一轮游戏甲与乙得分之差的分布列和期望；(2)若规定游戏进行轮结束（），轮游戏结束后若甲累计得分高于乙，则甲获得最终胜利；若乙累计得分不低于甲，则乙获得最终胜利．①求时乙获得最终胜利的概率；②求时在乙获得最终胜利的条件下，甲乙分数相同的概率．1．D2．B3．D4．A5．B6．C7．B8．A9．AB10．ACD11．ABD12．13．1014．515．(1)(2)16．(1)(2)17．(1)(2)18．(1)当时，在上单调递减.当时，在上单调递减，在上单调递增.(2)令，则，当时，，所以在上单调递增.故，即.因为，所以，即，所以得证.(3)（1）对求导，导函数的分子为含参的二次函数，对参数进行讨论确定导函数的正负，进而得到的单调性.（2）要证明，即证明，要证，构造，对求导，判断导函数的正负确定单调性.（3）根据（1）问中的单调性讨论当时，，不符合题意，，不符合题意，当，构造讨论单调性，求出在上的最小值，确定的取值范围.19．(1)甲与乙得分之差的分布列为(2)①②（1）根据条件可知的所有可能取值为，再根据游戏规则计算所有可能取值对的概率即可列出分布列与计算出期望；(2)①设两轮总差为,那么的可能取值为，由于各轮取球相互独立，所以乙最终胜利当且仅当两轮总差不大于0，通过独立