2026-2027学年四川省泸州市泸县第五中学高一上学期第一次定时练习数学试卷（含解析）

/数学一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.下列各组对象中，能构成集合的是（）A.2025年重庆市高考数学全国II卷中的难题B.重庆市某高级中学高一年级身高较高的学生C.人教A版《数学》必修第一册课本中的所有习题D.美丽的小鸟2.命题：“，”的否定是（）A.， B.，C.， D.，3.“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件4.已知全集，集合，，则（）A. B.C. D.5.若，，则下列不等式成立的是（）A. B. C. D.6.下列说法中正确的是（）A.1与表示同一个集合B.由1，2，3组成的集合可表示为或C.方程的所有解的集合可表示为D.集合可以用列举法表示7.已知集合，则集合的真子集个数为（）A.7 B.8 C.15 D.168.若，则的最大值为（）A.3 B.4 C.5 D.6二．多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得3分，选错或不选的得0分．9.下列结论正确的是（）A. B. C. D.10.已知集合，，则使的实数的取值可以是（）A.1 B.3 C.5 D.711.已知，，，则下列结论成立的是（）A.的最大值为 B.的最小值为2C.的最小值为3 D.的最小值为第Ⅱ卷（非选择题共92分）三．填空题（共3题，每题5分，共15分．）12.设，为两个非空实数集合，定义集合，若，，则中元素的个数是__________．13.某校高一年级组织趣味运动会，其中“毛毛虫”和“两人三足”两个比赛项目深受学生喜爱，报名踊跃.已知某班学生参加“毛毛虫”的人数是该班全体人数的四分之一；参加“两人三足”的人数比参加“毛毛虫”的人数多2人；两个项目都参加的人数比两个项目都不参加的学生人数少26人；则该班参加“两人三足”比赛的人数是__________.14.若集合，，且，则由实数的取值构成的集合________．四，解答题：本题共5小题，共77分．解答题应写出文字说明､证明过程或演算步骤．15.已知全集，集合或，求：（1）；（2）（3）.16.已知集合．（1）若，求实数的取值范围；（2）若，求实数的取值范围．17.某农场要建造一个长方体形无盖蓄水池，其容积为1200m3，深为3m，其底面为长方形，其中.如果池底每平方米的造价为120元，池壁每平方米的造价为100元.（1）若贮水池的总造价不超过78000元，求边长的范围；（2）怎样设计贮水池能使总造价最低？最低总造价是多少？18.已知关于的不等式的解集为．（1）求实数，的值；（2）正实数，满足．①求的最小值；②若恒成立，求实数的取值范围．19.对于四个正数，，，，如果，那么称是的“下位序列”.（1）对于，，，，试问是否为的“下位序列”；（2）设，，，均为正数，且是的“下位序列”，试判断，，之间的大小关系；（3）设正整数满足条件对集合内的每个，总存在，使得是的“下位序列”，且是的“下位序列”，求正整数的最小值

数学一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.下列各组对象中，能构成集合的是（）A.2025年重庆市高考数学全国II卷中的难题B.重庆市某高级中学高一年级身高较高的学生C.人教A版《数学》必修第一册课本中的所有习题D.美丽的小鸟答案：C解析：思路：根据集合的概念逐项分析即可得结论.解答过程：对于A，“难题”是不确定的概念，所以“2025年重庆市高考数学全国II卷中的难题”不能构成集合，故A不符合；对于B，“身高较高”不确定的概念，所以“重庆市某高级中学高一年级身高较高的学生”不能构成集合，故B不符合；对于C，“人教A版《数学》必修第一册课本中的所有习题”能确定元素是否在给定的整体里面，所以这个整体能够构成集合，故C符合；对于D，“美丽的”是不确定的概念，所以“美丽的小鸟”不能构成集合，故D不符合.故选：C.2.命题：“，”的否定是（）A.， B.，C.， D.，答案：A解析：解答过程：命题“，”的否定是“，”.3.“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件答案：A解析：思路：先求解不等式得出的取值范围，再根据充分性和必要性的定义判断两个条件之间的关系.解答过程：不等式可化为，即.若成立，一定满足，因此充分性成立；若满足，不一定满足，因此，必要性不成立.故“”是“”的充分不必要条件.4.已知全集，集合，，则（）A. B.C. D.答案：A解析：思路：解不等式求得，进而求得，根据集合的并集运算，即可求得答案.解答过程：依题意，，，故.故选：A.5.若，，则下列不等式成立的是（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：根据不等式的性质依次判断各个选项即可.解答过程：对于A，当时，，A错误；对于B，当且时，，B错误；对于C，∵，∴，又，∴，C正确；对于D，当，时，，D错误.故选：C.6.下列说法中正确的是（）A.1与表示同一个集合B.由1，2，3组成的集合可表示为或C.方程的所有解的集合可表示为D.集合可以用列举法表示答案：B解析：思路：根据集合的相关概念以及表示方法，对每个选项进行逐一分析，即可判断选择.解答过程：对于A，1不能表示一个集合，故错误；对于B，因为集合中的元素具有无序性，故正确；对于C，因为集合的元素具有互异性，而中有相同的元素，故错误；对于D，因为集合中有无数个元素，无法用列举法表示，故错误.故选：B.7.已知集合，则集合的真子集个数为（）A.7 B.8 C.15 D.16答案：A解析：思路：根据集合子集个数的计算公式即可得.解答过程：集合有3个元素，故集合的真子集个数为.故选：A.8.若，则的最大值为（）A.3 B.4 C.5 D.6答案：B解析：解答过程：由题设，则，当且仅当时取等号，所以的最大值为.二．多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得3分，选错或不选的得0分．9.下列结论正确的是（）A. B. C. D.答案：BC解析：思路：对于A：由空集的定义判断；对于B：Q为有理数集直接判断；对于C：是任何集合的子集.，即可判断；对于D：由集合中代表元素进行判断.解答过程：对于A：空集没有任何元素，故不正确.故A错误；对于B：Q为有理数集，而是无理数.故B正确；对于C：是任何集合的子集.故C正确；对于D：是由0和1构成的数集，而是由构成的点集.故D错误.故选：BC10.已知集合，，则使的实数的取值可以是（）A.1 B.3 C.5 D.7答案：AB解析：解答过程：由，得.①当时，可得，解得；②当时，可得，解得，综上，故选项AB正确.11.已知，，，则下列结论成立的是（）A.的最大值为 B.的最小值为2C.的最小值为3 D.的最小值为答案：ACD解析：思路：根据基本不等式的性质，以及题干所给条件，逐一判断各选项正误，判断结果即可.解答过程：对A，，当且仅当时取等号，A正确；对B，结合A，有，时取等号，B错；对C，，当且仅当即时取等号，C正确；对D，因为，，，所以，，所以，当，取得最小值为，D正确．故选：ACD．第Ⅱ卷（非选择题共92分）三．填空题（共3题，每题5分，共15分．）12.设，为两个非空实数集合，定义集合，若，，则中元素的个数是__________．答案：8解析：思路：直接根据定义求出集合中的元素即可.解答过程：因为定义集合，又，，，，，，，，，所以集合中的元素分别为1，2，3，4，6，7，8，11共8个.故8．13.某校高一年级组织趣味运动会，其中“毛毛虫”和“两人三足”两个比赛项目深受学生喜爱，报名踊跃.已知某班学生参加“毛毛虫”的人数是该班全体人数的四分之一；参加“两人三足”的人数比参加“毛毛虫”的人数多2人；两个项目都参加的人数比两个项目都不参加的学生人数少26人；则该班参加“两人三足”比赛的人数是__________.答案：解析：思路：设该班总人数为，两个项目都参加的人数为，根据题设并利用容斥原理列方程求，即可得答案.解答过程：设该班总人数为，则参加“毛毛虫”的人数为，参加“两人三足”的人数为，若两个项目都参加的人数为，则两个项目都不参加的学生人数为，所以，故该班参加“两人三足”比赛的人数是.故14.若集合，，且，则由实数的取值构成的集合________．答案：解析：思路：由，即，故,{−1},{3}，分类讨论得到a的值即可.解答过程：由，即，故,{−1},{3}若时，方程无解，；若，则，∴；若,则∴；综上：，或，或故方法提示：本题考查了集合运算的性质，考查了转化化归，分类讨论的能力，属于中档题.四，解答题：本题共5小题，共77分．解答题应写出文字说明､证明过程或演算步骤．15.已知全集，集合或，求：（1）；（2）（3）.答案：（1）或.（2）或（3）解析：思路：（1）利用交集与并集的概念计算即可；（2）利用补集与并集的概念计算即可；（3）利用补集与交集的概念计算即可.（1）因为全集，集合或，所以或.（2）易知或或;（3）易知，所以或.16.已知集合．（1）若，求实数的取值范围；（2）若，求实数的取值范围．答案：（1）；（2）.解析：思路：（1）由，可得，根据并集的运算即可求解；（2）由，得，对集合分是否为空集进行讨论，结合子集关系即可求解.（1）因为集合，所以，又，集合，所以，解得，所以.（2）因为，所以，当，则，解得，当，则，解得，综上所述，实数的取值范围是，即.17.某农场要建造一个长方体形无盖蓄水池，其容积为1200m3，深为3m，其底面为长方形，其中.如果池底每平方米的造价为120元，池壁每平方米的造价为100元.（1）若贮水池的总造价不超过78000元，求边长的范围；（2）怎样设计贮水池能使总造价最低？最低总造价是多少？答案：（1）（2）当m，m时，贮水池的总造价最低，最低总造价是72000元.解析：思路：（1）设，利用总造价不超过78000元列不等式，由此求得的取值范围.（2）利用基本不等式求得总造价的最小值以及设计方案.（1）设m，m，且，则依题意可得，且，则，且，则总造价，则，即，整理得，解得，又，所以边长的范围是.（2）结合（1）有，且总造价，当且仅当时，等号成立，所以当m，m时，贮水池的总造价最低，最低总造价是72000元.18.已知关于的不等式的解集为．（1）求实数，的值；（2）正实数，满足．①求的最小值；②若恒成立，求实数的取值范围．答案：（1），（2）①；②解析：思路：（1）依题意可得和是关于的方程的两个根，利用韦达定理计算可得；（2）①由（1）可知，利用基本不等式计算可得；②由已知可得，利用乘“1”法及基本不等式求出的最小值，依题意，即可得解.（1）由题意可得和是关于的方程的两个根，由根与系数的关系可得，解得．（2）①由（1）可得，又，，所以当且仅当时取等号，所以或（舍去），所以的最小值为，当且仅当，时取等号.②因为，且，所以，所以，当且仅当，即、时取等号，因为恒成立，所以恒成立，则，即实数的取值范围为.19.对于四个正数，，，，如果，那么称是的“下位序列”.（1）对于，，，，试问是否为的“下位序列”；（2）设，，，均为正数，且是的“下位序列”，试判断，，之间的大小关系；（3）设正整数满足