2026-2027学年四川省南充市嘉陵第一中学高二上学期第一次学情调研数学试卷（含解析）

/数学第一部分（选择题共58分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．1.某工厂生产、、三种不同型号的产品，产品数量之比依次为，现用分层抽样方法，抽出一个容量为的样本，样本中型号的产品有16件，那么此样本的容量等于（）A.100 B.200 C.90 D.802.设为实数，空间向量，，则以下说法正确的是（）A.当时， B.当时，C.当时， D.当时，3.下列说法正确的是（）A.数据1，8，3，5，6的第60百分位数是5B.若一组样本数据4，6，7，8，9，的平均数为7，则C.用分层随机抽样时，个体数最多的层里的个体被抽到的概率最大D.若的标准差为4，则的标准差是84.若，，，则下列结论错误的是（）A.事件与相互独立 B.C.事件与互斥 D.5.如图，在直三棱柱中，，，点是棱的中点，则平面与平面夹角的正弦值为（）A. B. C. D.16.某数据样本的频率分布直方图如下图所示，则该组数据的众数、平均数、中位数的大小关系为（

）A.众数<平均数<中位数B.众数<中位数<平均数C.中位数<平均数<众数D.众数=平均数=中位数7.如图所示，在正方体中，分别在上，且，则（）A.至多与之一垂直 B.是的公垂线C.与相交 D.与异面8.已知正方体的棱长为2，点满足，且，则的最小值是（）A. B. C. D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.小胡同学参加射击比赛，打了8发子弹，报靶数据如下：9，8，6，10，9，7，6，9（单位：环），则下列说法正确的是（）A.这组数据的众数为9 B.这组数据的40%分位数是7.5C.这组数据的极差是4 D.这组数据的平均数是910.盒中有个大小、质地均相同的小球，其中三个红球上分别写有，两个白球上分别写有．从中不放回地随机取出两个小球，记事件为“取出的两个球颜色不同”，事件为“取出的两个球上的数字相同”，事件为“取出的两个球上的数字之和小于”，那么（）A. B.C. D.事件与相互独立11.如图，在棱长为1的正方体中，P为棱的中点，Q为正方形内一动点（含边界），则下列说法正确的是（）A.三棱锥的体积为定值B.若平面，则动点Q的轨迹是一条线段C.存在Q点，使得平面D.若直线与平面所成角的正切值为，那么Q点的轨迹长度为第二部分（非选择题共92分）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.设是不共线的向量，已知，若A，B，D三点共线，则实数k为______．13.小王参加了甲、乙两款闯关游戏，小王闯关甲款游戏成功的概率为，小王闯关乙款游戏成功的概率为，两款游戏闯关都不成功的概率为，则小王甲、乙两款游戏都闯关成功的概率为__________．14.在三棱锥中，，点在平面内的射影为棱的中点，三棱锥的体积为1，则三棱锥的外接球的表面积为__________．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知向量.（1）求；（2）求与的夹角；（3）若与垂直，求实数t的值．16.如图，已知平行六面体所有的棱长均为，，，为的中点，设.（1）用表示；（2）求的值.17.国务院2026年印发的《关于推进服务业扩能提质的意见》，将物业服务纳入社区服务的重点提升领域．某社区为提升物业服务质量，随机选取了100名业主就小区物业服务情况进行问卷调查，并将业主的满意度评分值（百分制）按照，，，…，分成6组，制成如图所示的频率分布直方图．（1）求图中的值；（2）估计这组数据的众数与平均数（同一组数据用该组数据区间的中点值代替）；（3）已知这100名业主中满意度评分值在内的男性人数与女性人数的比为．若在满意度评分值为的人中随机抽取2人进行座谈，求恰有1名女性的概率．18.如图，在正方体中，棱长为，为棱的中点，为侧面内的一点，已知，．（1）求证：平面；（2）求与平面所成角的正弦值；（3）求点到平面的距离．19.如图，在四棱锥中，平面，底面为平行四边形，且，设平面平面，且．（1）证明：；（2）若，，（i）求直线与平面所成角的正弦值；（ii）点是四边形（不含边界）内的动点，且，求平面与平面所成角的余弦值的取值范围．

数学第一部分（选择题共58分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．1.某工厂生产、、三种不同型号的产品，产品数量之比依次为，现用分层抽样方法，抽出一个容量为的样本，样本中型号的产品有16件，那么此样本的容量等于（）A.100 B.200 C.90 D.80答案：D解析：解答过程：由题意，得，解得.2.设为实数，空间向量，，则以下说法正确的是（）A.当时， B.当时，C.当时， D.当时，答案：C解析：解答过程：对于A，当时，，显然不存在实数使得，故A错误；对于B，当时，，显然不存在实数使得，故B错误；对于C，当时，，，故C正确；对于D，当时，，，故D错误.3.下列说法正确的是（）A.数据1，8，3，5，6的第60百分位数是5B.若一组样本数据4，6，7，8，9，的平均数为7，则C.用分层随机抽样时，个体数最多的层里的个体被抽到的概率最大D.若的标准差为4，则的标准差是8答案：D解析：思路：对于A，由百分位数的定义即可判断；对于B，由平均数公式列方程即可判断；对于C，由分层抽样的性质即可判断；对于D，由标准差的性质即可判断.解答过程：对于A，因为5个数据从小到大排列为1，3，5，6，8，且，所以第60百分位数是，则A错误.对于B，一组样本数据4，6，7，8，9，的平均数为7，可知，解得，B错误.对于C，因为在分层抽样中，每一层的抽样比是相同的，都等于总的抽样比，所以C错误.对于D，因为的标准差为4，所以它的方差为16，而的方差为，所以它的标准差是8，故D正确.故选：D.4.若，，，则下列结论错误的是（）A.事件与相互独立 B.C.事件与互斥 D.答案：C解析：思路：利用事件相互独立的定义判断A项；利用随机事件的概率加法公式计算判断B项；根据互斥事件的概率公式判断C项；利用事件相互独立的性质计算判断D项．解答过程：对于A，由可得，，则事件与相互独立，故A正确；对于B，因，故B正确；对于C，因，故事件与不互斥，即C错误；对于D，由A项可得事件，相互独立，故，即D正确．5.如图，在直三棱柱中，，，点是棱的中点，则平面与平面夹角的正弦值为（）A. B. C. D.1答案：C解析：思路：建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算可得解答过程：如图，以为坐标原点建立空间直角坐标系，令，则，设平面的法向量为，∵，，则，令，则，∴，又平面的法向量为，故，设平面与平面所成角为，，则，故平面与平面夹角的正弦值为.故选：C.6.某数据样本的频率分布直方图如下图所示，则该组数据的众数、平均数、中位数的大小关系为（

）A.众数<平均数<中位数B.众数<中位数<平均数C.中位数<平均数<众数D.众数=平均数=中位数答案：B解析：解答过程：由频率分布直方图可知，样本数据在左侧较集中，右侧尾部较长，分布呈右偏.在频率分布直方图中，众数是最高矩形底边中点的横坐标，中位数是使左右两侧面积均为0.5的分界点，平均数受右侧较大数据的影响更明显.因此平均数最大，中位数居中，众数最小，即众数<中位数<平均数.7.如图所示，在正方体中，分别在上，且，则（）A.至多与之一垂直 B.是的公垂线C.与相交 D.与异面答案：B解析：思路：建立空间直角坐标系，写出相应的点坐标，求出相应向量的坐标，利用向量法判断两条直线的位置关系即可.解答过程：以为原点，所在直线分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设，则，由，则，所以，因为，所以，又与无公共点，所以，故C，D错误；由，且，所以，故A错误，B正确.8.已知正方体的棱长为2，点满足，且，则的最小值是（）A. B. C. D.答案：C解析：解答过程：由和结合共面向量定理得四点共面，即点在平面上，则的最小值为点到平面的距离．以为原点建立如图所示的空间直角坐标系，则，所以，设平面的法向量，则，取，点到平面的距离．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.小胡同学参加射击比赛，打了8发子弹，报靶数据如下：9，8，6，10，9，7，6，9（单位：环），则下列说法正确的是（）A.这组数据的众数为9 B.这组数据的40%分位数是7.5C.这组数据的极差是4 D.这组数据的平均数是9答案：AC解析：解答过程：对于A，由题意知这组数据中数字9出现了3次，次数最多，故A正确；对于B，将这组数据从小到大排列，可得6，6，7，8，9，9，9，10，由，可知分位数是第4个数8，故B错误；对于C，这组数据的极差是，故C正确；对于D，这组数据的平均数是，故D错误．10.盒中有个大小、质地均相同的小球，其中三个红球上分别写有，两个白球上分别写有．从中不放回地随机取出两个小球，记事件为“取出的两个球颜色不同”，事件为“取出的两个球上的数字相同”，事件为“取出的两个球上的数字之和小于”，那么（）A. B.C. D.事件与相互独立答案：ABD解析：思路：先计算不放回抽取个球的总基本事件数，再分别计算各事件对应的基本事件数，结合古典概型公式、事件包含关系、独立事件判定规则逐一分析选项.解答过程：根据题意，所有可能的组合为：(红1,红2),(红1,红3),(红1,白1),(红1,白2),(红2,红3),(红2,白1),(红2,白2),(红3,白1),(红3,白2),(白1,白2)，共种，对于A，事件为两球颜色不同，对应共种组合，，故A正确；对于B，事件为两球数字相同，仅(红1,白1),(红2,白2)种情况，且均满足颜色不同，即，故，，故B正确；对于C，事件为数字之和小于，对应共种组合，，故C错误；对于D，事件为两球颜色不同且数字和小于，对应共种组合，，而，满足独立事件判定条件，故事件与相互独立，故D正确.11.如图，在棱长为1的正方体中，P为棱的中点，Q为正方形内一动点（含边界），则下列说法正确的是（）A.三棱锥的体积为定值B.若平面，则动点Q的轨迹是一条线段C.存在Q点，使得平面D.若直线与平面所成角的正切值为，那么Q点的轨迹长度为答案：ABD解析：思路：对于A.根据等体积转化，可证明体积为定值；对于B.取、中点，连接、、PF，证明平面平面，则点的轨迹为线段；对于C.以为原点，建立空间直角坐标系，设，求出平面的法向量，根据求出x、z即可判断；对于D.利用线面角的向量公式，得到点的轨迹方程，即可求得点的轨迹长度.解答过程：A.三棱柱的体积，，点到平面的距离为，所以三棱锥的体积为定值，故A选项正确；B.取、中点，连接、、PF，由且，知是平行四边形，∴，∵平面，平面，平面，同理可得平面，∵，平面，∴平面平面，则点的轨迹为线段，故B选项正确；C.如图，建立空间直角坐标系，则，，，设，则，，设为平面的一个法向量，则即得取，则.若平面，则，即存在，使得，则，解得，故不存在点使得平面，故C选项错误；D.平面的法向量为，，若直线与平面所成角的正切值为，则此角的正弦值是，所以，所以，因为点Q为正方形内一动点（含边界），所以点是以为圆心，为半径的圆弧(正方形内),即圆心角为的圆弧，弧长为，故D正确.故选：ABD第二部分（非选择题共92分）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.设是不共线的向量，已知，若A，B，D三点共线，则实数k为______．答案：解析：解答过程：因为，又A，B，D三点共线，由向量共线的充要条件得，所以．13.小王参加了甲、乙两款闯关游戏，小王闯关甲款游戏成功的概率为，小王闯关乙款游戏成功的概率为，两款游戏闯关都不成功的概率为，则小王甲、乙两款游戏都闯关成功的概率为__________．答案：解析：思路：先求，再根据即可求解.解答过程：设小王参加甲款游戏闯关成功为事件，参加乙款游戏闯关成功为事件，则，所以，又，所以.14.在三棱锥中，，点在平面内的射影为棱的中点，三棱锥的体积为1，则三棱锥的外接球的表面积为__________．答案：解析：思路：由三棱锥的性质结合已知条件求出，构造空间直角坐标系，求出相关点坐标，利用正三角形的性质求出重心坐标，进而设圆心坐标，利用三棱锥外接球的性质构造方程求出半径，进而利用球的面积公式求解．解答过程：已知，则是等边三角形，面积为，三棱锥的体积，解得，以为坐标原点，为轴，为轴，为轴，建立下图所示空间直角坐标系，则，等边三角形的外接圆圆心为，设外接球球心为，则，，则，解得，，外接球的面积．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知向量.（1）求；（2）求与的夹角；（3）若与垂直，求实数t的值．答案：（1）（2）（3）解析：（1）因为，所以,

所以；（2）因为，所以，所以，​，，设与的夹角为，则，又，得；（3）因为，所以，，因为与垂直，所以，故，解得.16.如图，已知平行六面体所有的棱长均为，，，为的中点，设.（1）用表示；（2）求的值.答案：（1），（2）2解析：思路：（1）用向量的线性运算即可求解；（2）用向量数量积的运算律即可求解.（1）由于，，所以，因此，又因为为的中点，，因此.（2）由（1）可知，，所以.因为，所以.17.国务院2026年印发的《关于推进服务业扩能提质的意见》，将物业服务纳入社区服务的重点提升领域．某社区为提升物业服务质量，随机选取了100名业主就小区物业服务情况进行问卷调查，并将业主的满意度评分值（百分制）按照，，，…，分成6组，制成如图所示的频率分布直方图．（1）求图中的值；（2）估计这组数据的众数与平均数（同一组数据用该组数据区间的中点值代替）；（3）已知这100名业主中满意度评分值在内的男性人数与女性人数的比为．若在满意度评分值为的人中随机抽取2人进行座谈，求恰有1名女性的概率．答案：（1）（2）众数为，平均数为（3）解析：思路：（1）根据频率和为1求的值.（2）利用频率分布表估计众数和平均数.（3）先确定满意度评分值在内男性与女性的人数，再结合古典概型求概率.（1）由.（2）估计众数为，估计平均数为.（3）由题意，满意度评分值为的人有人，其中男性人，记为，，；女性有人，记为，.从这5人中随机抽取2人进行座谈，所有的样本点有：，，，，，，，，，，共10个.记“恰有1名女性”为事件，则事件包含：，，，，，6个样本点.所以.18.如图，在正方体中，棱长为，为棱的中点，为侧面内的一点，已知，．（1）求证：平面；（2）求与平面所成角的正弦值；（3）求点到平面的距离．答案：（1）解法一：以为原点，建立如图空间直角坐标系．则，，，，，．因为为棱的中点，所以，因为为侧面内的一点，且，所以可设，．因为，所以．所以，所以．又因为，，，平面，且，所以平面．所以为平面的法向量，因为，且平面，所以平面．解法二：因为，设的中点为，连接，则，所以在正方形中，，且平面，平面，所以平面．又因为为棱的中点，为中点，连接，则，且平面，平面，所以平面，因为，，平面，所以平面平面，平面，所以平面；（2）（3）解析：思路：（1）解法一：建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，进而证明出线面平行；解法二；证明出面面平行，进而得到线面平行；（2）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，利用线面角正弦公式进行求解；（3）建立空间直角坐标系，利用点到平面距离公式进行求解（1）略（2）以为原点，建立如图空间直角坐标系．则，，，，，．因为为棱的中点，所以．因为为侧面内的一点，且，所以可设，．因为，所以．所以，所以在正方体