福建省厦门沧江高级中学2026-2027学年高二（上）质量检测数学试卷（10月份）（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2026-2027学年福建省厦门沧江高级中学高二（上）质量检测数学试卷（10月份）一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。1.已知点A（3，4，5），点B（1，-2，3），则=（）A.（-2，-6，-2） B.（2，6，2） C.（4，2，-2） D.（2，-1，-1）2.直线x-y+1=0的倾斜角为（）A.30° B.45° C.60° D.120°3.△ABC在空间直角坐标系中的位置如图所示，其中OA=1，OB=4，OC=2.则平面OBC的一个法向量是（）A.（1，0，0）

B.（0，0，0）

C.（0，1，0）

D.（0，0，1）4.若直线的斜率为3，且经过点（0，2），则直线的方程为（）A.3x-y+2=0 B.3x+y-2=0 C.3x+y+2=0 D.3x-y-2=05.若直线l的方向向量为=（1，0，2），平面α的法向量为=（-2，1，1），则（）A.l∥α B.l⊥α C.l⊂α或l∥α D.l与α斜交6.已知空间向量，的夹角为，且，，则为（）A.4 B. C.8 D.7.已知向量，向量，则向量在向量上的投影向量为（）A. B. C. D.8.已知空间直角坐标系xOyz中，过点P（x0，y0，z0）且一个法向量为的平面α的方程为a（x-x0）+b（y-y0）+c（z-z0）=0经过点P（x0，y0，z0）且方向向量为的直线方程为.用以上知识解决下面问题：中国古建筑的斗拱是榫卯营造技艺的瑰宝，层层构件相互咬合，撑起宏大的屋檐.在空间直角坐标系中，某斗拱构件所在平面α的方程为x-2y+2z+1=0，一根木质斜杆穿过构件，斜杆对应的直线l的方程为，则斜撑杆（直线l）与斗拱构件平面α所成角的正弦值为（）A. B. C. D.二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。9.已知空间向量，，，则（）A.∥ B.

C.可以为空间的一组基底 D.10.已知直线l1：x+（a-1）y+1=0，直线l2：ax+2y+2=0，则下列结论正确的是（）A.l1在x轴上的截距为-1 B.l2恒过定点（0，-1）

C.若l1∥l2，则a=-1或a=2 D.若l1⊥l2，则11.如图，四边形ABCD为正方形，EA∥BF，EA⊥平面ABCD，AB=AE=2BF=2，点M在棱EC上，且，则（）A.当时，AM⊥EC

B.当时，MF⊥平面EAC

C.当点M在线段EC上运动时，MF的最小值为1

D.当点M在线段EC上运动时，点M到直线BF的距离的最小值为

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.直线x-y=0与直线2x-y-1=0的交点坐标是

.13.已知两条异面直线的方向向量分别是，，则这两条异面直线所成的角的余弦值为

.14.设f（x）为关于x的多项式.对于任意h≠0，将化简成关于h的多项式，把其中不含h的部分称为f（x）在x处的“瞬时变化值”，记为Df（x）.

例如，当f（x）=x2时，，所以Df（x）=2x.

已知a＞0，函数.将y=Df（x）的图象记为直线l,直线l与x轴、y轴分别交于A，B两点，坐标原点为O.则△AOB周长的最小值为

.四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

已知，.

（1）求与夹角的余弦值；

（2）若，求实数k的值.16.(本小题15分)

已知三角形的三个顶点A（-2，0），B（4，-4），C（0，2）.

（1）求AC边所在直线方程；（写出一般式方程）

（2）若点B与C中点为点D，求AD所在直线方程.（写出一般式方程）17.(本小题15分)

如图，在平行六面体ABCD-A′B′C′D′中，AB=AD=2，AA′=3，∠BAD=90°，∠BAA'=∠DAA'=60°.

（1）设，，，用表示；

（2）求证：BD⊥AC′；

（3）求AC′的长.18.(本小题17分)

如图，在四棱锥P-ABCD中，PD=2，AD=1，PD⊥DA，PD⊥DC，底面ABCD为正方形，M，N分别为AD，PD的中点.

（1）求证：PA∥平面MNC；

（2）求直线PB与平面MNC所成角的正弦值；

（3）求点B到平面MNC的距离.19.(本小题17分)

如图，四棱锥P-ABCD中，△PAD是以AD为斜边的等腰直角三角形，BC∥AD，CD⊥AD，PC=AD=2DC=2CB=2.

（1）若点E为线段PD的中点，

（i）证明：CE∥面PAB；

（ii）求直线CE与平面PAB间的距离；

（2）若点E为直线PD上的动点，当直线CE与底面ABCD所成角的正弦值取最大值时，求三棱锥E-ACD的体积.

1.【答案】A

2.【答案】C

3.【答案】D

4.【答案】A

5.【答案】C

6.【答案】B

7.【答案】C

8.【答案】A

9.【答案】BCD

10.【答案】ABD

11.【答案】ABD

12.【答案】（1，1）

13.【答案】

14.【答案】2+

15.【答案】解：（1）因为，，

所以，，，

所以，

所以与夹角的余弦值为；

（2）因为，．

所以，；

因为，

所以，解得．

16.【答案】（1）解：A（-2，0），C（0，2）．AC边所在直线方程为，化为一般式方程为x-y+2=0；

（2）解：B（4，-4），C（0，2）．

由点B与C中点为点D，，即D（2，-1），

所以AD所在直线方程为，化为一般式方程为x+4y+2=0．

17.【答案】解：（1）由已知可得；

（2）由（1）得，又，

又AB=AD=2，AA′=3，∠BAA′=∠DAA′=60°，

所以

=22-22+2×3×cos60°-2×3×cos60°=0，

所以，即BD⊥AC′；

（3）由（1）得，

又AB=AD=2，AA′=3，∠BAD=90°，∠BAA′=∠DAA′=60°．

则

=

=．

18.【答案】（1）证明：因为M，N分别为AD，PD的中点，

所以PA∥MN，

又PA⊄平面MNC，MN⊂平面MNC，

故PA∥平面MNC；

（2）解：由于PD⊥DA，PD⊥DC，AD∩DC=D，AD，DC⊂平面ABCD，

所以PD⊥平面ABCD，

以点D为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示，

则B（1，1，0），C（0，1，0），P（0，0，2），，0，0），N（0，0，1），

所以，

设平面MNC的法向量为，

则，令y=1，则z=1，x=2，

故，

•=1×2+1×1+（-2）×1=1，||==，||==，

所以cos＜，＞===，

设直线PB与平面MNC所成角为θ，

所以sinθ=|cos＜，＞|=，

故直线PB与平面MNC所成角的正弦值为；

（3）因为，

又平面MNC的法向量为，

所以点B到平面MNC的距离为．

19.【答案】解：（1）（i）证明：如图，取PA的中点F，连接EF，FB，有EF∥AD，，

又BC∥AD，，所以EF∥BC，EF=BC，

所以四边形BCEF是平行四边形，

所以CE∥BF，因为CE⊄平面PAB，BF⊂平面PAB，

所以CE∥平面PAB；

（ii）如图，取AD的中点O，连接OP，OB，

因为PA=PD，∠APD=90°，所以AD⊥PO，，

由BC∥AD，BC=OD=CD=1，CD⊥OD，

四边形BCDO是正方形，有AD⊥BO，OB=1，

因为PO∩BO=O，PO，BO⊂平面PBO，

所以AD⊥平面PBO，因为AD⊂平面ABCD，

所以平面ABCD⊥平面PBO，

在平面PBO内作直线BO的垂线Oz,

则Oz⊥平面ABCD，有Oz⊥OB，Oz⊥OD，

以O坐标原点，分别以OB，OD，Oz所在直线为坐标轴，建立如图所示的空间直角坐标系，

因为BC∥AD，所以BC⊥平面PBO，因为BP⊂平面PBO，所以BC⊥BP，

由PC=2，CB=1，知，

由，

知，

从而有，A（0，-1，0），B（1，0，0），C（1，1，0），D（0，1，0），

有，，

设平面PAB的法向量为，

由，

取x=1，则，

得平面PAB的一个法向量为，

因为