吉林省长春市文理高中2026-2027学年高二（上）第一学程数学试卷(含简略答案)

第=page11页，共=sectionpages11页2026-2027学年吉林省长春市文理高中高二（上）第一学程数学试卷一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。1.若复数z=1+i,则z2-z=（）A.1+i B.-1+i C.1-i D.-1-i2.直线的倾斜角为（）A.150° B.30° C.120° D.60°3.以（-1，2）为圆心，为半径的圆的方程为（）A.（x+1）2+（y-2）2=3 B.（x+1）2+（y+2）2=3

C. D.4.已知空间向量，则向量在向量上的投影向量是（）A.（1，-1，1） B. C. D.5.设点P，Q分别为直线3x+4y-7=0与直线6x+8y+3=0上的任意一点，则|PQ|的最小值为（）A.1 B.2 C. D.6.已知点M（1，-2），N（4，4），H是直线l：2x-y+1=0上的动点，则|HM|+|NH|的最小值为（）A. B. C. D.7.如图，一块矿石晶体的形状为四棱柱ABCD-A1B1C1D1，其中底面ABCD是正方形，CC1=CD=4，∠C1CB=∠C1CD=60°，则直线A1C与AD1所成角的余弦值为（）A.

B.

C.

D.8.费马点是法国著名数学家费马于1643年提出的，根据费马的结论可得：当△ABC的三个内角都小于120°时，在△ABC内部存在唯一的点P，使P到三角形三个顶点距离之和最小，且点P满足：∠APB=∠BPC=∠APC=120°.在直角坐标系xOy内，A（2，0），B（1，2），△AOB的费马点为P，则点B到直线PA的距离为（）A.2 B.3 C. D.二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。9.下列命题为真命题的是（）A.已知，则

B.“存在实数x,y,使”是“与，共面”的充分不必要条件

C.已知空间三点A（1，1，1），B（2，2，2），C（3，2，4），则向量与的夹角余弦值为

D.若O为空间中任意一点，有，则点D在平面ABC内10.某市高一年级举行了阶段性检测，为了了解本次检测的学生成绩情况，从中抽取了200名学生的成绩作为样本进行统计，按照[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]的分组作出频率分布直方图如图所示.则（）A.图中x=0.016

B.估计该市全体学生成绩的平均分为71

C.若对成绩前10%的学生进行奖励，则受奖励学生的考试成绩大约至少为84分

D.若在[90，100]的样本成绩对应的学生（包括学生甲和乙）中随机选取两名进行访谈，则甲、乙两人至少抽到一人的概率为11.如图，在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，为线段AD1上一动点，则下列说法正确的是（）A.直线CD与直线C1P无交点

B.直线BD不可能与直线C1P垂直

C.三棱锥C1-BCD的外接球的体积为

D.点A到平面C1BD的距离为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.若直线l1：x+（1-a）y-3=0与直线l2：（2a+3）x+y+2=0垂直，则a=

.13.如图，在平面角为120°的二面角α-l-β中，A∈l,B∈l,AC⊂α，BD⊂β，且AC⊥AB，BD⊥AB，垂足分别为A，B，已知AC=AB=BD=6，则线段CD的长为

．

14.阿波罗尼斯（古希腊数学家，约公元前262-190年）的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，它将圆锥曲线的性质网罗殆尽，几乎使后人没有插足的余地.他证明过这样一个命题；平面内与两定点距离的比为常数k（k＞0且k≠1）的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿氏圆.现有△ABC，AC=6，，则△ABC的最大面积为

.四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

已知△ABC的三个顶点是A（1，2），B（-2，-2），C（3，-4）.

（1）求边AC上的中线BD所在直线方程；

（2）求边AC上的高BE所在直线方程.16.(本小题15分)

在长方体ABCD-A1B1C1D1中，以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，AB=2，AA1=3，AD=4，A1E=3ED1，2C1F=FC.

（1）求证：BD⊥平面CEF；

（2）求直线AE与平面CEF的夹角的正弦值.17.(本小题15分)

已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别a,b,c,sin2B+sinAsinC=sin2A+sin2C.

（Ⅰ）求角B的大小；

（Ⅱ）若b=2，a+c=4，求△ABC的面积.18.(本小题17分)

平面直角坐标系xOy中，点P（2，4），圆O：x2+y2=4与x轴正半轴交于点Q.

（1）求过点P且斜率为1的直线被圆O截得的弦长；

（2）求过点P与圆O相切的直线方程；

（3）过点P的直线与圆O交于不同的两点A，B，判断直线QA，QB的斜率之和是否为定值，若是则求出该定值，若不是则说明理由.19.(本小题17分)

如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD∥BC，PA=2，AB=1，BC=1，AD=2，M是PD的中点.

（1）求证：CM∥平面PAB；

（2）若AB⊥AD.

①求平面PAB与平面PCD夹角的正弦值；

②在线段BD上是否存在点Q，使得点D到平面PAQ的距离为1？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.

1.【答案】B

2.【答案】D

3.【答案】A

4.【答案】C

5.【答案】C

6.【答案】C

7.【答案】A

8.【答案】D

9.【答案】ABD

10.【答案】ACD

11.【答案】AD

12.【答案】-4

13.【答案】12

14.【答案】12

15.【答案】解：（1）△ABC的三个顶点是A（1，2），B（-2，-2），C（3，-4），

AC的中点坐标为D（2，-1），

∴边AC上的中线BD所在直线方程为：

==，

整理得x-4y-6=0．

（2）kAC==-3，

∴kBE=-=，

∴边AC上的高BE所在直线方程为：

y+2=（x+2），

整理得x-3y-4=0．

16.【答案】解：（1）证明：以D为原点，、、分别为x、y、z轴的正方向建立空间直角坐标系，

由题设D（0，0，0），A（4，0，0），B（4，2，0），C（0，2，0），D1（0，0，3），A1（4，0，3），C1（0，2，3），

点E在A1D1上，且A1E=3ED1，所以，则E（1，0，3），

点F在C1C上，且2C1F=FC，所以，得到点F（0，2，2），

所以，，

，所以BD⊥CE，

，所以BD⊥CF，

因为CE⊂平面CEF，CF⊂平面CEF，且CE∩CF=C，

所以BD⊥平面CEF；

（2）由（1）知，可取作为平面CEF的法向量，

直线的方向向量，设直线AE与平面CEF的夹角为θ，

则=，

所以直线AE与平面CEF的夹角的正弦值为．

17.【答案】（I）

（II）

18.【答案】解：（1）过点P（2，4）斜率为1的直线方程为x-y+2=0，

圆心（0，0）到该直线的距离为，

∴该直线被圆O截得的弦长为．

（2）圆O：x2+y2=4的圆心为（0，0），半径为2，

若过点P（2，4）的直线l1的斜率存在，设直线l1的斜率与k,则直线l1方程为y-4=k（x-2），即kx-y-2k+4=0，

∵直线l1与圆O：x2+y2=4相切，

∴圆心到直线l1的距离，解得，

∴切线方程为3x-4y+10=0；

若过点P（2，4）的直线l1的斜率不存在，则方程为x=2，显然与圆相切，符合题意；

综上所述，切线方程为x=2和3x-4y+10=0．

（3）由题意知点Q（2，0），显然直线的斜率存在，设直线方程为y-4=k（x-2），

联立，得（1+k2）x2-4k（k-2）x+（2k-4）2-4=0，

设A（x1，y1），B（x2，y2），则，

且Δ=[-4k（k-2）]2-4（1+k2）[（2k-4）2-4]