北师大版数学 八年级上第二章 实数｜培优04 实数有关类型题（7大题型）（北师大2024） 同步练习 无答案

培优04实数有关类型题（7大题型）题型1实数的性质实数性质的解题策略

依有理数（分数形式）和无理数（无限不循环）定义分类；利用相反数、倒数、绝对值性质计算，含参时验证存在性．1．（24-25七年级下·河南安阳·阶段练习）下列关于的说法错误的是（

）A．的绝对值是 B．的相反数是C．的平方是 D．是无理数2．（24-25七年级下·湖北孝感·期末）实数的相反数为．3．（24-25七年级下·山东滨州·期末）实数的绝对值为．4．（24-25七年级下·安徽芜湖·期末）．5．（21-22八年级上·河北石家庄·期末）已知、是实数，下列四条命题：①如果，那么；②如果，那么；③如果，那么；④如果，那么．其中真命题的是．（填写所有真命题的序号）6．（24-25七年级下·全国·课后作业）求下列各数的相反数与绝对值：．7．（20-21七年级下·陕西商洛·期中）已知是绝对值最小的整数，是最大的负整数，和互为相反数，表示的数是．求式子的值．8．（24-25七年级下·全国·课后作业）写出所有符合下列条件的数：(1)小于的所有正整数；(2)大于且小于的所有整数；(3)绝对值小于的所有整数．题型2实数与数轴实数与数轴问题的解题策略数轴上的点与实数一一对应，利用勾股定理求出线段长，用距离公式求出两点距离．9．（25-26八年级上·全国·随堂练习）如图，在数轴上点表示的数为，，则的值为（

）A． B． C． D．10．（2025·河南周口·三模）如图所示，数轴上各点表示的数中比小的点是（

）A．M B．N C．P D．Q11．（24-25七年级下·山西大同·期末）如图所示，数轴上表示3、的对应点分别为C、B，点C是的中点，则点A表示的数是（

）A．－ B．6－ C．－3 D．＋312．（24-25七年级下·湖南长沙·期末）把无理数表示在数轴上，在这四个无理数中，被墨迹（如图所示）覆盖住的无理数是．13．（25-26八年级上·全国·随堂练习）如图，圆的直径为1个单位长度，该圆上的点A与数轴上表示的点重合，将该圆沿数轴无滑动滚动1周，点A到达点处，则点表示的数为．14．（24-25七年级下·广西南宁·期末）如图，把一个半径为1的半圆形纸片放在数轴上的原点处，此时它的直径与数轴平行，将它向右无滑行地滚动，直至其直径再一次与数轴平行，此时它与数轴的交点为，那么点所表示的数是．15．（24-25八年级上·河南南阳·阶段练习）如图，在数轴上点表示的数是．16．（24-25八年级下·河南驻马店·期末）如图，数轴上点A所表示的数为1，点B，C，D是的正方形网格上的格点，以点A为圆心，长为半径画圆交数轴于M，N两点，则N点所表示的数为．题型3无理数的估算与大小比较无理数的估算与大小比较问题的解题策略平方去根号比较正数；估算用相邻整数夹逼．17．（2025·河南南阳·模拟预测）如图，数轴上可表示的点是（

）A．点A B．点B C．点C D．点D18．（24-25七年级下·河北秦皇岛·期末）《九章算术》中勾股术曰：“勾股各自乘，并而开方除之，即弦”，即（为“勾”，为“股”，为“弦”）若“勾”为，“股”为，则“弦”在如图所示数轴上可表示在（）A．点 B．点 C．点 D．点19．（24-25八年级上·陕西咸阳·期末）估计的值在（

）A．和之间 B．和之间 C．和之间 D．和之间20．（24-25七年级下·广东汕尾·期末）估计的值应在（

）A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间21．（24-25八年级下·辽宁抚顺·期末）比较大小：．（填“>”“<”或“=”）22．（2025·河南漯河·二模）在数轴上表示实数的相反数的点是（

）A．点 B．点 C．点 D．点23．（24-25八年级上·陕西榆林·阶段练习）比较大小：．24．（25-26八年级上·全国·随堂练习）比较下列各组数的大小：(1)与；(2)与1．25．（25-26八年级上·全国·随堂练习）阅读材料：对于任意两个实数和比较大小，若，则；若，则；若，则．上面的规律反过来也成立．参考材料，解决问题：(1)比较大小：________；（填“”“”或“”）(2)已知，且，若，试比较和的大小．题型4实数与程序运算实数与程序运算问题的解题策略逐步执行计算步骤，注意循环终止条件；多次循环归纳周期律，分支结构分类讨论所有路径．26．（24-25七年级下·吉林·期末）有一个数值转换器，运算流程如图所示，当输入的x值为64时，输出的y值是（

）A． B．2 C． D．27．（24-25七年级下·安徽合肥·期末）下图是一个数值转换器，当输入时，则输出（

）A． B． C． D．28．（23-24七年级下·甘肃武威·期中）根据图中的程序，当输入为时，输出的值是（）A． B． C． D．29．（24-25七年级下·湖南郴州·期中）如图，是一个数值转换器示意图，根据图示工作原理解决：当为时，的值是（

）A． B． C． D．30．（24-25九年级下·福建厦门·阶段练习）如图为一个数值转换器，当输入的x值为后，经过三次取算术平方根运算，输出的y值为．

31．（24-25七年级下·黑龙江齐齐哈尔·期末）按照如图所示的操作步骤，若输入x的值为7，则输出的值为．32．（24-25八年级上·河南周口·阶段练习）小壮设计了一个小程序如图所示，当输入的x值为2时，y的相反数为．33．（23-24七年级上·浙江宁波·期中）按照如图所示的操作步骤进行计算，若输入的值为，则输出的值为．

34．（24-25七年级下·北京朝阳·期中）一个数值转换器如图所示：(1)当输入的x值为16时，输出的y值是．(2)若输入有效的x值后，始终输不出y值，则所有满足要求的x的值为．(3)若输出的y值是，请直接写出两个满足要求的x的值．题型5算术平方根非负性的应用算术平方根非负性的应用问题的解题策略利用

、、

等非负数形式，构造解方程或求最值．35．（24-25七年级下·西藏日喀则·期末）若与互为相反数，则．36．（24-25八年级上·江苏南通·阶段练习）若，则的值为．37．（24-25八年级上·甘肃白银·阶段练习）若直角三角形的两边的长分别为m、n，且满足，则该直角三角形的第三边长为．38．（21-22九年级下·浙江台州·期末）已知实数、、满足，求的值．39．（24-25八年级上·湖南常德·期末）已知：，，满足．(1)求，，的值；(2)请判断以，，为边构成的的形状，并说明理由．40．（24-25七年级下·山东日照·期中）如图，已知点，是数轴上两点，，点在点的右侧，点表示的数为，设点表示的数为．(1)实数的值是___________；(2)求的值；(3)在数轴上有两点分别表示实数和，且有与互为相反数，求的算术平方根．41．（25-26八年级上·全国·随堂练习）先阅读下列例题：已知，求和的值．解：把等式左边变形，得，即．因为，所以，即．仿照以上解法，解答下列问题．(1)无论取何值，多项式的值总是（

）A．正数

B．负数

C．非正数

D．非负数(2)已知的三边长分别为，且，则为三角形；(3)已知，求和的值．题型6平方根与立方根的应用平方根与立方根的应用问题的解题策略区别平方根（±）与立方根（唯一），实际问题利用勾股定理、计算平方根、立方根进行计算注意取有意义解（如长度取正值）．42．（24-25七年级下·贵州黔西·期末）如图，在做浮力实验时，小华用一根细线将一个正方体铁块拴住，完全浸入盛满水的烧杯中，并用一个量筒量得溢出的水的体积为，由此可估计该正方体铁块的棱长位于哪两个相邻的整数之间（

）A．2和3之间 B．3和4之间 C．5和6之间 D．6和7之间43．（24-25七年级下·吉林·期末）用电器的功率、电路中的电流及用电器的电阻满足，当，时，．44．（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）已知的立方根是3，的算术平方根是4．求：(1)x，y的值；(2)的平方根．45．（24-25八年级上·湖南永州·阶段练习）魔方又叫鲁比克方块，与华容道、独立钻石棋一同被称为智力游戏界的三大不可思议．如图（1）是一个4阶魔方，由四层完全相同的64个小正方体组成，体积为．若把正方形放在数轴上，如图（2），使得点A与表示1的点重合，那么点D在数轴上表示的数为，这个数的绝对值是．46．（24-25七年级下·广西南宁·期末）如图是由8个同样大小的立方体组成的二阶魔方，体积为．(1)求这个魔方的棱长；(2)图中阴影部分是一个正方形，求阴影部分的面积及其边长．(3)把正方形放到数轴上，如图，使得点A与1重合，数轴上有一个动点E，若，则点E在数轴上表示的数为______．47．（24-25七年级下·河南商丘·期末）在学习《实数》时，我们思考了在网格中画格点（网格线的交点）正方形（顶点都在格点上的正方形）的问题．如图，这是由边长为1的小正方形组成的网格．(1)网格中以为边的格点正方形的面积是________．如图，以原点O为圆心，长为半径画弧，与数轴正半轴交于点B，则点B表示的数m为________，说明可以在数轴上表示________（填“有理数”或“无理数”）．(2)仿照（1）中的思路，在网格中设计以为边的正方形，并求出线段的长．(3)若C，D两点分别表示实数c和d，且有与互为相反数．求的立方根．48．（24-25七年级下·贵州黔南·期末）【问题提出】正方形的边长为1，求对角线的长．【情境再现】老师在课堂上引导同学们探究边长为1的正方形的对角线的长时，如图1，把两个边长为1的正方形分别沿对角线剪开，将所得的4个等腰直角三角形拼在一起，就得到一个面积为2的大正方形，大正方形的边长即为所求．【问题探究】（1）按上述情景，求对角线的长．（2）如图2，将这个边长为1的正方形沿虚线剪开，利用拼图的方法，先画出拼接后的图形，再求对角线的长．【拓展应用】（3）如图3，将长为2，宽为1的2个小长方形分别沿对角线剪开，得到4个直角三角形，请用这4个直角三角形在右边的正方形网格中（每个小正方形的边长都是1）拼出顶点在格点上且边长为的正方形．49．（24-25七年级下·山西吕梁·期末）小悦和小涵利用当地一座高楼探究小球的下落时间和下落高度之间的关系．实验一：小悦从80米高处释放小球，记录小球下落时间；实验二：小涵从20米高处释放小球，记录小球下落时间．已知一个物体从高处自由下落时，下落高度h（米）和下落时间t（秒）可以用公式来表示．(1)请利用公式，求的值．(2)实验后，小涵对小悦说：“我记录的时间刚好是你记录的时间的一半．”小悦说：“你一定是记录错了．”两位同学谁的说法正确？请通过计算说明理由．50．（24-25七年级下·山东济宁·期末）综合与实践在综合实践课上，老师让同学们用一张正方形纸片制作一个无盖长方体盒子．(1)操作计算：如图①，在边长为a的正方形的四个角分别剪去边长为b的小正方形，再将剩余部分折成无盖长方体盒子，如图②．计算：ⅰ．折成的长方体盒子的高______；（用含a或b的代数式表示）．ⅱ．折成的长方体盒子的底面面积______．（用含a或b的代数式表示）(2)规律探究：设图①中正方形纸片的边长为，小正方形的边长b取不同值时，对应的长方体盒子的容积如下表：边长0.511.522.533.544.5容积40.5m73.57262.5n31.5164.5ⅰ．表格中，______，______；ⅱ．在图③中近似画出长方体盒子的容积随小正方形边长变化的趋势图，并根据趋势图写出一条正确的信息：______．(3)拓展应用：如图④，该长方形纸片的长是宽的2倍，且小正方形的边长等于长方形宽的，剪去小正方形后，若用剩余纸片折成的长方体盒子的容积为，求长方形纸片的长．51．（24-25八年级上·山东菏泽·阶段练习）求下列各式中或值：(1)(2)(3)；题型7与平方根、立方根有关的规律探究与平方根、立方根有关的规律探究问题的解题策略观察进行开立方、开平方时被开方数小数点的变化规律．52．（24-25七年级下·河北邢台·期末）嘉淇发现，，根据嘉淇的发现解决问题：已知，，则的值是（

）A．4.5 B．14.23 C．45 D．142.353．（24-25七年级下·山东临沂·期末）下面是一个按某种规律排列的数阵：第一行

1

第二行

2

第三行

3

第四行

4

……

……根据数阵规律，第八行第十五个数是（

）A． B． C． D．54．（24-25七年级下·内蒙古呼和浩特·期末）下表是部分正数x的平方和立方．x8.18.28.38.48.565.6167.2468.8970.5672.25531.441551.368571.787592.704614.125根据上表的数据，可得：；；．55．（24-25七年级下·重庆渝北·期末）求59319的立方根，解答如下：①，又，，∴能确定59319的立方根是个两位数．②59319的个位数是9，又，∴能确定59319的立方根的个位数是9．③划去59319后面的三位319得到数59，而，则，可得，由此能确定59319的立方根的十位数是3，因此59319的立方根是39．根据以上步骤求出314432的立方根是．56．（24-25七年级下·河南许昌·期末）已知，，，则．57．（24-25七年级下·河南驻马店·阶段练习）规律探究，观察，即，即．(1)猜想等于什么？并通过计算验证你的猜想；(2)写出符合这一规律的一般等式（用含有n的式子表示出来）．58．（24-25七年级下·黑龙江齐齐哈尔·期末）观察下列一组算式的特征及运算结果，探索规律：(1)观察算式规律，计算＝；＝．(2)用含正整数的式子表示上述算式的规律：．(3)计算：．59．（24-25八年级上·江苏苏州·阶段练习）（1）观察发现：表格中___________，___________；（2）归纳总结：被开方数的小数点每向右移动2位，相应的算术平方根的小数点就向___________移动___________位；…0.00010.01110010000……0.01x1y100…（3）规律运用：①已知，则___________；②已知，则___________．60．（24-25七年级下·江西上饶·期末）观察下表，并解决问题．a0.00040.044400400000.020.2220200(1)根据上表，可以得到被开方数和它的算术平方根之间的小数点的变化规律：若被开方数的小数点向右（或向左）移动两位，则它的算术平方根的小数点就相应地向右（或向左）移动______位．(2)已知，，则______．(3)根据上述探究过程类比研究一个数的立方根，已知，，，则______．培优综合练61．（2024八年级上·全国·专题练习）实数在数轴上对应的点的位置如图所示，计算的结果为（

）A． B． C． D．62．（22-23七年级下·重庆江津·期中）对代数式定义新运算：．在代数式中任意加新运算，然后按给出的运算顺序重新运算，称此为“新运算操作”．实数，，在数轴上的位置如图所示．例如：，，．下列说法正确的个数是（

）①；②；③至少存在一种“新运算操作”，使运算结果与原代数式之和为0；④至少存在一种“新运算操作”，使运算结果为．A．4 B．3 C．2 D．163．（24-25八年级下·上海·期末）如图，通过画边长为1的正方形，就能准确地把表示在数轴上点处，记右侧最近的整数点为．以点为圆心，为半径画半圆，交数轴于点，记右侧最近的整数点为；以点为圆心，为半径画半圆，交数轴于点，…，如此继续，则的长为．64．（24-25七年级上·浙江杭州·开学考试）有一个数值转换器原理如图．(1)当时，y是多少？(2)输入的x能是任何实数吗？为什么？(3)是否存在这样的x的值，输入计算后始终在进行循环计算而输不出y的值？如果存在，请写出所有x的值；如果不存在，请说明理由；(4)若输出的y是，试判断输入的x值是否唯一？若不唯一，请写出其中的两个．65．（24-25七年级下·福建厦门·期末）某校的数学兴趣小组开展主题为“纸张中的奥秘”的探究活动．【探究一】正方形纸张的对角线的长如图1，该小组用了两个面积为的小正方形分别沿着对角线剪开，将所得的4个直角三角形拼在一起，得到一个面积为的大正方形．（1）根据上述操作过程，小正方形的对角线的长为_____；【探究二】A型纸中的