小学数学奥数抽屉原理2025年秋季学期期末考试卷

小学数学奥数抽屉原理2025年秋季学期期末考试卷考试时间：______分钟总分：______分姓名：______一、填空题（每空2分，共20分）1.至少要有______个苹果，才能保证其中至少有3个苹果来自同一个篮子。2.一个班级有45名学生，至少有______名学生是同一个月出生的。3.从一副扑克牌中（除去大小王）任意抽取卡片，至少要抽取______张，才能保证至少有2张卡片的点数相同。4.在一个不透明的袋子里装有红色、黄色、蓝色的小球若干个，至少要放入______个红色小球，才能保证从中任意取出10个小球中，至少有3个小球颜色相同。5.将7个苹果分给3个小朋友，至少有一个小朋友能分到______个苹果。二、选择题（每题3分，共15分）1.一个书架上有5本故事书和4本科普书，至少要从中取出______本书，才能保证其中既有故事书又有科普书。A.4B.5C.9D.102.在一个班级中，至少要有______名学生，才能保证其中至少有2名学生的生日是同一天。A.366B.365C.367D.3683.从一个布袋中摸出若干个球，已知袋中有红、黄、蓝三种颜色的球，为确保摸出的球中至少有4个颜色相同的，至少要摸出______个球。A.7B.8C.9D.104.将12个相同的球分装在若干个同样大小的盒子里，每个盒子里至少装一个球，那么至少需要______个盒子。A.3B.4C.5D.65.在一次考试中，有5道选择题，每题有4个选项，如果某学生至少要选对______道题，就能保证他的得分不低于6分。A.2B.3C.4D.5三、解答题（共65分）1.（10分）一个袋子里有大小相同的红、黄、蓝三种颜色的球，其中红球有10个，黄球有8个，蓝球有6个。至少要摸出多少个球，才能保证摸出的球中红球的数量比黄球和蓝球的总数还要多？2.（10分）在一个盒子里有若干个乒乓球，其中白色乒乓球比黄色乒乓球多，黄色乒乓球比蓝色乒乓球多。现在要从盒子里取出一些乒乓球，最少要取出多少个乒乓球，才能保证取出的乒乓球中，白色乒乓球的数量和蓝色乒乓球的数量之和，至少是黄色乒乓球数量的2倍？3.（10分）一个班级有50名学生，每个学生至少喜欢一种运动，其中有30人喜欢篮球，25人喜欢足球，20人喜欢排球，并且至少有5人喜欢三种运动。问这个班级中，至少有多少名学生只喜欢其中两种运动？4.（15分）在一个不透明的袋子里装有若干个只有颜色不同的球，如果袋中有足够多的红球、黄球和蓝球，那么至少要放入多少个红球，才能保证从中任意取出12个球中，一定有4个球颜色相同？5.（20分）在一个边长为6厘米的正方形内，任意放置10个点，求证：其中必有两个点的距离不超过5厘米。试卷答案一、填空题1.72.163.54.95.3二、选择题1.B2.C3.C4.B5.B三、解答题1.解析思路：要保证红球数量比黄球和蓝球总数多，需考虑最不利情况，即摸出的球尽可能多地是黄球和蓝球。黄蓝球总数为8+6=14个。为了保证红球比黄蓝球总数多，至少需要摸出红球14+1=15个。此时，红球15个，黄蓝球共14个，红球比黄蓝球多1个。因此，至少要摸出15个球。答案：至少要摸出15个球。2.解析思路：设白色乒乓球有W个，黄色乒乓球有Y个，蓝色乒乓球有B个。根据题意W>Y>B。要保证W+B≥2Y，考虑最不利情况，即W=Y-1，B=Y-2。此时W+B=(Y-1)+(Y-2)=2Y-3。为了保证W+B≥2Y，至少需要再取出1个球。所以最少要取出1+Y-1+Y-2=2Y-2个球。由于Y是黄色乒乓球的数量，最小为1（但题目说白色比黄色多，最小应为2，黄色比蓝色多，最小应为3，所以黄色最少为3）。代入Y=3，最少要取出2*3-2=4个球。但需要保证W+B≥2Y，代入W=4,Y=3,B=2，4+2=6，2*3=6，刚好满足。如果Y=3，则W最小为4，B最小为3，W+B=7，2Y=6，满足。所以最少要取出4个球。答案：最少要取出4个球。3.解析思路：总人数50，喜欢篮球30，喜欢足球25，喜欢排球20。喜欢至少一种运动的人数是50。设只喜欢篮球的人数为A，只喜欢足球的人数为B，只喜欢排球的人数为C，喜欢两种运动的人数为X，喜欢三种运动的人数为Y。根据三集合容斥原理非标准型公式：总数=A+B+C+只喜欢两种的+喜欢三种的。50=A+B+C+X+Y。已知Y≥5。要使只喜欢两种运动的人数X最小，Y应取最小值5。此时50=A+B+C+X+5，即A+B+C+X=45。只喜欢两种运动的人数X=(喜欢篮球的-喜欢两种和三种的)+(喜欢足球的-喜欢两种和三种的)+(喜欢排球的-喜欢两种和三种的)=(30-Y-X)+(25-Y-X)+(20-Y-X)=75-3Y-3X。将Y=5代入，X=(30-5-X)+(25-5-X)+(20-5-X)=75-3*5-3X=60-3X。解得X=(60-45)/3=5。所以，只喜欢两种运动的人数最少为5。答案：至少有5名学生只喜欢其中两种运动。4.解析思路：考虑最不利情况。将球按红、黄、蓝三种颜色分组，每组最多取出3个球（因为取出4个同色即可保证）。袋中有足够多的红球，所以红球可以无限取。先取出黄球和蓝球，每组各取出3个，共取出3+3=6个球。此时取出的球中，每种颜色最多有3个。为了保证从中任意取出12个球中，一定有4个球颜色相同，需要再取出1个球。此时共取出7个球，其中每种颜色最多3个。无论再取出哪个颜色的球，该颜色的球数量都将达到4个。因此，至少要放入7个红球。答案：至少要放入7个红球。5.解析思路：将边长为6厘米的正方形分割成4个边长为3厘米的小正方形。根据抽屉原理（鸽巢原理），10个点放入这4个小正方形中，至少有一个小正方形内包含至少ceil(10/4)=3个点。设这个小正方形为ABCD，其边长为3厘米。考虑这个小正方形内部任意两点的最大距离。小正方形对角线长为sqrt(3^2+3^2)=sqrt(18)=3sqrt(2)厘米。任意两点之间的距离不会超过对角线长度。因此，这个小正方形内任意两点的距离最大为3sqrt(2)厘米，约等于