2026秋人教A版数学必修一第二次月考试卷

第第页共3页参考答案与解析（本试卷满分150分；解答题按步骤给分，标注分值为该小问的满分。）一、单项选择题（共50分）1．A解析：x²−5x+6<0⟺(x−2)(x−3)<0⟺2<x<3，故A={x|2<x<3}，A∩B={x|2<x<3}，选A。2．A解析：∁UA={4,5}，所以(∁UA)∩B={4}，选A。3．A解析：x²−3x+2>0⟺x<1或x>2。x>2⟹x<1或x>2，充分性成立；但x=0满足x<1或x>2而不满足x>2，必要性不成立，故为充分不必要条件，选A。4．A解析：x+1≥0且x−2≠0⟹x≥−1且x≠2，定义域为[−1,2)∪(2,+∞)，选A。5．B解析：f(−1)=(−1)²+1=2，f(f(−1))=f(2)=2×2−3=1，选B。6．B解析：y=1/x在(0,+∞)上单调递减；y=x²、y=x、y=x³在(0,+∞)上单调递增，选B。7．A解析：f(x)=x³−x的定义域为R，且f(−x)=(−x)³−(−x)=−x³+x=−f(x)，所以f(x)是奇函数，选A。8．B解析：由x+2y=xy得(x−2)(y−1)=2。因为x>0，y>0，所以x−2>0，y−1>0。于是x+y=(x−2)+(y−1)+3≥2√((x−2)(y−1))+3=3+2√2，当且仅当x−2=y−1=√2时取等号，选B。9．A解析：由2^α=1/4=2^(−2)，得α=−2，选A。10．B解析：因为f(x)是R上的奇函数且在(0,+∞)上单调递增，所以f(x)在R上单调递增，且f(0)=0，f(−2)=−f(2)=0。x·f(x)<0等价于x>0且f(x)<0，或x<0且f(x)>0。由单调性得0<x<2或−2<x<0，故选B。二、填空题（共30分）11．∃x∈R，x²+x+1≤0解析：全称量词命题的否定是存在量词命题，并把结论否定。12．[−1,3]解析：f(x)=(x−1)²−1，x∈[0,3]。最小值f(1)=−1，最大值f(3)=3，故值域为[−1,3]。13．2解析：1/a+1/b=(a+b)(1/a+1/b)/2=(2+a/b+b/a)/2≥(2+2)/2=2，当且仅当a=b=1时取等号。14．(−4,4)解析：x²+ax+4>0对一切x∈R恒成立⟺Δ=a²−16<0⟺−4<a<4。15．3解析：f(x)为偶函数，f(−3)=f(3)=3²−2×3=3。16．(−∞,−1)∪(3,+∞)解析：偶函数在(−∞,0]上单调递减，则其在[0,+∞)上单调递增，且f(−2)=f(2)=0。故f(x−1)>0⟺|x−1|>2⟺x−1>2或x−1<−2⟺x>3或x<−1。三、计算题（共24分）17．解：A={x|(x−5)(x+2)≤0}=[−2,5]（2分）；B={x|(x−3)(x+1)>0}=(−∞,−1)∪(3,+∞)（2分）。故A∩B=[−2,−1)∪(3,5]（2分）。18．解：需4−x²≥0且x−1≠0（2分）。由4−x²≥0得−2≤x≤2（2分），又x≠1，故定义域为[−2,1)∪(1,2]（2分）。19．解：x>2⟹x−2>0，x+4/(x−2)=(x−2)+4/(x−2)+2≥2√((x−2)·4/(x−2))+2=6（4分），当且仅当x−2=4/(x−2)，即x=4时取等号，故最小值为6（2分）。20．解：设f(x)=ax²+bx+c（a≠0）。由f(0)=1得c=1（2分）；由f(1)=2、f(2)=5得a+b=1，4a+2b=4（2分），解得a=1，b=0，故f(x)=x²+1（2分）。四、解答题（共46分）21．解：A={x|(x−2)(x+1)≤0}=[−1,2]。（1）a=1时，B={x|1<x<3}=(1,3)，故A∩B=(1,2]。（3分）（2）A∩B=B⟺B⊆A。若B=∅，则2a−1≥a+2，即a≥3，此时B⊆A成立；若B≠∅，则需2a−1≥−1且a+2≤2，解得a=0。综上，a=0或a≥3。（5分）22．证明：f(x)=(2x−1)/(x+1)=2−3/(x+1)。任取x₁<x₂，且x₁，x₂∈(−1,+∞)（2分），则f(x₂)−f(x₁)=[2−3/(x₂+1)]−[2−3/(x₁+1)]=3/(x₁+1)−3/(x₂+1)=3(x₂−x₁)/((x₁+1)(x₂+1))（4分）。因为x₂−x₁>0，x₁+1>0，x₂+1>0，所以f(x₂)−f(x₁)>0（2分），故f(x)在(−1,+∞)上单调递增。23．解：（1）f(−1)=f(1)=1²−2×1=−1。（2分）（2）当x<0时，−x>0，f(x)=f(−x)=(−x)²−2(−x)=x²+2x。（3分）（3）当x≥0时，f(x)=(x−1)²−1，在[0,1]上单调递减，在[1,+∞)上单调递增；由偶函数图象关于y轴对称，得f(x)的单调递增区间为(−∞,−1]和[1,+∞)，单调递减区间为[−1,1]。（3分）24．解：f(x)=x²−2ax+2，图象开口向上，对称轴为直线x=a。（1）a=1时，f(x)=(x−1)²+1。因为1∈[0,2]，所以最小值f(1)=1；又f(0)=f(2)=2，故最大值f(0)=f(2)=2。（2分）（2）当a<0时，g(a)=f(0)=2；当0≤a≤2时，g(a)=f(a)=2−a²；当a>2时，g(a)=f(2)=6−4a。（5分）（3）f(x)≥0对任意x∈[0,2]恒成立⟺g(a)≥0。当a<0时，g(a)=2>0恒成立；当0≤a≤2时，需2−a²≥0，即0≤a≤√2；当a>2时，需6−4a≥0，即a≤3/2，与a>2矛盾。综上，a∈(−∞,√2]。（3分）25．解：（1）因为f(x)是R上的奇函数，所以f(0)=0，f(−1)=−f(1)=0。（2分）（2）奇函数在(0,+∞)上单调递增，则其在(−∞,0)上也单调递增，且f(0)=0，故f(x)在R上单调递增。f(2x−1)<0=f(1)⟺2x−1<1⟺x<1，所以解集为(−∞,1)。（4分）（3）f(x²−2x)+f(m−2x)>0⟺f(x²−2x)>−f(m−2x)=f(2x−m)（2分）