第一章 空间向量与立体几何 空间向量的共线和共面问题（题型专练）（答案版）高二数学人教A版选择性必修第一册

第一章空间向量与立体几何空间向量的共线和共面问题题型01由空间向量共线求参数值【例3】【答案】【详解】因为，又A，B，D三点共线，由向量共线的充要条件得，所以．【变式1-1】【答案】0【分析】由三点共线，可得与共线，即存在唯一的实数，使得，结合空间向量基本定理求解即可.【详解】因为，，，所以．因为三点共线，所以存在唯一的实数，使得，即，即,解得.故答案为：0【变式1-2】【答案】A【分析】由，列出方程求解即可.【详解】因为三点共线，所以，即，所以，解得，所以，故选：A【变式1-3】【答案】C【分析】利用空间向量平行充要条件即可求得实数的值.【详解】，，若与共线，则有，即，解之得，则的值为3.故选：C▌题型02证明三点共线【例2】【答案】证明见解析【分析】将三点共线问题转化为求证向量共线问题求证即可.【详解】因为，，，所以，，所以，所以，又为公共点，所以B，C，D三点共线．【变式2-1】【答案】设的中点为，连接GB，GD，，，

，因为G为的重心，所以，所以，所以，即三点共线.【分析】选择为基向量，用基向量表示和，通过证明与平行可证三点共线.【详解】略【变式2-2】【答案】(1)(2)，又与相交于B，所以E，F，B三点共线.【分析】（1）由已知得，由此可得答案；（2）由已知得，由此可得证.【详解】（1）因为，，所以，所以；（2）略【变式2-3】【答案】在平行六面体中，令，，，则，，，因此，又，，因此，于是，即有，而与有公共点，所以、、三点共线．【分析】取空间的一个基底，结合图形，利用空间向量的线性运算推理作答.【详解】略题型03判断空间向量共线【例1】【答案】D【分析】把表示出来，根据向量的数乘运算判断向量的平行.【详解】如图：因为.所以与平行.故选：D【变式3-1】【答案】B【分析】利用线线位置关系可得与向量平行的向量.【详解】由长方体，可得，，所以四边形是平行四边形，所以，同理可得，又，分别为，的中点，所以，所以，所以向量平行于，因为直线与直线相交，又，所以向量不平行于，，又直线与相交，所以向量不平行于.故选：B.【变式3-2】【答案】A【分析】利用空间向量的线性运算结合空间三点共线的向量表示法求解即可.【详解】因为，所以，而，故，所以，所以，则点一定在直线上，故A正确.故选：A【变式3-3】【答案】ABD【分析】利用空间向量的数乘运算与共线定理逐项判断即可.【详解】作出三棱柱，如图，对于A，当时，，则，所以点在棱上，故A正确；对于B，当时，，所以点在线段上，故B正确；对于C，当时，由B知，所以为棱的中点，故C错误；对于D，当时，，所以，则，即，所以点在线段上，故D正确.故选：ABD.▌题型04空间共线向量定理的推论及其应用【例4】【答案】B【分析】根据三点共线的推理即可求得，.【详解】，B，C三点共线，，，解得，又由，得，由A，B，C三点共线知，，则.故选：B【变式4-1】【答案】【分析】利用向量的加法法则，及三点共线的推论即可得解.【详解】，，即又，三点共线，，解得故答案为：【变式4-2】【答案】－2【分析】由题意结合四点共面的充分必要条件整理计算即可求得最终结果.【详解】由四点共面的充分必要条件可得：，解得：.故答案为．【点睛】本题主要考查四点共面的充分必要条件及其应用，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.【变式4-3】【答案】/【分析】设，可得，根据A、E、F三点共线即可求得.【详解】因为正方体中，，设，又，所以，即，因为A、E、F三点共线，所以，解得，即.故答案为：.▌题型05空间向量共面的判断【例5】【答案】BD【分析】根据充分不必要条件的概念，以及向量共面的相关知识，然后依次分析每个选项与“与、共面”之间的条件关系.【详解】根据向量基本定理，如果存在唯一一组实数、，使得，那么可以直接得出与、共面；反之，若与、共面，也一定存在唯一一组实数、，使得，所以“存在唯一一组实数、，使得”是“与、共面”的充要条件，而不是充分不必要条件，故A选项不符合要求；当时，显然可以由和线性表示，即与、共面，所以“”能推出“与、共面”；但是当与、共面时，不一定就等于，还可能有其他的线性组合形式，所以“”是“与、共面”的充分不必要条件，故B选项符合要求；“不存在实数、，使得”，这与“与、共面”是相互矛盾的关系，即“不存在实数、，使得”能推出“与、不共面”，而不是“与、共面”，所以C选项不符合要求；因为零向量与任意向量都共面，所以时，与、共面，即“”能推出“与、共面”；反之，当与、共面时，不一定为零向量，所以“”是“与、共面”的充分不必要条件，故D选项符合要求.故选：BD.【变式5-1】【答案】C【详解】已知不共面，逐一判断：A：，故，，共面.B：，故，，共面.C：假设，整理得.即，因不共面，不存在这样的，故，，不共面.D：，故，，共面.【变式5-2】【答案】B【分析】根据共面向量定理一一计算判断即可.【详解】对A，假设，即，则，显然无实数解，则与向量不共面，故A错误；对B，因为，所以共面，故B正确；对C，假设，即，则，显然无实数解，则与向量不共面，故C错误；对D，假设，即，则，显然无实数解，则与向量不共面，故D错误；故选：B.【变式5-3】【答案】D【分析】先得到与共线，从而，，共面，则A和C都正确；空间中任意两个向量必定共面，B正确，得到答案.【详解】对于A，因为，为共线向量，所以，则，即与共线，所以A正确，对于B，因为空间中任意两个向量必定共面，所以B正确，对于C，由A可知，与共线，所以，，共面，所以C正确，对于D，与不一定共线，所以D错误.故选：D.▌题型06空间向量共面求参数【例6】【答案】【分析】结合空间向量共面定理的推论求参数即可.【详解】由题意可知H，A，B，C四点共面的充要条件是存在，使得且，所以，解得.【变式6-1】【答案】D【分析】利用共面向量定理的推论，四点共面时向量线性表示的系数和为1，列方程求解λ.【详解】因为是同一平面内的四点，任意三点不共线，为平面外一点，当时，根据共面向量定理的推论，有，解得.【变式6-2】【答案】A【详解】因为四点共面，所以，解得.【变式6-3】【答案】A【详解】因为四点共面，则有，由共面条件可得，，即，所以，当且仅当，即，即时，等号成立.故选A.▌题型07空间共面向量定理的推论及其应用【例7】【答案】ABD【分析】利用共面向量定理及推论判断AB；利用两条直线共面的条件判断CD.【详解】对于A，由，得向量共面，而它们有公共起点，因此四点共面，A是；对于B，在中，，因此四点共面，B是；对于C，存在互相垂直的两条异面直线，它们的方向向量垂直，由不能确定四点共面，C不是；对于D，由，得直线与平行或重合，因此四点共面，D是.故选：ABD【变式7-1】【答案】ABD【分析】根据空间向量的基本定理及其推论，以及向量的共面定理，逐项判定，即可求解.【详解】对于A，因为，所以共面，又因为有公共点，所以四点共面；对于B，因为，所以四点共面；对于C，因为，所以，即直线和可能异面，四点不一定共面；对于D，因为，所以，所以四点共面．故选：ABD．【变式7-2】【答案】C【分析】点不共线，为平面外一点，则四点共面的充要条件是：存在实数，使得且系数和，再逐个验证选项.【详解】若在平面内，则存在实数，使得,即，整理得：，令，则，即点不共线，为平面外一点，则四点共面的充要条件是：存在实数，使得且系数和；对