第05讲 一元二次不等式与其他常见不等式解法 2026-2027学年高中数学一轮复习讲义（人教版2019）

第05讲一元二次不等式与其他常见不等式解法内内容导航知识点1一元二次不等式与三个二次的关系知识点2分式不等式的解法知识点3绝对值不等式的解法知识点4高次不等式的解法（穿根法）知识点5指数对数不等式的解法知识点6含参一元二次不等式的解法知识点7一元二次不等式的基础解法知识点8三个二次的综合应用知识点9分式与高次不等式的解法知识点10绝对值与指数对数不等式的解法知识点11含参一元二次不等式的解法知识点12含参不等式恒成立/能成立问题题型1解一元二次不等式题型2由一元二次不等式的解求参数题型3一元二次不等式恒成立问题题型4一元二次方程的根的分布与系数的关系题型5指、对数不等式的解法知知识点通关知识点1一元二次不等式与三个二次的关系1、一元二次不等式的一般形式ax2+bx+c>0或a2、三个“二次”间的关系判别式Δ＝b2－4acΔ＞0Δ＝0Δ＜0二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a＞0)的根有两相异实根x1，x2(x1＜x2)有两相等实根x1＝x2＝－没有实数根ax2＋bx＋c＞0(a＞0)的解集eq\f({x|x＞x2,或x＜x1})Rax2＋bx＋c＜0(a＞0)的解集{x|x1＜x＜x2}∅∅注意：2.1、有关分数的性质(1)若a>b>0，m>0，则；(b－m>0).(2)若ab>0，且a>b⇔.2.2、对于不等式ax2＋bx＋c>0，求解时不要忘记a＝0时的情形.2.3、当Δ<0时，不等式ax2＋bx＋c>0(a≠0)的解集为R还是∅，要注意区别.3、一元二次不等式的解法步骤1. 化正：将二次项系数化为正数；2. 求根：求对应一元二次方程的根；3. 画图：画出对应二次函数的草图；4. 写解集：根据图象写出不等式的解集。知识点2分式不等式的解法核心思想：转化为整式不等式求解，注意分母不能为0。1. f(x)2. f(x)3. f(x)4. f(x)知识点3绝对值不等式的解法1. 基本类型|x|<a(a>0)⇔−a<x<a|x|>a(a>0)⇔x<−a2. 拓展类型|f(x)|<g(x)⇔−g(x)<f(x)<g(x)|f(x)|>g(x)⇔f(x)<−g(x)|f(x)|>|g(x)|⇔知识点4高次不等式的解法（穿根法）1. 步骤：a. 化正：将不等式化为(x−xb. 标根：将所有根标在数轴上；c. 穿线：从数轴右上方开始，按照“奇穿偶回”的原则穿线（奇次根穿过数轴，偶次根不穿过）；d. 写解集：根据数轴上方（>0）或下方（<0）的区间写出解集。知识点5指数对数不等式的解法核心思想：利用指数函数和对数函数的单调性转化为整式不等式，注意定义域限制。1. 指数不等式 当a>1时，a 当0<a<1时，a2. 对数不等式 当a>1时，log 当0<a<1时，log知识点6含参一元二次不等式的解法分类讨论的三个层次：1. 讨论二次项系数a的符号：a>0、a=0、a<0；2. 讨论判别式Δ的符号：Δ>0、Δ=0、3. 当Δ>0时，讨论两根x知识点7一元二次不等式的基础解法方法技巧不等式性质的快速判断1. 严格按照“化正→求根→画图→写解集”四步求解；2. 对于Δ≤0的情况，直接根据二次函数图象写出解集；3. 注意不等式中的等号是否成立。易错分析忽略前提条件1.未将二次项系数化为正数，导致解集方向错误；

2.求根时计算错误；

3.忽略等号条件，导致解集漏写端点。知识点8三个二次的综合应用方法技巧1. 已知一元二次不等式的解集，可转化为对应二次方程的根，利用韦达定理求参数；2. 注意二次项系数的符号与解集形式的对应关系；3. 二次函数的零点、方程的根、不等式的解集三者可以相互转化。易错分析1.忽略二次项系数的符号，导致参数求解错误；

2.韦达定理公式记错；

3.转化时混淆不等式的方向。知识点9分式与高次不等式的解法方法技巧求代数式范围的规范步骤1. 分式不等式必须移项通分，不能直接乘分母；2. 穿根法严格遵循“奇穿偶回”原则；3. 注意分母不为0和偶次根的特殊情况。易错分析范围扩大问题1. 分式不等式直接乘分母，忽略分母符号和不为0的条件；2. 穿根时忘记“奇穿偶回”，导致解集错误；3. 高次不等式未将最高次项系数化为正数。知识点10绝对值与指数对数不等式的解法方法技巧1. 绝对值不等式根据类型选择合适的等价转化方法；2. 指数对数不等式先化为同底数，再利用单调性转化；3. 对数不等式必须保证真数大于0。易错分析1.绝对值不等式漏写等价条件；

2.指数对数不等式忽略底数范围对单调性的影响；

3.对数不等式忘记考虑真数的定义域。知识点11含参一元二次不等式的解法方法技巧1. 按照“二次项系数→判别式→根的大小”的顺序进行分类讨论；2. 分类时做到不重不漏；3. 最后将各种情况的结果综合起来。易错分析1.忽略二次项系数为0的情况；

2.分类讨论不全面；

3.比较根的大小时出错。知识点12含参不等式恒成立/能成立问题方法技巧优先使用分离参数法1. 恒成立问题优先使用分离参数法，转化为求函数的最值；2. 恒成立：f(x)>a恒成立⇔f(x)min>a；f(x)<a3. 能成立：f(x)>a能成立⇔f(x)max>a；f(x)<a4. 若无法分离参数，可结合二次函数图象分析。易错分析1、混淆恒成立与能成立问题的最值要求；

2、求函数最值时忽略定义域；

3、分离参数时除以负数未改变不等号方向。考考点演练题型1解一元二次不等式【典例1】已知集合A＝{x|x2﹣3x﹣4≤0}，B＝{x∈Z||x﹣1|≥2}，则A∩B＝（）A．{0，2，3，4} B．{﹣2，﹣1，3} C．{﹣1，3，4} D．{﹣1，0，3，4}【变式1】已知集合A＝{x|﹣1≤x≤1}，B＝{x|x2﹣4x≤0}，则A∩B＝（）A．[0，1] B．[﹣1，4] C．[﹣1，0] D．[1，4]题型2由一元二次不等式的解求参数【典例1】甲、乙两人解关于x的不等式x2+bx+c＜0，甲写错了常数b，得到的解集为（﹣3，2），乙写错了常数c，得到的解集为（﹣3，4）．那么原不等式中b，c的值依次为，解集为．【变式1】若关于x的不等式mx2﹣5x+m≤0的解集为R，则实数m的取值范围是．题型3一元二次不等式恒成立问题【典例1】若不等式（ax﹣1）（x﹣b）≥0对任意的x∈R恒成立，则4a+b的最小值为（）A．22 B．4 C．5 D．【变式1】“a≤﹣1”是“不等式x2+2x﹣a≥0在x∈（0，+∞）上恒成立”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件题型4一元二次方程的根的分布与系数的关系【典例1】已知关于x的方程x2+4x+a＝0（a∈R）的两根在复平面xOy上对应的点分别为P和Q，若△POQ是等边三角形，则a＝．【变式1】方程|x2﹣5|＝a有四个可以排列成等差数列的实根，则a的值为．题型5指、对数不等式的解法【典例1】已知集合A＝{﹣1，0，1，2，3}，B＝{x|ln（x+1）＜1}，则A∩B＝（）A．{0} B．{0，1} C．{﹣1，0，1} D．{0，1，2}【变式1】已知集合A＝{x|2x≤8}，B＝（﹣1，4]，则A∪B＝（）A．[3，4] B．（﹣1，3] C．（﹣1，3） D．（﹣∞，4]过过关验收1．已知集合A＝{x|﹣3≤x＜1}，B＝{x|x2+x﹣2＞0}，则（∁RA）∩B＝（）A．{x|x＜﹣3或x≥1} B．{x|x＜﹣3或x＞1} C．{x|x＜﹣2或x≥1} D．{x|x＜﹣2或x＞1}2．已知集合M＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，S＝{x∈N|x2﹣x﹣6≤0}，则M∩S＝（）A．{0，1，2，3} B．{1，2} C．{0，1，2} D．{﹣2，﹣1，0，1，2，3}3．已知关于x的不等式kx2﹣2x+6k＜0（k≠0）．（1）若不等式的解集是{x|x＜﹣3或x＞﹣2}，求k的值；（2）若不等式的解集是{x|x≠1k}（3）若不等式的解集是R，求k的取值范围；（4）若不等式的解集是∅，求k的取值范围．4．已知函数f（x）＝（m+1）x2﹣（m﹣1）x+m﹣1．（1）若不等式f(x)＜−34的解集为R，求实数（2）解关于x的不等式f（x）≥（m+1）x；（3）记不等式f（x）≥0的解集为A，若[−12，5．已知集合A＝{x|（x﹣1）（x﹣3）＜0}，B＝{x|2x＞4}．（1）求集合A∪B和∁RB；（2）若关于x的不等式x2+ax+b＜0的解集为A∩B，求a，b的值．6．已知集合A={x|2x−1x−2＜1}，集合B＝{x|x2（1）当a＝4时，求A∪B；（2）若A∩B＝B，求实数a的取值范围．7．已知函数f（x）＝ax2+bx﹣12（a，b∈R）．（1）若不等式f（x）＞0的解集为（﹣3，﹣1），求实数a，b的值；（2）当b＝3a﹣4时，求不等式f（x）≥0的解集．8．若关于x的不等式x2+mx﹣6＜0的解集为{x|﹣1＜x＜6}，则m＝（）A．5 B．1 C．﹣1 D．﹣59．若关于x的不等式2ax2﹣4x＜ax﹣2有且只有一个整数解，则实数a的取值范围是（）A．（1，2] B．[1，2） C．（0，2） D．（0，2]10．若关于x的不等式ax2+bx﹣2＞0的解集是(1a，−2)A．(−∞，−12) C．(−12，0)11．已知条件q：“不等式（a2﹣4）x2+（a+2）x﹣1≥0的解集是空集”，则条件p：“﹣2≤a＜1”是条件q的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件12．已知a，b，c∈R且a≠0，则“ax2+bx+c＞0的解集为{x|x≠1}”是“a+b+c＝0”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件13．已知关于x的不等式ax2+bx+c＞0的解集为{x|﹣2＜x＜3}，则下列选项中正确的是（）A．a＜0 B．不等式bx+c＞0的解集是{x|x＜﹣6} C．a+b+c＞0 D．不等式cx2﹣bx+a＜0的解集为{x|x＜−1314．已知关于x的不等式ax2+bx+c＞0的解集是{x|1＜x＜3}，则（）A．a＜0 B．a+b+c＝0 C．4a+2b+c＜0 D．不等式cx2﹣bx+a＜0的解集是{x|x＜﹣1或x＞−115．设a＞0，若关于x的不等式x2﹣ax＜0的解集是区间（0，1）的真子集，则a的取值范围是．16．设抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点为F，点A为该抛物线上任意一点，若|AF|＞1恒成立，则p的取值范围是（）A．p＜2 B．p＞2 C．p＜4 D．p＞417．下列叙述正确的是（）A．已知幂函数f（x）＝（m2﹣m﹣1）xm是奇函数，则实数m＝﹣1 B．先将曲线y＝sin2x向右平移π3个单位长度，再将曲线上各点的横坐标变为原来的12，所得曲线的解析式为C．若关于x的不等式kx2+2kx+1＞0有解，则实数k的取值范围为[﹣1，0） D．函数f（x）＝lnx+2x﹣4在区间（1，2）内有零点18．下列说法中不正确的是（）A．已知f（2x）的定义域为（1，3），则g(x)=f(x+3)x−2B．已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，当x≤0时，f（x）＝x（x+1），则f（x）的解析式为f（x）＝x2﹣|x| C．函数y=5+4x−xD．“﹣3＜k＜0”是“不等式2kx2+kx−19．在正项等比数列{an}中，a4，a6是方程x2﹣15x+9＝0的两个根，则a1a9﹣a5＝（）A．3 B．6 C．9 D．1220．若关于x的方程x2﹣ax+4＝0有两相异实根x1，x2，且0＜x1＜x2＜4，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣4）∪（4，+∞） B．（0，5） C．（4，5） D．（4，8）21．“一元二次方程ax2+bx+c＝0有实数根”是“b2﹣4ac≥0”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件22．已知lga和lgb分别是x2+x﹣3＝0的两个根，则ab的值为（）A．10 B．1 C．110 23．已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2+ax+2b＝0的两个实数根，且x1∈（0，1），x2∈（1，2），则实数b的取值范围为（）A．（0，+∞） B．(0，12) C．（0，1）24．tanα，tanβ是一元二次方程x2+33x+4＝0两根，α、β∈（−π2，0），则cos（α+A．−32 B．−12 C．25．“lna＞lnb”是“0＜1A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件26．冷链物流是指冷藏冷冻类物品在生产、贮藏、运输、销售到消费前的各个环节中始终处于规定的低温环境下，以保证物品质量、减少损耗的系统工程．主要包括初级农产品（如蔬菜、水果、肉禽蛋等）、加工食品（如速冻食品、冰淇淋等）和特殊商品（如药品等）．已知某蔬菜的保鲜时间y（单位：小时）与贮藏温度x（单位℃之间满足y＝eax+b（其中a，b为常数）．若该蔬菜在贮藏温度为9℃的环境下保鲜时间为261小时，在23℃的环境下保鲜时间为29小时，且该蔬菜所需物流时间为87小时，则该蔬菜在物流过程中的贮藏温度不能超过（）A．12℃ B．14℃ C．16℃ D．18℃27．已知集合A={x∈Z|12＜2x＜8}，A．5 B．6 C．7 D．828．已知集合A＝{x|﹣1＜x＜2}，B={x|2＜2x＜8}A．（﹣1，4） B．(12，2) C．29．已知集合A={x|x+22−x≥0}，B={x∈N|2xA．{﹣2，﹣1，0，1} B．{0，1} C．{3} D．{0，1，2}30．已知集合A＝{x∈N|x2﹣x﹣12＜0}，B＝{x|2x＜8}，则A∩B＝（）A．{﹣2，﹣1，0，1，2} B．{0，1，2} C．{1，2} D．（﹣3，3）第05讲一元二次不等式与其他常见不等式解法内内容导航知识点1一元二次不等式与三个二次的关系知识点2分式不等式的解法知识点3绝对值不等式的解法知识点4高次不等式的解法（穿根法）知识点5指数对数不等式的解法知识点6含参一元二次不等式的解法知识点7一元二次不等式的基础解法知识点8三个二次的综合应用知识点9分式与高次不等式的解法知识点10绝对值与指数对数不等式的解法知识点11含参一元二次不等式的解法知识点12含参不等式恒成立/能成立问题题型1解一元二次不等式题型2由一元二次不等式的解求参数题型3一元二次不等式恒成立问题题型4一元二次方程的根的分布与系数的关系题型5指、对数不等式的解法知知识点通关知识点1一元二次不等式与三个二次的关系1、一元二次不等式的一般形式ax2+bx+c>0或a2、三个“二次”间的关系判别式Δ＝b2－4acΔ＞0Δ＝0Δ＜0二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a＞0)的根有两相异实根x1，x2(x1＜x2)有两相等实根x1＝x2＝－没有实数根ax2＋bx＋c＞0(a＞0)的解集eq\f({x|x＞x2,或x＜x1})Rax2＋bx＋c＜0(a＞0)的解集{x|x1＜x＜x2}∅∅注意：2.1、有关分数的性质(1)若a>b>0，m>0，则；(b－m>0).(2)若ab>0，且a>b⇔.2.2、对于不等式ax2＋bx＋c>0，求解时不要忘记a＝0时的情形.2.3、当Δ<0时，不等式ax2＋bx＋c>0(a≠0)的解集为R还是∅，要注意区别.3、一元二次不等式的解法步骤1. 化正：将二次项系数化为正数；2. 求根：求对应一元二次方程的根；3. 画图：画出对应二次函数的草图；4. 写解集：根据图象写出不等式的解集。知识点2分式不等式的解法核心思想：转化为整式不等式求解，注意分母不能为0。1. f(x)2. f(x)3. f(x)4. f(x)知识点3绝对值不等式的解法1. 基本类型|x|<a(a>0)⇔−a<x<a|x|>a(a>0)⇔x<−a2. 拓展类型|f(x)|<g(x)⇔−g(x)<f(x)<g(x)|f(x)|>g(x)⇔f(x)<−g(x)|f(x)|>|g(x)|⇔知识点4高次不等式的解法（穿根法）1. 步骤：a. 化正：将不等式化为(x−xb. 标根：将所有根标在数轴上；c. 穿线：从数轴右上方开始，按照“奇穿偶回”的原则穿线（奇次根穿过数轴，偶次根不穿过）；d. 写解集：根据数轴上方（>0）或下方（<0）的区间写出解集。知识点5指数对数不等式的解法核心思想：利用指数函数和对数函数的单调性转化为整式不等式，注意定义域限制。1. 指数不等式 当a>1时，a 当0<a<1时，a2. 对数不等式 当a>1时，log 当0<a<1时，log知识点6含参一元二次不等式的解法分类讨论的三个层次：1. 讨论二次项系数a的符号：a>0、a=0、a<0；2. 讨论判别式Δ的符号：Δ>0、Δ=0、3. 当Δ>0时，讨论两根x知识点7一元二次不等式的基础解法方法技巧不等式性质的快速判断1. 严格按照“化正→求根→画图→写解集”四步求解；2. 对于Δ≤0的情况，直接根据二次函数图象写出解集；3. 注意不等式中的等号是否成立。易错分析忽略前提条件1.未将二次项系数化为正数，导致解集方向错误；

2.求根时计算错误；

3.忽略等号条件，导致解集漏写端点。知识点8三个二次的综合应用方法技巧1. 已知一元二次不等式的解集，可转化为对应二次方程的根，利用韦达定理求参数；2. 注意二次项系数的符号与解集形式的对应关系；3. 二次函数的零点、方程的根、不等式的解集三者可以相互转化。易错分析1.忽略二次项系数的符号，导致参数求解错误；

2.韦达定理公式记错；

3.转化时混淆不等式的方向。知识点9分式与高次不等式的解法方法技巧求代数式范围的规范步骤1. 分式不等式必须移项通分，不能直接乘分母；2. 穿根法严格遵循“奇穿偶回”原则；3. 注意分母不为0和偶次根的特殊情况。易错分析范围扩大问题1. 分式不等式直接乘分母，忽略分母符号和不为0的条件；2. 穿根时忘记“奇穿偶回”，导致解集错误；3. 高次不等式未将最高次项系数化为正数。知识点10绝对值与指数对数不等式的解法方法技巧1. 绝对值不等式根据类型选择合适的等价转化方法；2. 指数对数不等式先化为同底数，再利用单调性转化；3. 对数不等式必须保证真数大于0。易错分析1.绝对值不等式漏写等价条件；

2.指数对数不等式忽略底数范围对单调性的影响；

3.对数不等式忘记考虑真数的定义域。知识点11含参一元二次不等式的解法方法技巧1. 按照“二次项系数→判别式→根的大小”的顺序进行分类讨论；2. 分类时做到不重不漏；3. 最后将各种情况的结果综合起来。易错分析1.忽略二次项系数为0的情况；

2.分类讨论不全面；

3.比较根的大小时出错。知识点12含参不等式恒成立/能成立问题方法技巧优先使用分离参数法1. 恒成立问题优先使用分离参数法，转化为求函数的最值；2. 恒成立：f(x)>a恒成立⇔f(x)min>a；f(x)<a3. 能成立：f(x)>a能成立⇔f(x)max>a；f(x)<a4. 若无法分离参数，可结合二次函数图象分析。易错分析1、混淆恒成立与能成立问题的最值要求；

2、求函数最值时忽略定义域；

3、分离参数时除以负数未改变不等号方向。考考点演练题型1解一元二次不等式【典例1】已知集合A＝{x|x2﹣3x﹣4≤0}，B＝{x∈Z||x﹣1|≥2}，则A∩B＝（）A．{0，2，3，4} B．{﹣2，﹣1，3} C．{﹣1，3，4} D．{﹣1，0，3，4}【答案】C【解答】解：A＝{x|﹣1≤x≤4}，B＝{x∈Z|x≤﹣1或x≥3}，所以A∩B＝{﹣1，3，4}．故选：C．【变式1】已知集合A＝{x|﹣1≤x≤1}，B＝{x|x2﹣4x≤0}，则A∩B＝（）A．[0，1] B．[﹣1，4] C．[﹣1，0] D．[1，4]【答案】A【解答】解：由x2﹣4x≤0得x∈[0，4]，即A＝[﹣1，1]，B＝[0，4]，所以A∩B＝[0，1]．故选：A．题型2由一元二次不等式的解求参数【典例1】甲、乙两人解关于x的不等式x2+bx+c＜0，甲写错了常数b，得到的解集为（﹣3，2），乙写错了常数c，得到的解集为（﹣3，4）．那么原不等式中b，c的值依次为，解集为．【答案】﹣1，﹣6；（﹣2，3）．【解答】解：依题意，根据韦达定理有c＝﹣3×2＝﹣6，﹣b＝﹣3+4＝1，即b＝﹣1，c＝﹣6，因此不等式x2+bx+c＜0为：x2﹣x﹣6＜0，解得﹣2＜x＜3，所以原不等式的解集为（﹣2，3）．故答案为：﹣1，﹣6；（﹣2，3）．【变式1】若关于x的不等式mx2﹣5x+m≤0的解集为R，则实数m的取值范围是．【答案】(−∞，−5【解答】解：当m＝0时，不等式为﹣5x≤0⇒x≥0，显然不符合题意；当m≠0时，因为关于x的不等式mx2﹣5x+m≤0的解集为R，所以有m＜0Δ=所以实数m的取值范围是(−∞，−5故答案为：(−∞，−5题型3一元二次不等式恒成立问题【典例1】若不等式（ax﹣1）（x﹣b）≥0对任意的x∈R恒成立，则4a+b的最小值为（）A．22 B．4 C．5 D．【答案】B【解答】解：不等式（ax﹣1）（x﹣b）≥0可化为ax2﹣（ab+1）x+b≥0，当a＝0时，不等式为x≤b，不满足对任意的x∈R恒成立；当a＜0时，y＝ax2﹣（ab+1）x+b，图象开口向下，不满足题意，所以a＞0，且Δ＝（ab+1）2﹣4ab≤0，即ab＝1，且a＞0，b＞0；所以4a+b≥24a⋅b=4，当且仅当4a＝b，即所以4a+b的最小值为4．故选：B．【变式1】“a≤﹣1”是“不等式x2+2x﹣a≥0在x∈（0，+∞）上恒成立”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【解答】解：不等式x2+2x﹣a≥0在x∈（0，+∞）上恒成立，即a≤x2+2x在x∈（0，+∞）上恒成立．令f（x）＝x2+2x＝（x+1）2﹣1，对称轴x＝﹣1，∴函数f（x）＝x2+2x在区间（0，+∞）上单调递增，∴当x＞0时，f（x）＞f（0）＝0，∴a≤0．若a≤﹣1，则a≤0一定成立，∴“a≤﹣1”是“不等式x2+2x﹣a≥0在x∈（0，+∞）上恒成立”的充分条件；若a≤0，则推不出a≤﹣1．∴“a≤﹣1”不是“不等式x2+2x﹣a≥0在x∈（0，+∞）上恒成立”的必要条件．∴“a≤﹣1”是“不等式x2+2x﹣a≥0在x∈（0，+∞）上恒成立”的充分不必要条件．故选：A．题型4一元二次方程的根的分布与系数的关系【典例1】已知关于x的方程x2+4x+a＝0（a∈R）的两根在复平面xOy上对应的点分别为P和Q，若△POQ是等边三角形，则a＝．【答案】163【解答】解：设方程的两虚根为x1＝﹣2+bi，x2＝﹣2﹣bi，b为实数，由题意可得，PQ∥y轴，又△POQ是等边三角形，高为2，则PQ=2|b|=2解得b=±233则x1故答案为：163【变式1】方程|x2﹣5|＝a有四个可以排列成等差数列的实根，则a的值为．【答案】4．【解答】解：将绝对值方程化为两个方程，当x2﹣5≥0，即x≥5或x≤−5时，方程|x2﹣5|＝a可化为x2﹣5＝a，即x2＝a+5，此时x＝±a+5，当x2﹣5＜0，即−5＜x＜5时，方程|x2﹣5|＝a可化为﹣（x2﹣5）＝a，即x2＝5﹣a不妨设这四个根为x1＜x2＜x3＜x4，由于方程的根关于y轴对称，所以x1＝﹣x4，x2＝﹣x3，设x1＝﹣3d，x2＝﹣d，x3＝d，x4＝3d．由x2＝a+5，得x4＝3d=a+5，由x2＝5﹣a得x2=−d=−5−a，由3d=a+5和﹣d=−3d=a+5，将d=5−a代入3d=a+5，得：35−a=a+5，两边平方得，9（5﹣故答案为：a＝4．题型5指、对数不等式的解法【典例1】已知集合A＝{﹣1，0，1，2，3}，B＝{x|ln（x+1）＜1}，则A∩B＝（）A．{0} B．{0，1} C．{﹣1，0，1} D．{0，1，2}【答案】B【解答】解：A＝{﹣1，0，1，2，3}，B＝{x|ln（x+1）＜1}＝{x|0＜x+1＜e}＝{x|﹣1＜x＜e﹣1}，则A∩B＝{0，1}．故选：B．【变式1】已知集合A＝{x|2x≤8}，B＝（﹣1，4]，则A∪B＝（）A．[3，4] B．（﹣1，3] C．（﹣1，3） D．（﹣∞，4]【答案】D【解答】解：因为A＝{x|2x≤8}＝{x|x≤3}，B＝（﹣1，4]，则A∪B＝（﹣∞，4]．故选：D．过过关验收1．已知集合A＝{x|﹣3≤x＜1}，B＝{x|x2+x﹣2＞0}，则（∁RA）∩B＝（）A．{x|x＜﹣3或x≥1} B．{x|x＜﹣3或x＞1} C．{x|x＜﹣2或x≥1} D．{x|x＜﹣2或x＞1}【答案】B【解答】解：∁RA＝{x|x＜﹣3或x≥1}，又B＝{x|x＜﹣2或x＞1}，所以（∁RA）∩B＝{x|x＜﹣3或x＞1}．故选：B．2．已知集合M＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，S＝{x∈N|x2﹣x﹣6≤0}，则M∩S＝（）A．{0，1，2，3} B．{1，2} C．{0，1，2} D．{﹣2，﹣1，0，1，2，3}【答案】C【解答】解：S＝{x∈N|x2﹣x﹣6≤0}＝{x∈N|﹣2≤x≤3}＝{0，1，2，3}，集合M＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，所以M∩S＝{0，1，2}．故选：C．3．已知关于x的不等式kx2﹣2x+6k＜0（k≠0）．（1）若不等式的解集是{x|x＜﹣3或x＞﹣2}，求k的值；（2）若不等式的解集是{x|x≠1k}（3）若不等式的解集是R，求k的取值范围；（4）若不等式的解集是∅，求k的取值范围．【答案】（1）k=−2（2）k=−6（3）(−∞，−6（4）[6【解答】解：已知关于x的不等式kx2﹣2x+6k＜0（k≠0），解集是{x|x＜﹣3或x＞﹣2}，（1）方程kx2﹣2x+6k＝0的两个根分别为﹣3和﹣2，所以9k+6+6k=04k+4+6k=0，解得k=−（2）因为不等式kx2﹣2x+6k＜0（k≠0）的解集是{x|x≠1所以方程kx2﹣2x+6k＝0有两个相等的根为1k，且k所以Δ＝4﹣24k2＝0，且1k解得k=−66或（3）因为不等式kx2﹣2x+6k＜0（k≠0）的解集是R，所以k＜0Δ=4−24所以k的取值范围为(−∞，−6（4）不等式kx2﹣2x+6k＜0（k≠0）的解集是∅，所以k＞0Δ=4−24所以k≥6所以k的取值范围为[64．已知函数f（x）＝（m+1）x2﹣（m﹣1）x+m﹣1．（1）若不等式f(x)＜−34的解集为R，求实数（2）解关于x的不等式f（x）≥（m+1）x；（3）记不等式f（x）≥0的解集为A，若[−12，【答案】（1）（﹣∞，﹣2）；（2）当m＜﹣1时，解集为{x|1≤x≤m−1当m＝﹣1时，解集为{x|x≥1}，当m＞﹣1时，解集为{x|x≤m−1（3）[1，+∞）．【解答】解：（1）根据题意，分2种情况讨论：①当m+1＝0，即m＝﹣1时，f（x）＝2x﹣3，不合题意；②当m+1≠0，即m≠﹣1时，不等式f（x）＜−34的解集为R，即（m+1）x2﹣（m﹣1）x+m−1即m+1＜0Δ=(m−1即m＜−13解可得m＜−1m＜−2或m＞综合可得：m＜﹣2，故m的取值范围为（﹣∞，﹣2）；（2）根据题意，f（x）≥（m+1）x，即（m+1）x2﹣2mx+m﹣1≥0，即[（m+1）x﹣（m﹣1）]（x﹣1）≥0，①当m+1＝0，即m＝﹣1时，解集为{x|x≥1}；②当m+1＞0，即m＞﹣1时，(x−m−1m+1)(x−1)≥0∴解集为{x|x≤m−1m+1或③当m+1＜0，即m＜﹣1时，(x−m−1∵m−1m+1∴解集为{x|1≤x≤m−1综上所述：当m＜﹣1时，解集为{x|1≤x≤m−1当m＝﹣1时，解集为{x|x≥1}，当m＞﹣1时，解集为{x|x≤m−1（3）根据题意，（m+1）x2﹣（m﹣1）x+m﹣1≥0，即m（x2﹣x+1）≥﹣x2﹣x+1，x2﹣x+1＞0恒成立，m≥−设l﹣x＝t，则t∈[12，32]，变形可得∵t+1t≥2∴1−xx2−x+1∴当x＝0时，(−x2即m的取值范围为[1，+∞）．5．已知集合A＝{x|（x﹣1）（x﹣3）＜0}，B＝{x|2x＞4}．（1）求集合A∪B和∁RB；（2）若关于x的不等式x2+ax+b＜0的解集为A∩B，求a，b的值．【答案】（1）A∪B＝{x|x＞1}，∁RB＝{x|x≤2}；（2）a＝﹣5，b＝6．【解答】解：（1）由2x＞4可得2x＞22，即x＞2，所以B＝{x|x＞2}，由（x﹣1）（x﹣3）＜0得1＜x＜3，所以A＝{x|1＜x＜3}，所以A∪B＝{x|x＞1}，∁RB＝{x|x≤2}；（2）由（1）知，A∩B＝{x|2＜x＜3}，所以x2+ax+b＜0的解集为{x|2＜x＜3}，所以2，3为方程x2+ax+b＝0的解，所以4+2a+b=09+3a+b=0解得a=−5b=6.，所以，a＝﹣5，b6．已知集合A={x|2x−1x−2＜1}，集合B＝{x|x2（1）当a＝4时，求A∪B；（2）若A∩B＝B，求实数a的取值范围．【答案】（1）A∪B＝{x|﹣1＜x＜3}；（2）[−23【解答】解：（1）不等式2x−1x−2＜1可化为：2x−1x−2即（x﹣2）（x+1）＜0，解得﹣1＜x＜2，所以A＝{x|﹣1＜x＜2}，当a＝4时，B＝{x|x2﹣4x+3＜0}＝{x|（x﹣1）（x﹣3）＜0}＝{x|1＜x＜3}，所以A∪B＝{x|﹣1＜x＜3}；（2）由A∩B＝B可得：B⊆A，①若B＝∅，则Δ＝a2﹣12≤0，解得−23②若B≠∅，要使B⊆A，则f（x）＝x2﹣ax+3应满足，Δ＞0−1＜a2解得23综上所述，所求实数a的取值范围是[−237．已知函数f（x）＝ax2+bx﹣12（a，b∈R）．（1）若不等式f（x）＞0的解集为（﹣3，﹣1），求实数a，b的值；（2）当b＝3a﹣4时，求不等式f（x）≥0的解集．【答案】（1）a＝﹣4，b＝﹣16；（2）当a＜−43时，不等式f（x）≥0的解集为当a=−43时，不等式f（当−43＜a＜0时，不等式f（x当a＝0时，不等式f（x）≥0的解集为（﹣∞，﹣3]；当a＞0时，不等式f（x）≥0的解集为(−∞，−3]∪[4【解答】解：（1）若不等式f（x）＞0的解集为（﹣3，﹣1），由题意可知ax2+bx﹣12＝0的两根为﹣3和﹣1，则−b解得a＝﹣4，b＝﹣16；（2）当a＝0时，则x+3≤0，解得x≤﹣3；当a≠0时，f(x)=ax当a＞0时，则(x+3)(x−4a)≥0，解得x当a＜0时，则(x+3)(x−4当4a＞−3时，即a＜−43，解当4a=−3时，即a=−43，解当4a＜−3时，即−43＜a＜0综上所述，当a＜−43时，不等式f（x）≥0的解集为当a=−43时，不等式f（当−43＜a＜0时，不等式f（x当a＝0时，不等式f（x）≥0的解集为（﹣∞，﹣3]；当a＞0时，不等式f（x）≥0的解集为(−∞，−3]∪[48．若关于x的不等式x2+mx﹣6＜0的解集为{x|﹣1＜x＜6}，则m＝（）A．5 B．1 C．﹣1 D．﹣5【答案】D【解答】解：因为x2+mx﹣6＜0的解集为{x|﹣1＜x＜6}，则﹣1，6是x2+mx﹣6＝0的两个根，可知−1+6=−m1，解得故选：D．9．若关于x的不等式2ax2﹣4x＜ax﹣2有且只有一个整数解，则实数a的取值范围是（）A．（1，2] B．[1，2） C．（0，2） D．（0，2]【答案】B【解答】解：2ax2﹣4x＜ax﹣2，即（2x﹣1）（ax﹣2）＜0，当a＝0时，不等式的解集为(1当a＜0时，不等式的解集为(−∞，2当a＞0时，若a＝4，不等式的解集为∅，不符合题意；若0＜a＜4，不等式的解集为(12，2a)，故只需满足若a＞4，不等式的解集为(2综上所述，1≤a＜2．故选：B．10．若关于x的不等式ax2+bx﹣2＞0的解集是(1a，−2)A．(−∞，−12) C．(−12，0)【答案】C【解答】解：因为关于x的不等式ax2+bx﹣2＞0的解集是(1所以a＜0且1a解得−1故选：C．11．已知条件q：“不等式（a2﹣4）x2+（a+2）x﹣1≥0的解集是空集”，则条件p：“﹣2≤a＜1”是条件q的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【解答】解：因为不等式（a2﹣4）x2+（a+2）x﹣1≥0的解集是空集，所以不等式（a2﹣4）x2+（a+2）x﹣1＜0的解集是R，当a2﹣4＝0即a＝±2时，若a＝2，则4x﹣1＜0，x＜1若a＝﹣2，则﹣1＜0，x∈R；当a2﹣4≠0时，则a2−4＜0Δ＜0综上所述，a的取值范围为{a|−2≤a＜6因为{a|﹣2≤a＜1}⫋{a|−2≤a＜6所以条件p是条件q的充分不必要条件．故选：A．12．已知a，b，c∈R且a≠0，则“ax2+bx+c＞0的解集为{x|x≠1}”是“a+b+c＝0”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【解答】解：由题意知，一元二次不等式ax2+bx+c＞0的解集为{x|x≠1}，所以a＞0且−b所以b＝﹣2a，且c＝a；所以a+b+c＝0，充分性成立；若a≠0，且a+b+c＝0，则ax2+bx+c＞0可化为ax2+bx﹣a﹣b＞0，即（x﹣1）（ax+a+b）＞0，a＞0时，不等式化为（x﹣1）（x+1+ba）＞0，b＝0时不等式的解集不是{x|所以是充分不必要条件．故选：A．13．已知关于x的不等式ax2+bx+c＞0的解集为{x|﹣2＜x＜3}，则下列选项中正确的是（）A．a＜0 B．不等式bx+c＞0的解集是{x|x＜﹣6} C．a+b+c＞0 D．不等式cx2﹣bx+a＜0的解集为{x|x＜−13【答案】AC【解答】解：对于A，根据题意可知，﹣2，3是不等式ax2+bx+c＝0的两个实数根，所以−2+3=−ba且−2×3=ca，则b＝﹣a，c＝﹣6a且对于B，不等式bx+c＞0为﹣ax﹣6a＞0，解得x＞﹣6，故解集是{x|x＞﹣6}，故B错误，对于C，a+b+c＝a+（﹣a）+（﹣6a）＝﹣6a＞0，C正确，对于D，cx2﹣bx+a＜0化为﹣6ax2+ax+a＜0，即6x2﹣x﹣1＜0，解得−13＜x＜12故选：AC．14．已知关于x的不等式ax2+bx+c＞0的解集是{x|1＜x＜3}，则（）A．a＜0 B．a+b+c＝0 C．4a+2b+c＜0 D．不等式cx2﹣bx+a＜0的解集是{x|x＜﹣1或x＞−1【答案】ABD【解答】解：因为不等式ax2+bx+c＞0的解集是{x|1＜x＜3}，所以a＜0且1，3为方程ax2+bx+c＝0的两根，A正确；故1+3=−b所以b＝﹣4a，c＝3a，所以a+b+c＝a﹣4a+3a＝0，B正确；4a+2b+c＝4a﹣8a+3a＝﹣a＞0，C错误；由不等式cx2﹣bx+a＝3ax2+4ax+a＜0可得3x2+4x+1＞0，解得x＜﹣1或x＞−13，故选：ABD．15．设a＞0，若关于x的不等式x2﹣ax＜0的解集是区间（0，1）的真子集，则a的取值范围是．【答案】（0，1）．【解答】解：因为a＞0，所以解不等式x2﹣ax＜0，得0＜x＜a，又因为不等式x2﹣ax＜0的解集是区间（0，1）的真子集，所以a的取值范围是（0，1）．故答案为：（0，1）．16．设抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点为F，点A为该抛物线上任意一点，若|AF|＞1恒成立，则p的取值范围是（）A．p＜2 B．p＞2 C．p＜4 D．p＞4【答案】B【解答】解：抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点为F，点A为该抛物线上任意一点，由抛物线定义可知，|AF|等于点A到抛物线准线的距离，|AF|的最小值为抛物线顶点到准线的距离，即|AF|≥p若|AF|＞1恒成立，则p2＞1，即故选：B．17．下列叙述正确的是（）A．已知幂函数f（x）＝（m2﹣m﹣1）xm是奇函数，则实数m＝﹣1 B．先将曲线y＝sin2x向右平移π3个单位长度，再将曲线上各点的横坐标变为原来的12，所得曲线的解析式为C．若关于x的不等式kx2+2kx+1＞0有解，则实数k的取值范围为[﹣1，0） D．函数f（x）＝lnx+2x﹣4在区间（1，2）内有零点【答案】AD【解答】解：幂函数f（x）＝（m2﹣m﹣1）xm是奇函数，则m2﹣m﹣1＝1，解得m＝2或m＝﹣1，当m＝2时，f（x）＝x2不是奇函数，不符合题意，故m＝﹣1，A正确；将曲线y＝sin2x向右平移π3个单位长度，再将曲线上各点的横坐标变为原来的12，所得曲线的解析式为y＝sin（4x−2π若不等式kx2+2kx+1＞0有解，当k＝0时，1＞0有解，选项C显然错误；f（x）＝lnx+2x﹣4在区间（1，2）内单调递增，f（1）＝﹣2＜0，f（2）＝ln2＞0，根据零点存在定理可知，f（x）在（1，2）内有零点，D正确．故选：AD．18．下列说法中不正确的是（）A．已知f（2x）的定义域为（1，3），则g(x)=f(x+3)x−2B．已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，当x≤0时，f（x）＝x（x+1），则f（x）的解析式为f（x）＝x2﹣|x| C．函数y=5+4x−xD．“﹣3＜k＜0”是“不等式2kx2+kx−【答案】ACD【解答】解：对于A，由2＜x+3＜6x−2≠0解得：﹣1＜x＜3且x所以g(x)=f(x+3)x−2的定义域为（﹣1，2）∪（2，3），故对于B，当x＞0时，所以﹣x＜0，因为f（x）＝f（﹣x）＝﹣x（﹣x+1），所以f(x)=x(x+1)，x≤0−x(−x+1)，x＞0，即f（x）＝x2﹣|对于C：当x＝6时，5+4x﹣x2＝5+24﹣36＜0，故C错；对于D：当k＝0时，−38＜0故选：ACD．19．在正项等比数列{an}中，a4，a6是方程x2﹣15x+9＝0的两个根，则a1a9﹣a5＝（）A．3 B．6 C．9 D．12【答案】B【解答】解：在正项等比数列{an}中，a4，a6是方程x2﹣15x+9＝0的两个根，所以a4a6＝9，又a1a9=a4a6=所以a1a9﹣a5＝9﹣3＝6．故选：B．20．若关于x的方程x2﹣ax+4＝0有两相异实根x1，x2，且0＜x1＜x2＜4，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣4）∪（4，+∞） B．（0，5） C．（4，5） D．（4，8）【答案】C【解答】解：根据题意，方程x2﹣ax+4＝0有两相异实根x1，x2，且0＜x1＜x2＜4，则0＜x得4＜a＜5，则a的取值范围为（4，5）．故选：C．21．“一元二次方程ax2+bx+c＝0有实数根”是“b2﹣4ac≥0”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【