第34讲 两条直线的位置关系 2026-2027学年高中数学一轮复习讲义（人教版2019）

第34讲两条直线的位置关系内内容导航知识点1两条直线的位置关系知识点2直线的交点与方程组解的关系知识点3距离公式知识点4对称问题知识点5直线的交点及其应用知识点6点到直线的距离公式题型1两条直线的交点坐标题型2两点间的距离公式题型3点到直线的距离公式题型4两条平行直线间的距离知知识点通关知识点1两条直线的位置关系直线l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2，l3：A1x＋B1y＋C1＝0，l4：A2x＋B2y＋C2＝0(其中l1与l3是同一直线，l2与l4是同一直线，l3的法向量v1＝(A1，B1)，l4的法向量v2＝(A2，B2)的位置关系如下表：位置关系法向量满足的条件l1，l2满足的条件l3，l4满足的条件平行v1∥v2k1＝k2且b1≠b2A1B2－A2B1＝0且A1C2－A2C1≠0垂直v1⊥v2k1·k2＝－1A1A2＋B1B2＝0相交v1与v2不共线k1≠k2A1B2－A2B1≠0必记结论(1)两条直线平行或重合的充要条件直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与直线l2：A2x＋B2y＋C2＝0平行或重合的充要条件是A1B2－A2B1＝0.(2)两条直线垂直的充要条件直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与直线l2：A2x＋B2y＋C2＝0垂直的充要条件是A1A2＋B1B2＝0.知识点2直线的交点与方程组解的关系(1)两直线的交点点P的坐标既满足直线l1的方程A1x＋B1y＋C1＝0，也满足直线l2的方程A2x＋B2y＋C2＝0，即点P的坐标是方程组eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(A1x＋B1y＋C1＝0，,A2x＋B2y＋C2＝0))的解，解这个方程组就可以得到这两条直线的交点坐标.(2)两直线的位置关系与方程组解的关系方程组eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(A1x＋B1y＋C1＝0，,A2x＋B2y＋C2＝0))的解一组无数组无解直线l1与l2的公共点的个数一个无数个零个直线l1与l2的位置关系相交重合平行必记结论过直线与的交点的直线系方程为A1x＋B1y＋C1+λ(A2x＋B2y＋C2)=0，λ∈R，但不包括直线l2.知识点3距离公式（1）两点间的距离公式平面上任意两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式为|P1P2|＝eq\r(（x2－x1）2＋（y2－y1）2).特别地，原点O(0，0)与任一点P(x，y)的距离|OP|＝eq\r(x2＋y2).（2）点到直线的距离公式平面上任意一点P0(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝eq\f(|Ax0＋By0＋C|,\r(A2＋B2)).（3）两条平行线间的距离公式一般地，两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0(C1≠C2)间的距离d＝eq\f(|C1－C2|,\r(A2＋B2)).知识点4对称问题（1）点P(x0，y0)关于点A(a，b)的对称点为P′(2a－x0，2b－y0).（2）设点P(x0，y0)关于直线y＝kx＋b的对称点为P′(x′，y′)，则有eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(y′－y0,x′－x0)·k＝－1，,\f(y′＋y0,2)＝k·\f(x′＋x0,2)＋b，))可求出x′，y′.必记结论(1)点(x,y)关于原点(0,0)的对称点为(-x,-y).(2)点(x,y)关于x轴的对称点为(x,-y)，关于y轴的对称点为(-x,y).(3)点(x,y)关于直线y=x的对称点为(y,x)，关于直线y=-x的对称点为(-y,-x).(4)点(x,y)关于直线x=a的对称点为(2a-x,y)，关于直线y=b的对称点为(x,2b-y).(5)点(x,y)关于点(a,b)的对称点为(2a-x,2b-y).(6)点(x,y)关于直线x+y=k的对称点为(k-y,k-x)，关于直线x-y=k的对称点为(k+y,x-k).知识点5直线的交点及其应用方法技巧三种常见的直线系(1)与直线Ax＋By＋C＝0平行的直线系方程为Ax＋By＋C1＝0(C≠C1)；(2)与直线Ax＋By＋C＝0垂直的直线系方程为Bx－Ay＋C1＝0；(3)过直线A1x＋B1y＋C1＝0与直线A2x＋B2y＋C2＝0交点的直线系方程为A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(不包括直线A2x＋B2y＋C2＝0).知识点6点到直线的距离公式方法技巧利用距离公式的关注点(1)点P(x0，y0)到直线x＝a的距离d＝|x0－a|，到直线y＝b的距离d＝|y0－b|.(2)使用两条平行线间的距离公式前要把两条直线方程化为一般式且x，y的系数对应相等.考考点演练题型1两条直线的交点坐标【典例1】若点P（1，3）既是A（a1，b1），B（a2，b2）所连线段的中点，又是直线l1：a1x+b1y﹣10＝0与l2：a2x+b2y﹣10＝0的交点，则线段AB的垂直平分线的方程是（）A．x+3y﹣10＝0 B．3x+y﹣10＝0 C．x﹣3y＝0 D．3x﹣y＝0【变式1】若直线l1：x﹣my+m﹣2＝0，l2：mx+y﹣m﹣2＝0，设l1与l2的交点为P，O为坐标原点，则|OP|的取值范围为（）A．[2，4] B．（2，4] C．[2，22题型2两点间的距离公式【典例1】著名数学家华罗庚曾说过：“数无形时少直觉，形少数时难入微”事实上，有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，如：(x−a)2+(y−b)2可以转化为平面上点M（x，y）与点N（a，b）的距离结合上述观点，可得fA．5 B．29 C．13 D．2+【变式1】已知点A（x1，y1），B（x2，y2），定义dAB=(x1−y2)2+(x2−y1)2A．1 B．2 C．2 D．2题型3点到直线的距离公式【典例1】已知直线l：x﹣y﹣2＝0，圆C关于y轴对称，且过点A（﹣1，3），B（1，1），则圆C上的点到l的距离的最大值与最小值之和等于（）A．2 B．22 C．32 【变式1】已知点A（1，0），B（4，4）到直线l的距离分别为3，4，则符合条件的直线l的条数为（）A．1 B．2 C．3 D．4题型4两条平行直线间的距离【典例1】若两平行直线x+my+2＝0与2x﹣4y+n＝0（n＞0）之间的距离是5，则m+n＝（）A．﹣2 B．﹣12 C．12 D．14【变式1】已知直线l1：x﹣ay﹣1＝0与l2：2x+y＝5平行，则两直线间的距离为（）A．5 B．35 C．55 过过关验收1．已知点P（3，﹣1）和Q（﹣1，2），直线l：ax+2y﹣1＝0与线段PQ有公共点，则实数a的取值范围为（）A．1≤a≤3 B．a≤1或a≥3 C．a≤1 D．a≥32．已知三条直线l1：x﹣2y+2＝0，l2：x﹣2＝0，l3：x+ky＝0将平面分为六个部分，则满足条件的k的值共有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．无数个3．若直线y＝﹣2x+4与直线y＝kx的交点在直线y＝x+2上，则实数k＝（）A．4 B．2 C．12 D．4．记号max{a，b}表示a、b中取较大的数，如max{1，2}＝2．在平面直角坐标系中，定义d（A，B）＝max{|x1﹣x2|，|y1﹣y2|}为两点A（x1，y1）、B（x2，y2）的“切比雪夫距离”．已知点O为坐标原点，点C在圆（x﹣1）2+（y﹣1）2＝1上，点A在直线3x+4y﹣10＝0上，则d（C，A）+d（C，O）的最小值为．5．直线l1：y＝m（x﹣2）+2与直线l2：x+my﹣2m﹣4＝0交于M（x，y）点，则yx−2的取值范围为6．已知直线l过点P（0，1），并与直线l1：x﹣3y+10＝0和l2：2x+y﹣8＝0分别交于点A，B（如图），若线段AB被点P平分，求直线l的方程．7．已知菱形ABCD的中心为点M（﹣2，0），AB边所在直线的方程是x﹣y+4＝0，对角线AC所在直线的方程是x+2y+2＝0．（1）求对角线BD所在直线的方程；（2）求BC边所在直线的方程．8．平行四边形ABCD的两条邻边AD，AB所在的直线分别为lAD：x﹣4y+5＝0，lAB：2x+y﹣8＝0，两条对角线交点为P（0，﹣1），（1）求边BC所在直线方程；（2）求平行四边形ABCD的面积．9．已知点P（x，y）在一次函数y＝﹣2x+4的图像上运动，当它的横、纵坐标之积最大时，点P的坐标（）A．(12，3) B．（1，2） C．10．在平面直角坐标系中，定义d（A，B）＝max{|x1﹣x2|，|y1﹣y2|}为两点A（x1，y1），B（x2，y2）的“切比雪夫距离”，又设点P及l上任意一点Q，称d（P，Q）的最小值为点P到直线l的“切比雪夫距离”，记作d（P，l）．给出下列两个命题：①对任意三点A，B，C，都有d（A，C）+d（C，B）≥d（A，B）；②已知点P（3，1）和直线l：2x﹣y﹣1＝0，则d(P，l)=4则下列正确的是（）A．①和②都是真命题 B．①真②假 C．①假②真 D．①和②都是假命题11．已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣1，2），B（3，﹣2），C（1，4）．（Ⅰ）设D为AC的中点，求直线BD的方程；（Ⅱ）求△ABC的面积．12．在直角坐标系中，已知两点A（4，3）、B（0，1），点C为x轴上一动点．（1）若△ABC是以AB为斜边的直角三角形，求点C的坐标；（2）已知点D（6，t），问是否存在实数t，使得四边形ABCD为平行四边形？如果存在求出实数t的值；如果不存在，请说明理由．13．已知直线l1：6x+（t﹣1）y﹣8＝0，直线l2：（t+4）x+（t+6）y﹣16＝0，（1）若l1与l2相交，求实数t的值；（2）若l1与l2平行．求实数t的值并求出此时两直线间的距离．14．已知直线l过点A（2，﹣3）．（1）若直线l在y轴上的截距为3，求直线l的方程；（2）若直线l与直线2x+y+b＝0（b＜0）平行，且两条平行线间的距离为5，求b．15．已知直线l：ax﹣y+2﹣a＝0恒过点P，且与x轴，y轴分别交于A，B两点，O为坐标原点．（1）求点P的坐标；（2）当点O到直线l的距离最大时，求直线l的方程；（3）当|PA|•|PB|取得最小值时，求△AOB的面积．16．已知△ABC的三个顶点分别为A（0，4），B（﹣2，6），C（﹣8，0），求：（1）边AB所在直线的方程；（2）求△ABC的面积．17．已知过点P（4，3）的直线l与x，y轴的正半轴相交于点A（a，0），B（0，b）．（1）若a＝2b，求直线l的方程；（2）若a＜b，且△AOB的面积为27，求坐标原点O到直线l的距离．18．已知直线l的倾斜角为α，cosα=−12，且这条直线经过点（1）求直线l的方程．（2）直线kx−y+1−3k=0恒过定点B，求点B到直线19．若两平行直线x+2y+m＝0（m＞0）与x﹣ny﹣3＝0之间的距离是5，则m+n＝（）A．0 B．1 C．﹣1 D．﹣220．已知直线l1：x+ay+1＝0，l2：2x+4y+3＝0，且l1∥l2，则l1与l2的距离为（）A．510 B．55 C．5221．若直线l1：2x﹣y+1＝0与直线l2：kx+y﹣2＝0（k∈R）平行，那么这两条直线之间的距离为（）A．35 B．15 C．35第34讲两条直线的位置关系内内容导航知识点1两条直线的位置关系知识点2直线的交点与方程组解的关系知识点3距离公式知识点4对称问题知识点5直线的交点及其应用知识点6点到直线的距离公式题型1两条直线的交点坐标题型2两点间的距离公式题型3点到直线的距离公式题型4两条平行直线间的距离知知识点通关知识点1两条直线的位置关系直线l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2，l3：A1x＋B1y＋C1＝0，l4：A2x＋B2y＋C2＝0(其中l1与l3是同一直线，l2与l4是同一直线，l3的法向量v1＝(A1，B1)，l4的法向量v2＝(A2，B2)的位置关系如下表：位置关系法向量满足的条件l1，l2满足的条件l3，l4满足的条件平行v1∥v2k1＝k2且b1≠b2A1B2－A2B1＝0且A1C2－A2C1≠0垂直v1⊥v2k1·k2＝－1A1A2＋B1B2＝0相交v1与v2不共线k1≠k2A1B2－A2B1≠0必记结论(1)两条直线平行或重合的充要条件直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与直线l2：A2x＋B2y＋C2＝0平行或重合的充要条件是A1B2－A2B1＝0.(2)两条直线垂直的充要条件直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与直线l2：A2x＋B2y＋C2＝0垂直的充要条件是A1A2＋B1B2＝0.知识点2直线的交点与方程组解的关系(1)两直线的交点点P的坐标既满足直线l1的方程A1x＋B1y＋C1＝0，也满足直线l2的方程A2x＋B2y＋C2＝0，即点P的坐标是方程组eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(A1x＋B1y＋C1＝0，,A2x＋B2y＋C2＝0))的解，解这个方程组就可以得到这两条直线的交点坐标.(2)两直线的位置关系与方程组解的关系方程组eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(A1x＋B1y＋C1＝0，,A2x＋B2y＋C2＝0))的解一组无数组无解直线l1与l2的公共点的个数一个无数个零个直线l1与l2的位置关系相交重合平行必记结论过直线与的交点的直线系方程为A1x＋B1y＋C1+λ(A2x＋B2y＋C2)=0，λ∈R，但不包括直线l2.知识点3距离公式（1）两点间的距离公式平面上任意两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式为|P1P2|＝eq\r(（x2－x1）2＋（y2－y1）2).特别地，原点O(0，0)与任一点P(x，y)的距离|OP|＝eq\r(x2＋y2).（2）点到直线的距离公式平面上任意一点P0(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝eq\f(|Ax0＋By0＋C|,\r(A2＋B2)).（3）两条平行线间的距离公式一般地，两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0(C1≠C2)间的距离d＝eq\f(|C1－C2|,\r(A2＋B2)).知识点4对称问题（1）点P(x0，y0)关于点A(a，b)的对称点为P′(2a－x0，2b－y0).（2）设点P(x0，y0)关于直线y＝kx＋b的对称点为P′(x′，y′)，则有eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(y′－y0,x′－x0)·k＝－1，,\f(y′＋y0,2)＝k·\f(x′＋x0,2)＋b，))可求出x′，y′.必记结论(1)点(x,y)关于原点(0,0)的对称点为(-x,-y).(2)点(x,y)关于x轴的对称点为(x,-y)，关于y轴的对称点为(-x,y).(3)点(x,y)关于直线y=x的对称点为(y,x)，关于直线y=-x的对称点为(-y,-x).(4)点(x,y)关于直线x=a的对称点为(2a-x,y)，关于直线y=b的对称点为(x,2b-y).(5)点(x,y)关于点(a,b)的对称点为(2a-x,2b-y).(6)点(x,y)关于直线x+y=k的对称点为(k-y,k-x)，关于直线x-y=k的对称点为(k+y,x-k).知识点5直线的交点及其应用方法技巧三种常见的直线系(1)与直线Ax＋By＋C＝0平行的直线系方程为Ax＋By＋C1＝0(C≠C1)；(2)与直线Ax＋By＋C＝0垂直的直线系方程为Bx－Ay＋C1＝0；(3)过直线A1x＋B1y＋C1＝0与直线A2x＋B2y＋C2＝0交点的直线系方程为A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(不包括直线A2x＋B2y＋C2＝0).知识点6点到直线的距离公式方法技巧利用距离公式的关注点(1)点P(x0，y0)到直线x＝a的距离d＝|x0－a|，到直线y＝b的距离d＝|y0－b|.(2)使用两条平行线间的距离公式前要把两条直线方程化为一般式且x，y的系数对应相等.考考点演练题型1两条直线的交点坐标【典例1】若点P（1，3）既是A（a1，b1），B（a2，b2）所连线段的中点，又是直线l1：a1x+b1y﹣10＝0与l2：a2x+b2y﹣10＝0的交点，则线段AB的垂直平分线的方程是（）A．x+3y﹣10＝0 B．3x+y﹣10＝0 C．x﹣3y＝0 D．3x﹣y＝0【答案】D【解答】解：直线l1：a1x+b1y﹣10＝0与直线l2：a2x+b2y﹣10＝0的方程相减，可得过两直线交点的直线方程为（a1﹣a2）x+（b1﹣b2）y＝0，把点P（1，3）代入，可得（a1﹣a2）+3（b1﹣b2）＝0，因为是A（a1，b1），B（a2，b2），所以kAB因为P（1，3）是线段AB的中点，所以线段AB的垂直平分线的方程是y﹣3＝3（x﹣1），即3x﹣y＝0．故选：D．【变式1】若直线l1：x﹣my+m﹣2＝0，l2：mx+y﹣m﹣2＝0，设l1与l2的交点为P，O为坐标原点，则|OP|的取值范围为（）A．[2，4] B．（2，4] C．[2，22【答案】D【解答】解：根据题意可知，直线l1：x﹣my+m﹣2＝0，l2：mx+y﹣m﹣2＝0，设l1与l2的交点为P，联立得出P(m∴|OP|2∵m2≥0，∴m2+1≥1，∴0＜1m2∴|OP|∈(2故选：D．题型2两点间的距离公式【典例1】著名数学家华罗庚曾说过：“数无形时少直觉，形少数时难入微”事实上，有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，如：(x−a)2+(y−b)2可以转化为平面上点M（x，y）与点N（a，b）的距离结合上述观点，可得fA．5 B．29 C．13 D．2+【答案】C【解答】解：f（x）=x可得x轴上的点P（x，0）到定点A（﹣5，1）和B（﹣3，2）的距离之和的最小值，设A关于x轴的对称点A'（﹣5，﹣1），则|PA|+|PB|＝|PA'|+|PB|≥|A'B|=(−5+3)2+(−1−2)2=所以|PA|+|PB|的值最小为13．故选：C．【变式1】已知点A（x1，y1），B（x2，y2），定义dAB=(x1−y2)2+(x2−y1)2A．1 B．2 C．2 D．2【答案】D【解答】解：因为y＝1﹣e2﹣x，所以e2﹣x＝1﹣y，所以2﹣x＝ln（1﹣y），所以x＝2﹣ln（1﹣y），所以y＝1﹣e2﹣x的反函数为y＝2﹣ln（1﹣x）．因为B（x2，y2）在曲线y＝1﹣e2﹣x上，所以C（y2，x2）在曲线y＝2﹣ln（1﹣x）．dAB=(x1−y2)2+(x2−y1)2相当于y＝1﹣e2﹣x上的点A（x1利用反函数的性质可得y＝1﹣e2﹣x与y＝2﹣ln（1﹣x）的图象关于y＝x对称，所以AC与y＝x垂直时，dAB取得最小，等于点B到直线y＝x距离的2倍．因为y＝2﹣ln（1﹣x），所以y′=1令11−x=1，解得x＝0，所以所以与直线y＝x平行，且与y＝2﹣ln（1﹣x）相切的切点坐标为（0，2），切点到直线y＝x的距离为22所以dAB的最小值为22．故选：D．题型3点到直线的距离公式【典例1】已知直线l：x﹣y﹣2＝0，圆C关于y轴对称，且过点A（﹣1，3），B（1，1），则圆C上的点到l的距离的最大值与最小值之和等于（）A．2 B．22 C．32 【答案】D【解答】解：由题意，因为圆C关于y轴对称，所以设圆的方程为x2+（y﹣b）2＝r2，因为圆C过点A（﹣1，3），B（1，1），所以1+(3−b)2=r21+所以圆心与半径分别为C(0，2)，r=2所以C到l的距离为d=|0−2−2|所以圆C上的点到l的距离的最大值与最小值分别为22其和为42故选：D．【变式1】已知点A（1，0），B（4，4）到直线l的距离分别为3，4，则符合条件的直线l的条数为（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【解答】解：|AB|=(4−1点A、B到直线l的距离分别为3和4，且3+4＝7＞5，则直线l不能与线段AB相交，只能在两点的同侧，以A为圆心、半径3作圆，方程为（x﹣1）2+y2＝9，以B为圆心、半径4作圆，方程为（x﹣4）2+（y﹣4）2＝16，两圆的圆心距为5，而半径和3+4＝7＞5，半径差4﹣3＝1＜5，故两圆相交，因此它们的公切线有2条，这两条公切线就是满足条件的直线l．故选：B．题型4两条平行直线间的距离【典例1】若两平行直线x+my+2＝0与2x﹣4y+n＝0（n＞0）之间的距离是5，则m+n＝（）A．﹣2 B．﹣12 C．12 D．14【答案】C【解答】解：因为平行直线x+my+2＝0与2x﹣4y+n＝0（n＞0）之间的距离是5，所以12=m即直线为：x﹣2y+2＝0，即2x﹣4y+4＝0，故5=|4−n|22+(−4所以m+n＝12．故选：C．【变式1】已知直线l1：x﹣ay﹣1＝0与l2：2x+y＝5平行，则两直线间的距离为（）A．5 B．35 C．55 【答案】D【解答】解：因为直线l1：x﹣ay﹣1＝0与l2：2x+y﹣5＝0平行，所以1a=−2，解得a=−12，则直线l1为x+1则两直线间的距离d=|−5−(−2)|故选：D．过过关验收1．已知点P（3，﹣1）和Q（﹣1，2），直线l：ax+2y﹣1＝0与线段PQ有公共点，则实数a的取值范围为（）A．1≤a≤3 B．a≤1或a≥3 C．a≤1 D．a≥3【答案】B【解答】解：记：f（x，y）＝ax+2y﹣1，由题意得：f（3，﹣1）f（﹣1，2）≤0，即（3a﹣3）（﹣a+3）≤0，即（a﹣1）（a﹣3）≥0，解得：a≤1或a≥3，故选：B．2．已知三条直线l1：x﹣2y+2＝0，l2：x﹣2＝0，l3：x+ky＝0将平面分为六个部分，则满足条件的k的值共有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．无数个【答案】C【解答】解：因为三条直线l1：x﹣2y+2＝0，l2：x﹣2＝0，l3：x+ky＝0将平面分为六个部分，所以三条直线交于一点或两条平行线与第三条直线相交，当三条直线交于一点时，联立x−2y+2=0x−2=0可得x＝y＝2，此时2+2k＝0，即k当两条平行线与第三条直线相交时，可得l1∥l3或l2∥l3，所以k＝﹣2或k＝0．故选：C．3．若直线y＝﹣2x+4与直线y＝kx的交点在直线y＝x+2上，则实数k＝（）A．4 B．2 C．12 D．【答案】A【解答】解：直线y＝﹣2x+4与直线y＝kx的交点，满足：y=−2x+4y=kx，解得x=由于该点在直线y＝x+2上，故4kk+2=4故选：A．4．记号max{a，b}表示a、b中取较大的数，如max{1，2}＝2．在平面直角坐标系中，定义d（A，B）＝max{|x1﹣x2|，|y1﹣y2|}为两点A（x1，y1）、B（x2，y2）的“切比雪夫距离”．已知点O为坐标原点，点C在圆（x﹣1）2+（y﹣1）2＝1上，点A在直线3x+4y﹣10＝0上，则d（C，A）+d（C，O）的最小值为．【答案】107【解答】解：设点C（x，y），与点C的切比雪夫距离为R的点构成了一个以点C为中心，边长为2R的正方形，要让R最小，直线应经过正方形的右上角或左下角，即（x﹣R，y﹣R）或（x+R，y+R），代入直线方程可得3（x﹣R）+4（y﹣R）﹣10＝0或3（x+R）+4（y+R）﹣10＝0，于是有Rmin=|3x+4y−10|3+4，即d（C，由圆的圆心为（1，1）且半径为1可知圆在第一象限，所以有x≥0，y≥0，则d（C，O）＝max{|x﹣0|，|y﹣0|}＝max{x，y}，因此需要优化的目标函数为f(x，y)=|3x+4y−10|当3x+4y≤10且x≥y时，f(x，y)=10−3x−4y当3x+4y≤10且x≤y时，f(x，y)=10−3x−4y即当3x+4y≤10时f(x，y)≥107，当且仅当x＝当x＝y时，联立x＝y和圆的方程得到（x﹣1）2+（x﹣1）2＝1，解得x=y=1±2取较小的一组解x=y=1−22进行验算得当3x+4y＞10时，x≤107和y≤10因此必定有max{x，y}＞107，所以综上所述，f（x，y）的最小值也即d（C，A）+d（C，O）的最小值为107故答案为：1075．直线l1：y＝m（x﹣2）+2与直线l2：x+my﹣2m﹣4＝0交于M（x，y）点，则yx−2的取值范围为【答案】[3【解答】解：对于直线l1：y＝m（x﹣2）+2，令x﹣2＝0，得y＝2，即直线过定点A（2，2），且直线l1为：mx﹣y﹣2m+2＝0，对于直线l2：x+my﹣2m﹣4＝0，化简得x﹣4+m（y﹣2）＝0，由y﹣2＝0，得x＝4，即直线过定点B（4，2），且直线l2的方程为：x+my﹣2m﹣4＝0，因为m×1﹣m×1＝0，即这两条直线垂直，所以M（x，y）点的轨迹为以AB为直径的圆，除去A点，AB中点坐标为（3，2），|AB|＝2，所以以AB为直径的圆方程为：（x﹣3）2+（y﹣2）2＝1，即M（x，y）点的轨迹方程为：（x﹣3）2+（y﹣2）2＝1，x≠2，因为yx−2的几何意义为（x，y由图可知：直线CA：x＝2与圆（x﹣3）2+（y﹣2）2＝1相切，过C作圆的切线CD，设斜率为k，直线方程为y＝k（x﹣2），即kx﹣y﹣2k＝0，由圆心到直线的距离等于半径可得：|3k−2−2k|1+解得：k=3由图形可知：yx−2的取值范围是[故答案为：[36．已知直线l过点P（0，1），并与直线l1：x﹣3y+10＝0和l2：2x+y﹣8＝0分别交于点A，B（如图），若线段AB被点P平分，求直线l的方程．【答案】x+4y﹣4＝0．【解答】解：设l2上的点B（m，8﹣2m），∵P（0，1）为AB的中点，∴A（﹣m，2m﹣6），∵点A在直线l1：x﹣3y+10＝0上，∴﹣m﹣3（2m﹣6）+10＝0，解得m＝4，∴B（4，0），A（﹣4，2），故直线l的方程为x+4y﹣4＝0．7．已知菱形ABCD的中心为点M（﹣2，0），AB边所在直线的方程是x﹣y+4＝0，对角线AC所在直线的方程是x+2y+2＝0．（1）求对角线BD所在直线的方程；（2）求BC边所在直线的方程．【答案】（1）2x﹣y+4＝0．（2）7x﹣y+4＝0．【解答】解：（1）菱形ABCD的中心为点M（﹣2，0），AB边所在直线的方程是x﹣y+4＝0，对角线AC所在直线的方程是x+2y+2＝0．四边形ABCD为菱形，则ABCD的对角线互相垂直，即AC⊥BD，因为对角线AC所在直线的方程是x+2y+2＝0，可设BD：2x﹣y+n＝0，把M（﹣2，0）代入直线BD的方程2x﹣y+n＝0，解得n＝4，所以直线BD的方程为2x﹣y+4＝0．（2）联立方程组x−y+4=0x+2y+2=0，解得x=−103设C点的坐标为（x0，y0），因为M（﹣2，0），且M为AC的中点，可得x0+(−10解得x0=−2再联立方程组x−y+4=02x−y+4=0，解得x＝0，y＝4，即B所以BC边所在的直线方程为y−4−23−4=8．平行四边形ABCD的两条邻边AD，AB所在的直线分别为lAD：x﹣4y+5＝0，lAB：2x+y﹣8＝0，两条对角线交点为P（0，﹣1），（1）求边BC所在直线方程；（2）求平行四边形ABCD的面积．【答案】（1）x﹣4y﹣13＝0；（2）36．【解答】解：（1）AD，AB所在的直线分别为lAD：x﹣4y+5＝0，lAB：2x+y﹣8＝0，联立x−4y+5=02x+y−8=0，得x=3y=2，∴∵P（0，﹣1）为对角线的交点，即AC的中点，由中点坐标公式得C（﹣3，﹣4），∵kBC＝kAD，∴kBC由点斜式直线方程可得lBC即lBC：x﹣4y﹣13＝0；（2）由x−4y−13=02x+y−8=0，得x=5y=−2∴∴|AB|=(3−5由点到直线的距离公式可得dC−AB∴S=|AB|⋅d=259．已知点P（x，y）在一次函数y＝﹣2x+4的图像上运动，当它的横、纵坐标之积最大时，点P的坐标（）A．(12，3) B．（1，2） C．【答案】B【解答】解：点P（x，y）在一次函数y＝﹣2x+4的图像上运动，∴点P（x，y）在y＝﹣2x+4上，∴P（x，y）横纵坐标乘积为xy＝x（﹣2x+4）＝﹣2x2+4x＝﹣2（x﹣1）2+2，当x＝1时，xy有最大值2，将x＝1代入y＝﹣2x+4，得y＝2，∴当点P的横、纵坐标之积最大时点P坐标为（1，2）．故选：B．10．在平面直角坐标系中，定义d（A，B）＝max{|x1﹣x2|，|y1﹣y2|}为两点A（x1，y1），B（x2，y2）的“切比雪夫距离”，又设点P及l上任意一点Q，称d（P，Q）的最小值为点P到直线l的“切比雪夫距离”，记作d（P，l）．给出下列两个命题：①对任意三点A，B，C，都有d（A，C）+d（C，B）≥d（A，B）；②已知点P（3，1）和直线l：2x﹣y﹣1＝0，则d(P，l)=4则下列正确的是（）A．①和②都是真命题 B．①真②假 C．①假②真 D．①和②都是假命题【答案】A【解答】解：①对任意三点A，B，C，若A，B，C不共线，且△ABC中C为锐角或钝角，由矩形CMNK或矩形BMNK，d（A，C）+d（C，B）≥d（A，B）；对任意三点A，B，C，若A，B，C共线，设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），如图，结合三角形的相似可得d（A，C），d（C，B），d（A，B）为AN，CM，AK，或CN，BM，BK，则d（A，C）+d（C，B）≥d（A，B）；若B，C或A，C对调，可得d（A，C）+d（C，B）≥d（A，B）．综上所述，对任意的三点A，B，C，都有d（A，C）+d（C，B）≥d（A，B），命题①正确；②设点Q是直线y＝2x﹣1上一点，且Q（x，2x﹣1），可得d（P，Q）＝max{|x﹣3|，|2﹣2x|}，由|x﹣3|≥|2﹣2x|，解得−1≤x≤53，即有d（P，Q）＝|当x=53时，d（P，Q）取得最小值由|x﹣3|＜|2﹣2x|，解得x＞53或x＜﹣1，即有d（P，Q）＝|2所以d（P，Q）的范围是(4综上可得，P，Q两点的“切比雪夫距离”的最小值为43，故②故选：A．11．已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣1，2），B（3，﹣2），C（1，4）．（Ⅰ）设D为AC的中点，求直线BD的方程；（Ⅱ）求△ABC的面积．【答案】（Ⅰ）5x+3y﹣9＝0；（2）8．【解答】解：（Ⅰ）根据题意，A（﹣1，2），C（1，4），则D的坐标为（0，3），又由B（3，﹣2），则kBD=3−(−2)则直线BD的方程为y﹣3=−53（x﹣0），变形可得5x+3（2）根据题意，A（﹣1，2），B（3，﹣2），C（1，4），则|AB|=16+16=42，|AC|=4+4=22，|BC|易得|AB|2+|AC|2＝|BC|2，则∠A＝90°，故△ABC的面积S=12|AB|×|12．在直角坐标系中，已知两点A（4，3）、B（0，1），点C为x轴上一动点．（1）若△ABC是以AB为斜边的直角三角形，求点C的坐标；（2）已知点D（6，t），问是否存在实数t，使得四边形ABCD为平行四边形？如果存在求出实数t的值；如果不存在，请说明理由．【答案】（1）（1，0）或（3，0）；（2）存在；t＝2．【解答】解：（1）设点C（x，0），则AC→因为△ABC是以AB为斜边的直角三角形，故AC→故AC→⋅BC→=(x−4，−3)⋅(x，−1)=故点C的坐标为（1，0）或（3，0）；（2）假设存在实数t，使得四边形ABCD为平行四边形，设C（m，0），则AB→因为四边形ABCD为平行四边形，故AB→=DC→，即（﹣4，﹣2）＝（故−4=m−6−2=−t，解得m=2即存在实数t＝2，使得四边形ABCD为平行四边形．13．已知直线l1：6x+（t﹣1）y﹣8＝0，直线l2：（t+4）x+（t+6）y﹣16＝0，（1）若l1与l2相交，求实数t的值；（2）若l1与l2平行．求实数t的值并求出此时两直线间的距离．【答案】（1）t≠8且t≠﹣5；（2）t＝﹣5；262【解答】解：（1）若直线l1：6x+（t﹣1）y﹣8＝0与直线l2：（t+4）x+（t+6）y﹣16＝0相交，则6（t+6）≠（t﹣1）（t+4），解得t≠8且t≠﹣5，所以实数t的取值为（﹣∞，﹣5）∪（﹣5，8）∪（8，+∞）；（2）由直线l1与l2平行，得6(t+6)=(t−1)(t+4)−8(t+4)≠−16×6解得t＝﹣5，此时l1：3x﹣3y﹣4＝0，即x−y−43=0，直线l2：x所以直线l1与l2间距离d=|16−(−14．已知直线l过点A（2，﹣3）．（1）若直线l在y轴上的截距为3，求直线l的方程；（2）若直线l与直线2x+y+b＝0（b＜0）平行，且两条平行线间的距离为5，求b．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）由题意可得直线l的斜率存在，设直线l的方程为y＝kx+3，∵直线l过点A（2，﹣3），∴﹣3＝2k+3，求得k＝﹣3，∴直线l的方程为y＝﹣3x+3，即3x+y﹣3＝0．（2）若直线l与直线2x+y+b＝0（b＜0）平行，可设直线l的方程为2x+y+b＝0，∵两条平行线间的距离为5，∴|b+1|5=5故直线l的方程为2x+y﹣6＝0．15．已知直线l：ax﹣y+2﹣a＝0恒过点P，且与x轴，y轴分别交于A，B两点，O为坐标原点．（1）求点P的坐标；（2）当点O到直线l的距离最大时，求直线l的方程；（3）当|PA|•|PB|取得最小值时，求△AOB的面积．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）直线l：ax﹣y+2﹣a＝