山东济南市中区2026-2027学年九年级数学第一学期期中考试试题以及答案

年九年级期中学业质量检测数学试题（满分150分时间120分钟）第Ⅰ卷（选择题共40分）一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。每小题只有一个选项符合题目要求。1.如图是一个电风扇的旋钮开关，其俯视图为（）

2.如图，若

△ABC∽△DEF，∠A=40∘，∠C=90∘，则

∠E的度数为（）A.

30∘

B.

40∘

C.

50∘

D.

70∘3.一个不透明的盒子中装有30个除颜色不同外其他都相同的乒乓球，将其摇匀，从中随机摸出一个乒乓球并记录颜色，记录后放回。通过多次重复试验后发现摸到黄球的频率为0.30，估计盒子中黄球的个数为（）

A.4B.6C.9D.124.在平面直角坐标系中，将函数

y=(x−1)2+2的图象向下平移3个单位长度，所得抛物线对应的函数表达式为（）

A.

y=(x−1)2−1

B.

y=(x−4)2+2C.

y=(x−1)2+5

D.

y=(x+2)2+25.如图，线段

CD

两个端点的坐标分别为

C(2,2)，D(3,1)，以原点

O

为位似中心，在第一象限内将线段扩大为原来的2倍得到线段

AB，则端点

A

和

B

的坐标分别为（）A.

(4,4),(6,4)B.

(4,8),(6,2)C.

(4,4),(6,2)

D.

(6,2),(4,4)6.二次函数

y=x2−2x−1图象的顶点坐标是（）

A.

(−1,1)

B.

(−1,2)C.

(1,−1)

D.

(1,−2)7.小孔成像是光在均匀介质中沿直线传播形成的一种物理现象。图1是小孔成像实验图，抽象为数学模型如图2所示。已知

AC

与

BD

交于点

O，AB∥CD。若点

O

到

AB

的距离为

10cm，点

O

到

CD

的距离为

15cm，蜡烛火焰

AB

的高度是

4cm，则蜡烛火焰倒立的像

CD

的高度是（）A.

83cmB.

6cm

C.

7cmD.

8cm8.已知一次函数

y=ax+b(a≠0)的图象经过第一、二、四象限，则二次函数

y=ax2+bx(a≠0)的图象大致为（）B.C.D.9.如图，点

M

是

△ABC内一点，过点

M

分别作直线平行于

△ABC的各边，所形成的三个阴影小三角形的面积

S1，S2，S3分别是1，4和25，则

△ABC

的面积是()A.49B.64C.72D.8110.如图，二次函数

y=ax2+bx+c(a≠0)

的图象过点

(−2,0)，对称轴为直线

x=1。有以下结论：①

abc>0；②

4a+2b+c>0；③

a+b≤m(am+b)（m

为任意实数）；④

A(x1,m)，B(x2,m)是抛物线上的两点，当

x=x1+x2时，y=c；⑤若方程

a(x+2)(4−x)=−1的两根为

x1，x2，且

x1<x2，则

2<x1<x2<4。其中正确结论的个数有()A.2个B.3个C.4个D.5个第Ⅱ卷（非选择题共110分）二、填空题：本题共5小题，每小题4分，共20分。直接填写答案。11.如果

mn=23，则m+nn12.已知

△ABC∽△DEF，相似比为

3:5，且

△ABC的周长为

15cm，则

△DEF的周长为cm。13.已知方程

x2−7x−18=0的两根是

9，−2，则抛物线

y=x2−7x−18与

x

轴的两个交点间的距离为。14.掷实心球是中学生体质健康监测中的项目，佳佳同学掷实心球时，实心球沿抛物线

y=a(x−3)2+2运行，其中

x

是实心球离初始位置的水平距离，y

是实心球离地面的高度。若实心球抛出时离地面的高度

OA

为

1.5m，则实心球掷出的水平距离

OB

为m。15.如图是一张矩形纸片

ABCD，AB=5，点

E

是

AD

的中点，把该纸片沿

EF

折叠，点

C，D的对应点分别为点

M，N，EN的延长线经过点

B，MN与

BC

相交于点

G。若

BG:GF=2:3，则

AD

的长为。三、解答题：本题共10小题，共90分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。16.（本小题满分7分）已知

a3=b17.（本小题满分7分）如图，点

D，E

分别在边

AB，AC

上，∠AED=∠B。

（1）证明：△ABC∽△AED；

（2）若

AD=4，AE=6，AC=12，求

AB

的长。18.（本小题满分7分）已知二次函数

y=3x2+1，请回答下列问题。

（1）观察下面四幅图，在平面直角坐标系中，函数

y=3x2+1对应的图象是图__________；（填序号）

（2）图象的对称轴是__________，顶点坐标是__________。19.（本小题满分8分）如图，在平面直角坐标系中，点

O

为原点，A(−1,0)，B(−2,−1)，C(0,−3)。

（1）以原点

O

为位似中心，相似比为2，将

△ABC在位似中心的异侧进行放大得到

△A1B1C1，请在下图中作出

△A1B1C1（点

A1，B1，C1

分别为点

A，B，C

的对应点）；

（2）在

△ABC内部一点

M

的坐标为

(a,b)，经过位似变换后对应点

M1的坐标为__________；

（3）计算

△A1B1C1的面积。20.（本小题满分8分）济南有众多旅游景区，皆是华夏文明的璀璨坐标。正面分别印有“趵突泉”“大明湖”“千佛山”“灵岩寺”的四张卡片如图所示，它们除正面外完全相同，把这四张卡片背面朝上洗匀。

（1）若从中随机抽取一张，抽到的卡片上的景区为“趵突泉”的概率是__________；

（2）若从中随机抽取一张，放回洗匀后，再从中随机抽取一张，请用列表或画树状图的方法，求两次抽取的卡片正面恰好是同一景区的概率。21.（本小题满分9分）如图，在平面直角坐标系中，点

O

为坐标原点，抛物线

y=ax2−2x−3a

经过点

(2,−5)，且与

x

轴交于点

A，B，与

y

轴正半轴交于点

C。

（1）求抛物线的解析式；

（2）求

△ABC的面积。22.（本小题满分10分）小欣和小明在学习了利用相似三角形测高之后分别测量两个旗杆的高度。

（1）如图①所示，小欣采用镜面反射法，将镜子放在地面点

C

处，此时小欣恰好能从镜子中看到旗杆顶端

E。已知小欣眼睛

A

到地面的距离

AB=1.6m，且

AB⊥BC，旗杆

ED⊥BC。BC=0.8m，CD=5m，求旗杆

ED

的高度；

（2）如图②所示，小明利用自制的直角三角形硬纸板

DEF来测量旗杆

AB的高度，他通过调整测量位置，使直角边

DE与地面

BC保持平行，并使斜边

DF与旗杆顶点

A

在同一直线上。已知

DE=0.8m，EF=0.4m，目测点

D

到地面的距离

DC=1.7m，到旗杆的水平距离

DG=16.8m。求旗杆

AB的高度。23.（本小题满分10分）2026年马年春晚晚上，四骏吉祥物惊艳亮相——骐骥、骊骊、驰驰、骋骋，每匹都承载着深厚的文化基因。某商场销售该系列吉祥物玩具，成本价为每件20元。经市场调研，销售量

yy（件）与销售单价

xx（元）满足关系：y=−x+90，设销售这种商品每天的利润为

w（元）。（利润=单件利润×销售量）

（1）填空：单件利润=__________元（用含

x

的代数式表示），w

与

x

之间的函数关系式为__________；（写出最简结果）

（2）该商场要想通过销售这种商品每天获利1200元，又确保顾客得到实惠，应将销售单价定为多少元？

（3）当销售单价定为多少元时，每天获得的利润最大？最大利润是多少元？24.（本小题满分12分）如图1，抛物线

y=ax2+bx+3与

x

轴交于

A，B

两点，与

y

轴交于点

C，顶点为

D。且点

A

的坐标为

(−1,0)，B

的坐标为

(3,0)，点

E

为抛物线上一点，且横坐标为

m。

（1）求抛物线的解析式及点

D

坐标；

（2）连接

CD，当

∠CDE=90∘时，求点

E

坐标；

（3）如图2，过点

E

作

EH⊥x轴交于点

H，以

EH，HA

为边作矩形

EFAH，若边

EF

交

y

轴于点

G，当四边形

EFAH为正方形时，连接OE，将线段

OE

绕着点

O

逆时针旋转

90∘

得到

OE′，求点

E′

坐标。25.（本小题满分12分）

【问题发现】

（1）如图1，在正方形

ABCD中，点

E

是对角线

AC

上一点，过点

E

作

EF⊥AC

交

AB

于点

FF，连接

CF，DE。

①

AFAE的值是__________；

②线段

CF与

DE的数量关系是__________；

【初步探究】

（2）在（1）的条件下，将等腰

Rt△AEF绕点

A

顺时针旋转

α∘（45°<α<90°），分别写出：线段

CF与

DE的数量关系和直线

DE

与

CF

所夹锐角的度数，并说明理由；

【拓展迁移】

（3）如图3，正方形

CDEF

的边长为2，等腰

Rt△ABC中，∠BAC=90∘，AB=AC=22答案一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。每小题只有一个选项符合题目要求。1.如图是一个电风扇的旋钮开关，其俯视图为（D）

2.如图，若

△ABC∽△DEF，∠A=40∘，∠C=90∘，则

∠E的度数为（C）A.

30∘

B.

40∘

C.

50∘

D.

70∘3.一个不透明的盒子中装有30个除颜色不同外其他都相同的乒乓球，将其摇匀，从中随机摸出一个乒乓球并记录颜色，记录后放回。通过多次重复试验后发现摸到黄球的频率为0.30，估计盒子中黄球的个数为（C）

A.4B.6C.9D.124.在平面直角坐标系中，将函数

y=(x−1)2+2的图象向下平移3个单位长度，所得抛物线对应的函数表达式为（A）

A.

y=(x−1)2−1

B.

y=(x−4)2+2C.

y=(x−1)2+5

D.

y=(x+2)2+25.如图，线段

CD

两个端点的坐标分别为

C(2,2)，D(3,1)，以原点

O

为位似中心，在第一象限内将线段扩大为原来的2倍得到线段

AB，则端点

A

和

B

的坐标分别为（C）A.

(4,4),(6,4)B.

(4,8),(6,2)C.

(4,4),(6,2)

D.

(6,2),(4,4)6.二次函数

y=x2−2x−1图象的顶点坐标是（D）

A.

(−1,1)

B.

(−1,2)C.

(1,−1)

D.

(1,−2)7.小孔成像是光在均匀介质中沿直线传播形成的一种物理现象。图1是小孔成像实验图，抽象为数学模型如图2所示。已知

AC

与

BD

交于点

O，AB∥CD。若点

O

到

AB

的距离为

10cm，点

O

到

CD

的距离为

15cm，蜡烛火焰

AB

的高度是

4cm，则蜡烛火焰倒立的像

CD

的高度是（B）A.

83cmB.

6cm

C.

7cmD.

8cm8.已知一次函数

y=ax+b(a≠0)的图象经过第一、二、四象限，则二次函数

y=ax2+bx(a≠0)的图象大致为（A）B.C.D.9.如图，点

M

是

△ABC内一点，过点

M

分别作直线平行于

△ABC的各边，所形成的三个阴影小三角形的面积

S1，S2，S3分别是1，4和25，则

△ABC

的面积是(B)A.49B.64C.72D.8110.如图，二次函数

y=ax2+bx+c(a≠0)

的图象过点

(−2,0)，对称轴为直线

x=1。有以下结论：①

abc>0；②

4a+2b+c>0；③

a+b≤m(am+b)（m

为任意实数）；④

A(x1,m)，B(x2,m)是抛物线上的两点，当

x=x1+x2时，y=c；⑤若方程

a(x+2)(4−x)=−1的两根为

x1，x2，且

x1<x2，则

2<x1<x2<4。其中正确结论的个数有(B)A.2个B.3个C.4个D.5个第Ⅱ卷（非选择题共110分）二、填空题：本题共5小题，每小题4分，共20分。直接填写答案。11.如果

mn=23，则m+nn=12.已知

△ABC∽△DEF，相似比为

3:5，且

△ABC的周长为

15cm，则

△DEF的周长为25cm。13.已知方程

x2−7x−18=0的两根是

9，−2，则抛物线

y=x2−7x−18与

x

轴的两个交点间的距离为11。14.掷实心球是中学生体质健康监测中的项目，佳佳同学掷实心球时，实心球沿抛物线

y=a(x−3)2+2运行，其中

x

是实心球离初始位置的水平距离，y

是实心球离地面的高度。若实心球抛出时离地面的高度

OA

为

1.5m，则实心球掷出的水平距离

OB

为9m。15.如图是一张矩形纸片

ABCD，AB=5，点

E

是

AD

的中点，把该纸片沿

EF

折叠，点

C，D的对应点分别为点

M，N，EN的延长线经过点

B，MN与

BC

相交于点

G。若

BG:GF=2:3，则

AD

的长为2566三、解答题：本题共10小题，共90分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。16.（本小题满分7分）已知

a3=b解：方法一：∵

a3=b∴

设

a3=b2=k，

则

a=3k，b=2k，3分

∵2a+b=8，解得k=1，6分

∴b=2×1=2，7分方法二：∵

a3=b2≠0

∴2a=3b，则

a=32，3分

∴b=2，7分17.（本小题满分7分）如图，点

D，E

分别在边

AB，AC

上，∠AED=∠B。

（1）证明：△ABC∽△AED；

（2）若

AD=4，AE=6，AC=12，求

AB

的长。解：（1）∵∠AED=∠B，∠DAE=∠CAB，2分

∴△ABC∽△AED；3分

（2）∵△ABC∽△AED，

∴ABAE=ACAD，5分

∵AC=12，AD=4，AE=618.（本小题满分7分）已知二次函数

y=3x2+1，请回答下列问题。

（1）观察下面四幅图，在平面直角坐标系中，函数

y=3x2+1对应的图象是图__________；（填序号）

（2）图象的对称轴是__________，顶点坐标是__________。解：（1）③3分

（2）y轴（或写：直线

x=0），5分

(0,1)(0,1)

7分19.（本小题满分8分）如图，在平面直角坐标系中，点

O

为原点，A(−1,0)，B(−2,−1)，C(0,−3)。

（1）以原点

O

为位似中心，相似比为2，将

△ABC在位似中心的异侧进行放大得到

△A1B1C1，请在下图中作出

△A1B1C1（点

A1，B1，C1

分别为点

A，B，C

的对应点）；

（2）在

△ABC内部一点

M

的坐标为

(a,b)，经过位似变换后对应点

M1的坐标为__________；

（3）计算

△A1B1C1的面积。解：如图，以原点

O

为位似中心，相似比为2，△A1B1C1为所求作三角形；

3分

（2）(−2a,−2b)6分

（3）△A1B1C1的面积为：6×4−12×2×6−12×2×2−20.（本小题满分8分）济南有众多旅游景区，皆是华夏文明的璀璨坐标。正面分别印有“趵突泉”“大明湖”“千佛山”“灵岩寺”的四张卡片如图所示，它们除正面外完全相同，把这四张卡片背面朝上洗匀。

（1）若从中随机抽取一张，抽到的卡片上的景区为“趵突泉”的概率是__________；

（2）若从中随机抽取一张，放回洗匀后，再从中随机抽取一张，请用列表或画树状图的方法，求两次抽取的卡片正面恰好是同一景区的概率。解：（1）14；2分

（新老列表法均可以）6分

由图可知，共有16种等可能的结果，其中抽取的卡片恰好正面相同的情况有4种，所以两次抽取的卡片恰好正面相同的概率

P=416=121.（本小题满分9分）如图，在平面直角坐标系中，点

O

为坐标原点，抛物线

y=ax2−2x−3a

经过点

(2,−5)，且与

x

轴交于点

A，B，与

y

轴正半轴交于点

C。

（1）求抛物线的解析式；

（2）求

△ABC的面积。解：（1）∵

抛物线

y=ax2−2x−3a经过点

(2,−5)，

将点

(2,−5)代入

y=ax2−2x−3a中，得

4a−4−3a=−5，

解得

a=−1，3分

∴y=−x2−2x+3；4分

（2）当

x=0时，y=3，则

C(0,3)，∴OC=3，

令

y=0，由

−x2−2x+3=0得

x1=1，x2=−3，

∴B(1,0)，A(−3,0)，7分

∴AB=1−(−3)=4，

∴S△ABC=12AB·OC=122.（本小题满分10分）小欣和小明在学习了利用相似三角形测高之后分别测量两个旗杆的高度。

（1）如图①所示，小欣采用镜面反射法，将镜子放在地面点

C

处，此时小欣恰好能从镜子中看到旗杆顶端

E。已知小欣眼睛

A

到地面的距离

AB=1.6m，且

AB⊥BC，旗杆

ED⊥BC。BC=0.8m，CD=5m，求旗杆

ED

的高度；

（2）如图②所示，小明利用自制的直角三角形硬纸板

DEF来测量旗杆

AB的高度，他通过调整测量位置，使直角边

DE与地面

BC保持平行，并使斜边

DF与旗杆顶点

A

在同一直线上。已知

DE=0.8m，EF=0.4m，目测点

D

到地面的距离

DC=1.7m，到旗杆的水平距离

DG=16.8m。求旗杆

AB的高度。解：（1）根据光的反射的性质，∠ACB=∠ECD，

又

∵∠ABC=∠EDC，

∴△ABC∽△EDC，

∴BCCD=ABDE，3分

将

AB=1.6m，BC=0.8m，CD=5m，代入上式，

得

0.85=1.6DE，

解得

DE=10m，

故旗杆

ED

的高度为

10m；5分

（2）由题意可知

∠CDG=∠B=∠C=90∘，

∴

四边形

BCDG为矩形，

∵

目测点

D

到地面的距离

DC

为

1.7m，

∴BG=CD=1.7m，6分

∵∠ADG=∠FDE，∠AGD=∠FED=90∘，

∴△DGA∽△DEF，8分

∴AGEF=DGDE，

∵DE=0.8m，EF=0.4m，DG=16.8m

∴AG0.4=16.823.（本小题满分10分）2026年马年春晚晚上，四骏吉祥物惊艳亮相——骐骥、骊骊、驰驰、骋骋，每匹都承载着深厚的文化基因。某商场销售该系列吉祥物玩具，成本价为每件20元。经市场调研，销售量

yy（件）与销售单价

xx（元）满足关系：y=−x+90，设销售这种商品每天的利润为

w（元）。（利润=单件利润×销售量）

（1）填空：单件利润=__________元（用含

x

的代数式表示），w

与

x

之间的函数关系式为__________；（写出最简结果）

（2）该商场要想通过销售这种商品每天获利1200元，又确保顾客得到实惠，应将销售单价定为多少元？

（3）当销售单价定为多少元时，每天获得的利润最大？最大利润是多少元？（1）解：(x−20)，2分

w=−x2+110x−1800；（必须最简形式）4分

（2）令

w=1200，得：1200=−x2+110x−1800，

解得

x1=50，x2=60，

∵

确保顾客得到实惠，

∴x=50，

答：应将销售单价定为

50

元。7分

（3）w=−x2+110x−1800

=−(x−55)2+1225。

∵x>20且

−x+90>0，

∴20<x<90

又

∵−1<0，

∴

当

x=55时，利润

w

取最大值，最大值为

1225。10分

答：此时的销售单价应定为

55

元，利润最大，最大利润为

1225元。24.（本小题满分12分）如图1，抛物线

y=ax2+bx+3与

x

轴交于

A，B

两点，与

y

轴交于点

C，顶点为

D。且点

A

的坐标为

(−1,0)，B

的坐标为

(3,0)，点

E

为抛物线上一点，且横坐标为

m。

（1）求抛物线的解析式及点

D

坐标；

（2）连接

CD，当

∠CDE=90∘时，求点

E

坐标；

（3）如图2，过点

E

作

EH⊥x轴交于点

H，以

EH，HA

为边作矩形

EFAH，若边

EF

交

y

轴于点

G，当四边形

EFAH为正方形时，连接OE，将线段

OE

绕着点

O

逆时针旋转

90∘

得到

OE′，求点

E′

坐标。解：（1）∵

将

A(−1,0)，B(3,0)代入抛物线

y=ax2−2ax+3得，

∴a−b+3=09a+3b+3=0

2分

解得：a=−1b=2

∴抛物线解析式为

y=−x2+2x+3，3分

∵y=−x2+2x+3=−(x2−2x−3)=−(x−1)2+4，

D(1,4)；4分

（2）如图，

由抛物线解析式

y=−x2+2x+3

可知，点

C(0,3)

设直线

CD

的解析式为

y=kx+3，将点

D(1,4)

坐标代入可得：

4=k+3，解得

k=1，

∴∴

直线

CD

的解析式为

y=x+3，

设直线

DE

的解析式为

y=mx+n，

∵∠CDE=90∘，

∴m=−1，

∴DE

的解析式为

y=−x+n，

将点

D(