2026-2027学年甘肃省嘉峪关市酒钢三中高一上学期开学考试数学试卷（含解析）

/数学第Ⅰ卷（选择题）一、单选题（每题5分，共40分）1.某市某天的最高气温为，最低气温为，那么这天的最高气温比最低气温高（）A. B.C. D.2.某班有21名学生参加数学竞赛，17名学生参加物理竞赛，10名学生参加化学竞赛，他们之中既参加数学竞赛又参加物理竞赛的有12人，既参加数学竞赛又参加化学竞赛的有6人，既参加物理竞赛又参加化学竞赛的有5人，三科都参加的有2人．现在参加竞赛的学生都要到外地学习参观，则需要预订多少张火车票（）A.29 B.27 C.26 D.283.将一副三角板按如图所示的方式摆放，点D在边AC上，，则的大小为（）A. B.C. D.4.已知集合，，则（）A. B.C. D.5.命题“，”的否定是（）A.， B.，C.， D.，6.下列计算：①；②；③；④；⑤．其中运算结果正确的个数是（）A.1 B.2 C.3 D.47.已知集合A＝{1，a}，B＝{1，2，3}，则“a＝3”是“A⊆B”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件8.已知二次函数，图象向右平移3个单位长度后经过原点，且当时，的最大值为2，则的值为（）A. B.C.或 D.或二、多选题（每题6分，共18分）9.下列命题正确的是（）A.，，B.梯形的对角线不相等C.自然数集N中最小的数是0D.空集是任何集合的真子集10.(多选)下列“若p，则q”形式的命题中，p是q的必要条件的有（）A.若x，y是偶数，则x＋y是偶数 B.若a＜2，则方程x2－2x＋a＝0有实根C.若四边形的对角线互相垂直，则这个四边形是菱形 D.若ab＝0，则a＝011.甲乙两人骑自行车分别从，两地同时出发相向而行，甲匀速骑行到地，乙匀速骑行到地，甲的速度大于乙的速度，两人分别到达目的地后停止骑行．两人之间的距离（米）和骑行的时间（秒）之间的函数关系图象如图所示，现给出下列结论：①；②；③甲的速度为10米/秒；④当甲、乙相距50米时，甲出发了55秒或65秒．其中正确的结论有（）A.① B.② C.③ D.④三、填空题（每题5分，共20分）12.因式分解：________．13.设，是关于的一元二次方程的两个实数根，且，则的值为________．14.已知集合，，则________．15.如下图，在边长为4的正方形中，是边上一点，且，过点作分别交于点，，，若为上任意一点，则的最小值为______．四、解答题16.已知集合，.（1）当时，求，；；；（2）若“”是“”成立的必要不充分条件，求实数的取值范围．17.某校在八年级开展了以“争创文明城市，建设文明校园”为主题的系列艺术展示活动，活动项目有“绘画展示”“书法展示”“文艺表演”“即兴演讲”四组（依次记为A，B，C，D）．学校要求八年级全体学生必须参加且只能参加其中的一个项目，为了解八年级学生对这几项活动的喜爱程度，随机抽取了部分八年级学生进行调查，并将调查的结果绘制成两幅不完整的统计图．根据以上信息，解答下列问题：（1）本次一共抽样调查了____名学生；（2）将条形统计图补充完整；（3）若该校八年级共有600名学生，请估计该校八年级学生选择“文艺表演”的人数；（4）学校从这四个项目中随机抽取两项参加“全市中学生才艺展示活动”．用列表法或画树状图法求出恰好抽到“绘画展示”和“书法展示”的概率．18.（1）已知集合，集合，是否存在实数使得，若存在，求出实数的取值范围；若不存在，请说明理由．（2）若（1）中的条件不变，是否存在实数使得，若存在，求实数的取值范围；若不存在，请说明理由．（3）若（1）中的条件“”改为“且”，其他条件不变，求实数的取值范围．（4）若（1）中条件不变，命题“，使得”为真命题，求实数的取值范围．19.如图，抛物线与轴交于点，点（点在点左侧），与轴交于点，连接，点为线段上一个动点（不与点，重合），过点作轴交抛物线于点．（1）直接写出点和点的坐标；（2）设的横坐标为，请用含的式子表示线段的长，并求出线段的最大值；（3）已知点是抛物线对称轴上的一个点，点是平面直角坐标系内一点，当线段取得最大值时，是否存在这样的点，，使得四边形是菱形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．

数学第Ⅰ卷（选择题）一、单选题（每题5分，共40分）1.某市某天的最高气温为，最低气温为，那么这天的最高气温比最低气温高（）A. B.C. D.答案：C解析：解答过程：由题意可得，这天的最高气温比最低气温高．2.某班有21名学生参加数学竞赛，17名学生参加物理竞赛，10名学生参加化学竞赛，他们之中既参加数学竞赛又参加物理竞赛的有12人，既参加数学竞赛又参加化学竞赛的有6人，既参加物理竞赛又参加化学竞赛的有5人，三科都参加的有2人．现在参加竞赛的学生都要到外地学习参观，则需要预订多少张火车票（）A.29 B.27 C.26 D.28答案：B解析：思路：由题意得，根据Venn图求出参加数理化的人数，即可求出需要预订多少张火车票.解答过程：该班学生参加竞赛情况如图所示，集合A，B，C，D，E，F，G中的任意两个集合无公共元素，其中G表示三科都参加的学生集合，G中的学生数为2．因为既参加数学竞赛又参加物理竞赛的有12人，所以D中的学生数为，同理，得E中的学生数为，F中的学生数为．又因为参加数学、物理、化学竞赛的人数分别为21，17，10，所以A中的学生数为，B中的学生数为，C中的学生数为，故置预订火车票的张数为．故选：B.3.将一副三角板按如图所示的方式摆放，点D在边AC上，，则的大小为（）A. B.C. D.答案：C解析：思路：由平行得，结合四边形内角和为即可求解.解答过程：设交于点，由题意得，由得，所以，则.4.已知集合，，则（）A. B.C. D.答案：B解析：解答过程.5.命题“，”的否定是（）A.， B.，C.， D.，答案：B解析：思路：利用全称量词命题的否定可得出结论.解答过程：命题“，”为全称量词命题，该命题的否定为：，.故选：B.6.下列计算：①；②；③；④；⑤．其中运算结果正确的个数是（）A.1 B.2 C.3 D.4答案：A解析：思路：依次根据算术平方根、立方根的定义以及整式的运算法则逐一判断各运算的正误，统计正确的个数即可得到答案.解答过程：对于①项，算术平方根的运算结果为非负数，因此，故①运算错误；对于②

项，与所含字母相同但相同字母的指数不同，不属于同类项，无法合并，故②运算错误；对于③项，根据积的乘方、幂的乘方运算法则：，故③运算错误；对于④项，根据同底数幂的除法运算法则：，故④运算错误；对于⑤项，根据立方根的定义，负数的立方根为负数，因此，故⑤运算正确.综上，运算结果正确的仅有⑤，共1个.7.已知集合A＝{1，a}，B＝{1，2，3}，则“a＝3”是“A⊆B”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件答案：A解析：思路：根据充分条件、必要条件的概念结合集合间的关系可得结果.解答过程：a＝3时，A＝{1，3}，A⊆B，即充分性成立；当A⊆B时，a＝2或3，即必要性不成立；故选：A.8.已知二次函数，图象向右平移3个单位长度后经过原点，且当时，的最大值为2，则的值为（）A. B.C.或 D.或答案：D解析：思路：根据给定条件求出的关系，再利用二次函数图象性质按分类求解.解答过程：由二次函数的图象向右平移3个单位长度，得的图象，依题意，的图象过原点，则，解得，因此二次函数为，该函数图象对称轴为，而当时，的最大值为2，则当时，，，解得，符合题意；当时，，，解得，符合题意，所以的值为或.二、多选题（每题6分，共18分）9.下列命题正确的是（）A.，，B.梯形的对角线不相等C.自然数集N中最小的数是0D.空集是任何集合的真子集答案：AC解析：思路：配方得到A正确；举反例得到B错误；由自然数的概念得到C正确；由空集的概念判断D错误；解答过程：对于A，，所以时等号成立，故A正确；对于B，等腰梯形的对角线相等，故B错误；对于C，由自然数的概念可知自然数集N中最小的数是0，故C正确；对于D，空集是任何非空集合的真子集，故D错误；故选：AC.10.(多选)下列“若p，则q”形式的命题中，p是q的必要条件的有（）A.若x，y是偶数，则x＋y是偶数 B.若a＜2，则方程x2－2x＋a＝0有实根C.若四边形的对角线互相垂直，则这个四边形是菱形 D.若ab＝0，则a＝0答案：BCD解析：思路：根据必要条件的定义逐一判断即可.解答过程：A：x＋y是偶数不一定能推出x，y是偶数，因为x，y可以是奇数，不符合题意；B：当方程x2－2x＋a＝0有实根时，则有，显然能推出a＜2，符合题意；C：因为菱形对角线互相垂直，所以由四边形是菱形能推出四边形的对角线互相垂直，符合题意；D：显然由a＝0推出ab＝0，所以符合题意，故选：BCD11.甲乙两人骑自行车分别从，两地同时出发相向而行，甲匀速骑行到地，乙匀速骑行到地，甲的速度大于乙的速度，两人分别到达目的地后停止骑行．两人之间的距离（米）和骑行的时间（秒）之间的函数关系图象如图所示，现给出下列结论：①；②；③甲的速度为10米/秒；④当甲、乙相距50米时，甲出发了55秒或65秒．其中正确的结论有（）A.① B.② C.③ D.④答案：BD解析：思路：通过图象上的关键转折点依次求出两人的速度和与各自的实际速度，再以此为基础运用路程公式推导并验证剩余的时间与距离关系.解答过程：因为当秒时，两人相距600米，所以两地距离为600米，在秒时，两人相遇，所以两人速度之和为米/秒，因为甲的速度大于乙的速度，图象在处发生转折，说明此时速度较快的一方(甲)已经到达了地，所以米/秒，进而米/秒，故③错误，对于①，表示在时，甲乙两人之间的距离，两人在60秒相遇，随后背向而行，到第100秒时，两人共同远离的时间为秒，此时甲乙两人间的距离米，故①错误，对于②，表示乙到达目的地的时间，此时两人距离为600米，所以乙骑行600米所需的时间为秒，故②正确，对于④，设甲出发了秒，由题意得两人距离50米的情况有两种，相遇前距离50米:此时有，解得秒，相遇后距离50米，此时有，解得秒，故④正确.三、填空题（每题5分，共20分）12.因式分解：________．答案：解析：思路：先提取公因式3，再利用平方差公式对剩余多项式分解即可.解答过程.13.设，是关于的一元二次方程的两个实数根，且，则的值为________．答案：解析：思路：由根的判别式和韦达定理，结合题目条件进行求解解答过程：由题意得，解得，由韦达定理得，，，故，即，即，解得或4（舍去），故的值为14.已知集合，，则________．答案：解析：思路：集合、均为平面点集，求交集等价于联立两个对应的方程，求解公共解构成的集合.解答过程：集合是直线上所有点构成的集合，集合是反比例函数上所有点构成的集合，因此为两个图象公共点构成的集合，联立方程如下：，整理得，解得，，将代入，得；将代入，得，经检验，两组解均满足原方程组，因此直线和反比例函数图象的公共点为和，故.15.如下图，在边长为4的正方形中，是边上一点，且，过点作分别交于点，，，若为上任意一点，则的最小值为______．答案：解析：思路：在上取一点，使得，连接，设，进而求得，再结合三角形全等证明直线是线段的垂直平分线，将问题转化为求的最小值即可求得答案.解答过程：如图，在上取一点，使得，连接，设，又，即，所以，即，所以，又，所以，所以，所以又中，，，所以，即，因为正方形，，所以，即，所以，又，所以，在和中：，所以，所以，，又，所以直线是线段的垂直平分线，连接，所以，所以，连接，所以，当且仅当三点共线时，等号成立，在中，，，，所以的最小值为.四、解答题16.已知集合，.（1）当时，求，；；；（2）若“”是“”成立的必要不充分条件，求实数的取值范围．答案：（1），，或，（2）解析：（1）当时，，结合，则，，或，；（2）因为“”是“”成立的必要不充分条件，所以x∈B⟹x∈A且首先判断集合的空集情况：，其判别式，即恒成立，故对任意恒成立，即；要满足B⫋A，需满足不等式组：解第一个不等式得，解第二个不等式得，即或，取二者公共部分得，当时，，，此时，不符合题意，故实数的取值范围为.17.某校在八年级开展了以“争创文明城市，建设文明校园”为主题的系列艺术展示活动，活动项目有“绘画展示”“书法展示”“文艺表演”“即兴演讲”四组（依次记为A，B，C，D）．学校要求八年级全体学生必须参加且只能参加其中的一个项目，为了解八年级学生对这几项活动的喜爱程度，随机抽取了部分八年级学生进行调查，并将调查的结果绘制成两幅不完整的统计图．根据以上信息，解答下列问题：（1）本次一共抽样调查了____名学生；（2）将条形统计图补充完整；（3）若该校八年级共有600名学生，请估计该校八年级学生选择“文艺表演”的人数；（4）学校从这四个项目中随机抽取两项参加“全市中学生才艺展示活动”．用列表法或画树状图法求出恰好抽到“绘画展示”和“书法展示”的概率．答案：（1）（2）（3）（4）解析：思路：（1）利用组人数及所占比求出样本中总人数.（2）由（1）求出组人数，进而完善条形统计图.（3）求出样本中组人数所占比，进而求出该校八年级学生选择“文艺表演”的人数.（4）根据给定条件，列出表格或画出树状图，进而求出概率.（1）由条形统计图和扇形统计图知，组人数为12，占总人数的，所以本次一共抽样调查的学生人数为.（2）由条形统计图得组人数为：，因此条形统计图为：（3）样本中选择“文艺表演”，即组人数为5，占比，所以该校八年级学生选择“文艺表演”的人数约为.（4）“绘画展示”为，“书法展示”为，“文艺表演”为，“即兴演讲”为，列表如下：

画树状图如下：共有12种等可能的结果，其中恰好抽到“绘画展示”和“书法展示”的结果有：，共2种，所以恰好抽到“绘画展示”和“书法展示”的概率为.18.（1）已知集合，集合，是否存在实数使得，若存在，求出实数的取值范围；若不存在，请说明理由．（2）若（1）中的条件不变，是否存在实数使得，若存在，求实数的取值范围；若不存在，请说明理由．（3）若（1）中的条件“”改为“且”，其他条件不变，求实数的取值范围．（4）若（1）中条件不变，命题“，使得”为真命题，求实数的取值范围．答案：（1）不存在，理由如下：假设存在实数使得，因为集合，集合，所以，解得，显然无解，所以不存在实数使得（2）存在，；