2026-2027学年甘肃省武威市天祝藏族自治县第一中学高一上学期开学分班考试数学试卷（含解析）

/数学一、选择题：本题共8小题，每小题4分，共32分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.集合用列举法表示为（）A. B. C. D.2.命题“”的否定是（）A. B.C. D.3.若分式的值为，则的值为（）A.和 B. C. D.和4.下列命题中，错误的是（）A.三角形重心是三条中线交点B.三角形外心到各顶点距离相等C.三角形内心到各边距离相等D.等腰三角形重心、内心、外心重合5.“是钝角三角形”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件6.关于的一元二次方程没有实数根，则抛物线的顶点在（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限7.若“”为真命题，“”为假命题，则集合可以是（）A. B. C. D.8.如图是二次函数的图象的一部分，其对称轴是直线，与轴的一个交点是，则不等式的解集是（）A.或B.C.D.二、选择题：本题共3小题，每小题5分，共15分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.已知集合，则下列说法正确的有（）A. B.C.中有5个元素 D.集合有个子集10.下列说法正确的是（）A.若，则B.若，则C.若，则D.若，则11.已知集合有且仅有两个子集，则下列说法正确的是（）A.B.的解集是空集C.若不等式的解集为，则D.若不等式的解集为，且，则三、填空题：本题共3小题，每小题4分，共12分．12.因式分解：_________．13.已知，，则_________．14.如图，已知的周长是，点为三角形内心，连接、，于点，且，则的面积是_________．四、解答题：本题共5小题，共61分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．15.解下列方程：（1）；（2）．16.射影定理：如图①，在中，，如果，垂足为，那么有下列结论：①；②；③．（1）请你证明射影定理中的结论③，即．（2）【结论运用】请直接使用射影定理解决下面的问题．如图②，在正方形中，是对角线、的交点，点在边上，过点作，垂足为，连接．求证：．17.（1）已知．试求的取值范围；（2）比较代数式与的大小．18.已知集合，，.（1）若是“”的充分条件，求实数a的取值范围.（2）若，求实数a的取值范围.19.如图，在平面直角坐标系中，抛物线的图象与轴交于，两点，与轴交于点，对称轴为，与轴交于点．（1）求抛物线的函数表达式；（2）直线与轴交于点，与抛物线交于点，（点在轴左侧，点在轴右侧），连接，，若的面积为，求，两点的坐标；（3）在（2）的条件下，连接交于点，在对称轴上是否存在一点，连接，将线段绕点顺时针旋转，使点恰好落在抛物线上？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．

数学一、选择题：本题共8小题，每小题4分，共32分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.集合用列举法表示为（）A. B. C. D.答案：D解析：思路：先把的范围表示出来，再结合列举出元素即可.解答过程：易知，所以列举法可以表示为．故选：D2.命题“”的否定是（）A. B.C. D.答案：A解析：思路：由存在量词命题的否定结构即可求解.解答过程：“”的否定是，故选：A3.若分式的值为，则的值为（）A.和 B. C. D.和答案：C解析：思路：根据分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零即可求解．解答过程：由的值为，则，即，解得．所以的值为．4.下列命题中，错误的是（）A.三角形重心是三条中线交点B.三角形外心到各顶点距离相等C.三角形内心到各边距离相等D.等腰三角形重心、内心、外心重合答案：D解析：思路：根据三角形的重心、外心、内心的定义即可得到答案．解答过程：对于A，三角形的重心是三条中线的交点，故A正确；对于B，三角形的外心是三边垂直平分线的交点，到各顶点的距离相等，故B正确；对于C，三角形的内心是三条角平分线的交点，到各边的距离相等，故C正确；对于D，等边三角形的重心、内心和外心才重合，故D错误．5.“是钝角三角形”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件答案：B解析：解答过程：若是钝角三角形，可得角中有一个是钝角，不能推出，所以“是钝角三角形”是“”的不充分条件；若，则是钝角三角形，所以“是钝角三角形”是“”的必要条件；所以“是钝角三角形”是“”的必要不充分条件.6.关于的一元二次方程没有实数根，则抛物线的顶点在（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限答案：B解析：思路：由判别式求得参数范围，再确定顶点坐标的正负可得.解答过程：由题意，，抛物线的顶点坐标是，显然，因此顶点在第二象限.7.若“”为真命题，“”为假命题，则集合可以是（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：根据题意，由“”为真命题可排除A，由“”为假命题可排除BD，即可得到结果.解答过程：若“”为真命题，则A错误，又“”为假命题，则“”为真命题，则B,D错误，则集合可以是.故选：C8.如图是二次函数的图象的一部分，其对称轴是直线，与轴的一个交点是，则不等式的解集是（）A.或B.C.D.答案：A解析：解答过程：因为二次函数的对称轴是直线，与轴的一个交点是，由对称性可知二次函数与轴的一个交点是，由图象可知不等式的解集是或.二、选择题：本题共3小题，每小题5分，共15分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.已知集合，则下列说法正确的有（）A. B.C.中有5个元素 D.集合有个子集答案：AD解析：思路：先解不等式求出集合，再利用集合的表示方法、元素与集合的关系、集合间的关系及集合中元素的个数，逐一分析判断各选项．解答过程：，选项A：，，故A正确；选项B：，，故B错误；选项C：，集合中有4个元素，故C错误；选项D：中有4个元素，有个子集，故D正确．故选：．10.下列说法正确的是（）A.若，则B.若，则C.若，则D.若，则答案：AD解析：思路：根据不等式的性质即可判断A，举反例即可求解BC，作差法即可判断D.解答过程：因为，所以，所以，故A正确；当时，，故B错误；当时，，故C错误；，又，所以，即，故D正确.故选:AD.11.已知集合有且仅有两个子集，则下列说法正确的是（）A.B.的解集是空集C.若不等式的解集为，则D.若不等式的解集为，且，则答案：AB解析：思路：由题意可得，由消元法和二次函数的性质计算可得A；判断一元二次不等式的解集可得B；结合韦达定理计算即可得CD.解答过程：由于集合有且仅有两个子集，所以方程只有一个实数解，所以，即，由于，所以．对于A，，当时等号成立，故A正确；对于B，，即，该不等式解集是空集，B正确；对于C，不等式的解集为，所以，故C错误；对于D，不等式的解集为，即不等式的解集为，则，，且，所以，所以，故D错误．故选：AB．三、填空题：本题共3小题，每小题4分，共12分．12.因式分解：_________．答案：解析：解答过程.13.已知，，则_________．答案：7解析：解答过程：由，得，即，所以.14.如图，已知的周长是，点为三角形内心，连接、，于点，且，则的面积是_________．答案：解析：解答过程：由题意可知：的内切圆半径为，所以的面积是.四、解答题：本题共5小题，共61分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．15.解下列方程：（1）；（2）．答案：（1）（2）解析：思路：（1）去分母转化为一元一次方程，进而求解即可；（2）两边平方，可转化为一元一次方程，进而求解即可.（1）已知，整理可得，去分母，得，，去括号，得，移项、合并同类项，得，系数化为1，得，经检验，分母，则是原分式方程的根．故原分式方程的解是；（2）两边平方得，整理得，解得，检验当时，，，即是方程的解．16.射影定理：如图①，在中，，如果，垂足为，那么有下列结论：①；②；③．（1）请你证明射影定理中的结论③，即．（2）【结论运用】请直接使用射影定理解决下面的问题．如图②，在正方形中，是对角线、的交点，点在边上，过点作，垂足为，连接．求证：．答案：（1），，，，，，．（2）四边形是正方形，且，．，，，，，，，．解析：（1）略（2）略17.（1）已知．试求的取值范围；（2）比较代数式与的大小．答案：（1）；（2）解析：思路：（1）由不等式的性质可得；（2）作差配方可得.解答过程：（1）由可知，所以，所以；（2），所以．18.已知集合，，.（1）若是“”的充分条件，求实数a的取值范围.（2）若，求实数a的取值范围.答案：（1）（2）解析：思路：（1）解不等式得到集合，根据是的充分条件列不等式求解即可；（2）根据交集的定义得到，然后根据集合的包含关系列不等式求解即可.（1）因为，所以.因为是的充分条件，所以，解得，.（2）因为，，所以，解得.故a的取值范围为.19.如图，在平面直角坐标系中，抛物线的图象与轴交于，两点，与轴交于点，对称轴为，与轴交于点．（1）求抛物线的函数表达式；（2）直线与轴交于点，与抛物线交于点，（点在轴左侧，点在轴右侧），连接，，若的面积为，求，两点的坐标；（3）在（2）的条件下，连接交于点，在对称轴上是否存在一点，连接，将线段绕点顺时针旋转，使点恰好落在抛物线上？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．答案：（1）（2），；（3）存在，的坐标为．解析：思路：（1）利用抛物线对称轴求另一个零点，用交点式快速求；（2）三角形面积用轴上线段作底，韦达定理处理两根之差，避免解复杂根式；（3）旋转，作水平竖直线构造型全等，把旋转后点坐标参数化，代入抛物线列方程.（1）因为抛物线的对称轴为直线，，所以点，则抛物线的表达式为，把代入，则，解得，故抛物线的