2026-2027学年湖南省长沙市望城区第二中学高一上学期9月月考数学试卷（含解析）

/数学一、单选题(共8小题，共40分)1.命题“”的否定是（

）A. B.C. D.2.若不等式，，则的取值范围是A. B. C. D.3.设集合，，若，则（）．A.2 B.1 C. D.4.已知，则（）A. B.C. D.5.已知命题；命题，则（）A.和都是真命题 B.和都是真命题C.和都是真命题 D.和都是真命题6.命题为真命题的一个充分不必要条件是（）A. B.C. D.7.某班学生进行了三次数学测试，第一次有8名学生得满分，第二次有10名学生得满分，第三次有12名学生得满分，已知前两次均为满分的学生有5名，三次测试中至少有一次得满分的学生有15名.若后两次均为满分的学生至多有名，则的值为A.7 B.8 C.9 D.108.已知x，y，z为正实数，则的最大值为A.1 B.2 C. D.二、多选题(共3小题，共18分)9.下列命题中，是真命题的是（）A.且是的充分条件 B.“”是“”的充分不必要条件C.命题“，”的否定是“，” D.的充要条件是10.若集合，，则（）A. B. C. D.11.已知，关于的不等式的解集为，则下列结论正确的是（）A. B.的最大值为C.的最小值为4 D.的最小值为三、填空题(共3小题，共15分)12.已知集合，集合.若，则实数______.13.已知，，若，则实数的取值范围为__________．14.设，对任意，恒成立，则实数的取值范围是______.四、解答题(共5小题，共77分)15.设命题，使得不等式恒成立；命题，不等式成立．（1）若为真命题，求实数的取值范围；（2）若命题、有且只有一个是真命题，求实数的取值范围．16.（1）若，求的最大值．（2）已知，求的最大值．17.某厂家拟在2025年举行某产品的促销活动，经调查测算，该产品的年销售量（即该厂的年产量）x万件与年促销费用m万元（）满足（k为常数），如果不搞促销活动，那么该产品的年销售量只能是3万件.已知生产该产品的固定投入为9万元，每生产1万件该产品需要再投入18万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本（此处每件产品年平均成本按元来计算）的1.5倍.（1）将2025年该产品的利润y万元表示为年促销费用m万元的函数；（2）该厂家2025年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？最大利润是多少？18.已知关于的不等式的解集为，不等式的解集为.（1）若，求的值；（2）若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围.19.设全集，集合A是U的真子集．设正整数，若集合A满足如下三个性质，则称A为U的子集：①；②，若，则；③，若，则．（1）当时，判断是否为U的子集，说明理由；（2）当时，若A为U的子集，求证：；（3）当时，若A为U的子集，求集合A．

数学一、单选题(共8小题，共40分)1.命题“”的否定是（

）A. B.C. D.答案：A解析：思路：直接根据全称量词命题的否定是存在量词命题即可求解.解答过程：命题“”的否定是“”.故选：A2.若不等式，，则的取值范围是A. B. C. D.答案：B解析：解答过程：分析：用变量替换，再得出解集详解：点睛：不等式只能线性运算,．3.设集合，，若，则（）．A.2 B.1 C. D.答案：B解析：思路：根据包含关系分和两种情况讨论，运算求解即可.解答过程：因为，则有：若，解得，此时，，不符合题意；若，解得，此时，，符合题意；综上所述.故选：B.4.已知，则（）A. B.C. D.答案：C解析：思路：利用不等式性质进行分析求解.解答过程：由题干可知，对于选项A，两边同时乘，当时，所以.选项A错误.由题干可知，对于选项B，两边同时乘，当时，所以.选项B错误.由题干，选项C，两边同时乘，则可知成立，选项C正确.由题干可知，当，，，则，选项D错误.故选：C.5.已知命题；命题，则（）A.和都是真命题 B.和都是真命题C.和都是真命题 D.和都是真命题答案：B解析：思路：结合余弦函数、指数函数的性质判断存在量词命题、全称题词命题的真假.解答过程：由于，则命题是假命题，是真命题；命题是真命题，是假命题，故选：B6.命题为真命题的一个充分不必要条件是（）A. B.C. D.答案：B解析：思路：求出命题为真命题时a的值，再结合充分不必要条件的定义即可得解.解答过程：若命题“”为真命题，则，恒成立.令，则函数在上单调递增，所以在当时，取得最大值4，可得，所以各选项中只有是的真子集，即是“”为真命题的一个充分不必要条件.故选：B7.某班学生进行了三次数学测试，第一次有8名学生得满分，第二次有10名学生得满分，第三次有12名学生得满分，已知前两次均为满分的学生有5名，三次测试中至少有一次得满分的学生有15名.若后两次均为满分的学生至多有名，则的值为A.7 B.8 C.9 D.10答案：D解析：思路：当三次都满分的学生最多时，后两次均为满分的学生最少，再结合韦恩图即可得到的最小值.解答过程：当三次都满分的学生最多时，后两次均为满分的学生最少，由第三次有12名学生得满分，三次测试中至少有一次得满分的学生有15名，可得满足条件的学生用韦恩图表示如上：故后两次均为满分的学生至少有10名.故选：D.8.已知x，y，z为正实数，则的最大值为A.1 B.2 C. D.答案：C解析：解答过程：因为，所以的最大值为，选C.二、多选题(共3小题，共18分)9.下列命题中，是真命题的是（）A.且是的充分条件 B.“”是“”的充分不必要条件C.命题“，”的否定是“，” D.的充要条件是答案：AB解析：思路：根据不等式性质可依次判断选项AB中的充分性和必要性是否成立，知AB正误；根据全称命题的否定知C错误；通过反例可知充分性不成立，知D错误.解答过程：对于A，当，时，，充分性成立，A正确；对于B，当时，，充分性成立；当时，或，必要性不成立，则“”是“”的充分不必要条件，B正确；对于C，由全称命题的否定知原命题的否定为：，，C错误；对于D，当，时，，此时无意义，充分性不成立，D错误.故选：AB.10.若集合，，则（）A. B. C. D.答案：AB解析：思路：求出集合、，判断、的包含关系，进而可得出结论.解答过程：，，所以，，则，.故AB选项正确，CD选项错误.故选：AB.方法提示：本题考查与集合命题真假的判断，求出两个集合并判断两个集合的包含关系是解题的关键，考查计算能力与推理能力，属于基础题.11.已知，关于的不等式的解集为，则下列结论正确的是（）A. B.的最大值为C.的最小值为4 D.的最小值为答案：ABC解析：思路：依题意可得和为关于的方程的两根且，利用韦达定理得到，即可得到，从而判断A；再利用基本不等式判断B、C、D.解答过程：因为关于的不等式的解集为，所以和为关于的方程的两根且，所以，所以，所以，故A正确；又，所以，解得，当且仅当，即，时取等号，所以的最大值为，故B正确；，当且仅当，即时取等号，所以的最小值为，故C正确；因为，所以，所以，当且仅当，即，时取等号，所以的最小值为，故D错误.故选：ABC三、填空题(共3小题，共15分)12.已知集合，集合.若，则实数______.答案：1解析：思路：根据集合子集的概念求解.解答过程：因为，所以，即，所以，此时，满足题意.故113.已知，，若，则实数的取值范围为__________．答案：解析：思路：两集合的交集为空集，则两个集合没有公共部分，可以得到两个集合的端点的关系，从而解得实数的取值范围.解答过程：当集合为时，，解得.当集合不为，即时，有如下两种情况：集合中的元素都比集合中元素小，，结合解得；集合中的元素都比集合中元素大，，结合解得.综上所述，的取值范围为或.故答案为.方法提示：本题考查利用集合的关系求参数的值，解题时也可借助数轴来分析.14.设，对任意，恒成立，则实数的取值范围是______.答案：或解析：思路：利用不等式恒成立，分离变量，构造函数，利用二次函数的性质求解最值即可．解答过程：由可得在上恒成立，整理得在上恒成立，所以，令，因为，所以，所以当时，函数得最大值，所以，解得或.故或.四、解答题(共5小题，共77分)15.设命题，使得不等式恒成立；命题，不等式成立．（1）若为真命题，求实数的取值范围；（2）若命题、有且只有一个是真命题，求实数的取值范围．答案：（1）（2）解析：思路：（1）若为真命题，即对于，即可.（2）若为真命题，即转化为对于，即可求出的范围，再分类讨论的真假即可解出.（1）若为真命题，即，使得不等式成立，则对于，即可.由于,，则.（2）若为真命题，即，不等式成立，则对于，即可.由于，，，解得p、q有且只有一个是真命题，则或，解得.16.（1）若，求的最大值．（2）已知，求的最大值．答案：（1）（2）解析：思路：（1）由已知结合基本不等式求出的最小值即可得的最大值.（2）先用配凑法将变形为，再利用基本不等式即可求解.解答过程：（1）因为，所以，所以，当且仅当，即时取等号，所以，即最大值为.（2）因为，所以，则，所以，当且仅当时，即时取等号，所以的最大值是．17.某厂家拟在2025年举行某产品的促销活动，经调查测算，该产品的年销售量（即该厂的年产量）x万件与年促销费用m万元（）满足（k为常数），如果不搞促销活动，那么该产品的年销售量只能是3万件.已知生产该产品的固定投入为9万元，每生产1万件该产品需要再投入18万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本（此处每件产品年平均成本按元来计算）的1.5倍.（1）将2025年该产品的利润y万元表示为年促销费用m万元的函数；（2）该厂家2025年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？最大利润是多少？答案：（1）（2）该厂家2025年的促销费用投入2万元时，厂家的利润最大，为35.5万元.解析：思路：（1）根据，求出，从而可求出，再根据利润公式求函数关系式即可；（2）利用基本不等式求最值即可.（1）由题意知，当时，，则，解得，所以.因为每件产品的销售价格为元，所以2025年该产品的利润,即.（2）因为当时，.所以，当且仅当，即时，等号成立.故该厂家2025年的促销费用投入2万元时，厂家的利润最大，最大为万元.18.已知关于的不等式的解集为，不等式的解集为.（1）若，求的值；（2）若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围.答案：（1）（2）解析：思路：（1）将分式不等式转化为二次不等式，根据不等式的解集，结合二次方程根与系数关系可得；（2）分别确定集合与，根据命题的充分必要性可的，进而可得的取值范围.（1）由不等式得，即，由于其解集是，所以，是一元二次不等式的两个实数根，所以，解得；（2）由得，所以，若“”是“”的充分不必要条件，则，当时，，满足题意；当时，，所以，所以；当时，，成立；当时，，成立；当时，，成立；综上所述，实数的取值范围是.19.设全集，集合A是U的真子集．设正整数，若集合A满足如下三个性质，则称A为U的子集：①；②，若，则；③，若，则．（1）当时，判断是否为U的子集，说明理由；（2）当时，若A为U的子集，求证：；（3）当时，若A为U的子集，求集合A．答案：（1）当时，，，，取，则，但，不满足性质②，所以不是U的子集.（2）当时，A为U的子集，则；假设，设，即取，则，但，不满足性质②，所以，；假设，取，，且，则，再取，，则，再取，，且，但与性质①矛盾，所以.（3）集合.解析：思路：（1）取，由不满足性质②可得不是U的子集；（2）通过反证法，分别假设，的情况，由不满足子集的性质，可证明出；（3）由（2）得，，，，再分别假设，，，四种情况，由不满足子集的性质，可得出，再根据性质②和性质③，依次凑出8～23每个数值是否满足条件即可.（1）略（2）略（3）由（2）得，当时，若A为U的子集，，，，所以当时，，若A为U的子集，，，；若，取，，则，，