2026-2027学年安徽省阜阳市太和县第八中学高二上学期9月份自测卷数学试卷（含解析）

/数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.中，D为上一点且满足，为直线上一点，且，则的值是（）A. B. C.或 D.2.已知正三棱柱中，，，点为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（）A. B. C. D.3.已知角的顶点在坐标原点，始边在轴非负半轴上，点为角终边上一点，则（）A. B. C. D.4.若，其中，是虚数单位，则（）A.1 B. C.2 D.5.若对于任意的实数都有成立，则θ的值可能是（）A. B. C. D.06.已知，若，则（）A. B. C. D.7.化简的值为（）A. B. C.－ D.－8.已知函数，若存在常数，使得函数为偶函数，则可以为（）A. B. C. D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知函数的部分图象如图所示，则（）A. B.C. D.10.的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则下列说法正确的是（）A.若，则B.若，，，则有两解C.若为钝角三角形，则D.若，则此三角形为等腰三角形11.下列说法正确的有（）A.中，，，，则满足条件的的个数为2B.若，则关于的方程有一解C.D.锐角三角形中，，，则的取值范围为三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.12.已知，，则______.13.已知，则_____，向量与向量的夹角＝______.14.如图是在北京召开的第24届国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，由4个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形．若直角三角形中较小的内角为，大正方形的面积为1，小正方形的面积是，则___________．15.在△ABC中，分别是角的对边，若，，向量，且.则△ABC的面积是_________四、解答题：本题共4小题，每小题18分，共72分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16.（1）已知角终边上一点，且，求和的值．（2）已知是第三象限的角，且，①化简；②若，求17.已知函数（1）完善下面的表格并作出函数在上的图象：0πx1（2）解不等式18.如图，在四棱锥中，平面，底面是平行四边形，，，，E为的中点，F为上靠近点P的三等分点．（1）设平面平面，证明：．（2）作出平面与棱的交点，并说明作法与理由．（3）当时，作出二面角的平面角，并求二面角的正弦值的取值范围．19.设函数的定义域为，，如果满足：任意，均有成立，则称是在上的“密切函数”.（1）判断函数是否为上的“密切函数”；（2）某市拟在直线段道路一侧或两侧修建一条分流车道，车道的第一部分为如下图所示的曲线段，是函数的图象；第二部分为曲线段，是函数且的图象.（i）求点的坐标；（ii）为确保分流车道不至于偏离道路过远，要求分流车道对应的函数是在上的“密切函数”，求符合要求的实数的取值范围.

数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.中，D为上一点且满足，为直线上一点，且，则的值是（）A. B. C.或 D.答案：A解析：思路：设，根据向量的线性运算利用表示，根据平面向量基本定理列方程求的值.解答过程：设，则，因为，所以，又，所以，所以，所以.故选：A.2.已知正三棱柱中，，，点为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：以、为邻边作平行四边形，以、为邻边作平行四边形，连接、、，分析可知异面直线与所成角为或其补角，计算出三边边长，利用余弦定理可求得结果.解答过程：以、为邻边作平行四边形，以、为邻边作平行四边形，连接、、，如下图所示：因为四边形为平行四边形，则且，同理可知且，所以，且，所以，四边形为平行四边形，所以，，所以，异面直线与所成角为或其补角，由勾股定理可得，，在中，，，，所以，，由余弦定理可得，因此，直线与所成角的余弦值为.故选：A.3.已知角的顶点在坐标原点，始边在轴非负半轴上，点为角终边上一点，则（）A. B. C. D.答案：D解析：思路：根据三角函数的定义可知，，可求得答案.解答过程：因为点是角终边上一点，所以.故选：D.4.若，其中，是虚数单位，则（）A.1 B. C.2 D.答案：A解析：思路：化简复数，由复数相等求出，直接计算即可.解答过程：解：因为，所以，则.故选：A.5.若对于任意的实数都有成立，则θ的值可能是（）A. B. C. D.0答案：A解析：思路：将题干条件等式左边进行展开，重新整理表达式，推出后进行判断即可.解答过程：，整理可得，，即，对于，不可能恒成立，故只有，则，，结合选项，只有A符合.故选：A6.已知，若，则（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：根据向量平行的坐标表示求出，进而由向量的坐标运算求出结果.解答过程：∵，，∴，∴.故选：A.7.化简的值为（）A. B. C.－ D.－答案：A解析：解答过程：应用诱导公式及和角余弦公式化简求值即可.思路.故选：A8.已知函数，若存在常数，使得函数为偶函数，则可以为（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：求出的解析式，得和都是偶函数，然后根据偶函数的定义分析求解.解答过程：由，得是偶函数，因为不可能是奇函数，所以和都是偶函数，为偶函数，则，即，为偶函数，则，，，，结合选项，只有时，.故选：C.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知函数的部分图象如图所示，则（）A. B.C. D.答案：AB解析：思路：由函数的图象的顶点坐标求出，由周期求出，由余弦函数的图象的对称中心坐标求出的值，可得函数的解析式，解答过程：由图可知，则，因为，所以．由，得，得，因为，所以，所以．故选：AB10.的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则下列说法正确的是（）A.若，则B.若，，，则有两解C.若为钝角三角形，则D.若，则此三角形为等腰三角形答案：AB解析：思路：利用大角对大边及正弦定理，结合余弦定理及三角方程即可求解.解答过程：对于A，因为，所以，由正弦定理得，故A正确；对于B，因为，，，所以,即,所以有两解，所以有两解，故B正确；对于C，因为为钝角三角形，但不一定是钝角，所以不一定成立，故C错误；对于D，因为，所以，由，得或，解得或，所以此三角形为等腰三角形或此三角形为直角三角形，故D错误.故选：AB.11.下列说法正确的有（）A.中，，，，则满足条件的的个数为2B.若，则关于的方程有一解C.D.锐角三角形中，，，则的取值范围为答案：BCD解析：思路：根据正弦定理化简判断A，根据辅助角公式计算求解判断B，应用同角三角函数关系及两角差正弦计算求解判断C，应用余弦定理计算求解判断D.解答过程：A．，所以没有满足条件，A错误；B．，所以，因为，所以，B正确；C．，C正确；D．设，由余弦定理，，，解得，所以D正确．故选：BCD．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.12.已知，，则______.答案：解析：思路：根据同角三角函数平方关系及正弦二倍角化简求值.解答过程：因为，所以，则.故13.已知，则_____，向量与向量的夹角＝______.答案：①.2②.解析：思路：第一空：通过求得，即可求解，第二空：由向量的夹角公式求解即可.解答过程：因为，所以，所以，即，得.因为，所以.设向量与向量的夹角为，则有，因为，所以，即向量与向量的夹角为.故2；14.如图是在北京召开的第24届国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，由4个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形．若直角三角形中较小的内角为，大正方形的面积为1，小正方形的面积是，则___________．答案：##解析：思路：直角三角形的两条直角边分别为，可得小正方形的边长为，利用同角三角函数基本关系即可求解.解答过程：直角三角形中较小的内角为，斜边为1，则直角三角形的两条直角边分别为，所以小正方形的边长为，即，也即，可得，因，因为锐角，则.故答案为.15.在△ABC中，分别是角的对边，若，，向量，且.则△ABC的面积是_________答案：##解析：思路：先根据向量平行求出，结合余弦定理可得，利用面积公式可求答案.解答过程：因为，；所以，解得；，即，解得；又，所以，所以△ABC的面积为.故四、解答题：本题共4小题，每小题18分，共72分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16.（1）已知角终边上一点，且，求和的值．（2）已知是第三象限的角，且，①化简；②若，求答案：（1），；（2）①；②.解析：思路：（1）根据三角函数的定义求出，在根据定义求出和的值；（2）①利用诱导公式、同角三角函数基本关系式即可得出，②利用诱导公式得到，再利用同角关系式即得.解答过程：（1）由题可得，又，解得，∴，，∴，；（2）①；②由得：，∴，∵是第三象限的角，∴，∴.17.已知函数（1）完善下面的表格并作出函数在上的图象：0πx1（2）解不等式答案：（1）0πx0010

图象如下：（2）解析：思路：（1）由表格中所给数据计算得到其他对应数据完善表格；由五点作图法绘出函数在上的图象；（2）根据正弦函数的图象和性质解得答案.（1）表格如下：0πx0010

图象如下：（2）由得，所以，解得，所以不等式的解集为.18.如图，在四棱锥中，平面，底面是平行四边形，，，，E为的中点，F为上靠近点P的三等分点．（1）设平面平面，证明：．（2）作出平面与棱的交点，并说明作法与理由．（3）当时，作出二面角的平面角，并求二面角的正弦值的取值范围．答案：（1）证明：因为底面ABCD是平行四边形，所以．因为平面PAB，平面PAB，所以平面PAB．因为平面PCD，平面平面，所以．（2）解：设平面BEF与PC交于点H，连接FH，BH．连接AC交BD于点O，取FD的中点M，连接OM，MC，AM．因为F为PD上靠近点P的三等分点，所以F为PM的中点，所以．因为平面AMO，平面AMO，所以平面AMO．同理可证平面AMO．因为，所以平面平面AMO．因为平面平面，平面平面，所以．因为F为PM的中点，所以H为PC的中点．（3）解析：思路：（1）运用线面平行的判定定理和性质定理即可得证；（2）取PC的中点，则即为平面与棱的交点.设平面BEF与PC交于点H，连接FH，BH．连接AC交BD于点O，取FD的中点M，连接OM，MC，AM．通过证明平面AMO、平面AMO证得平面平面AMO，再根据面面平行的性质得到，结合F为PM的中点，即可得证；（3）过点D作，垂足为N，过点N作，垂足为I，连接DI，证得为二面角的平面角.根据题设条件，运用等面积法、相似等平面几何知识得到，令，，得到，利用该函数的单调性求值域即得.（1）略（2）略（3）过点D作，垂足为N，过点N作，垂足为I，连接DI，因为，，，所以平面PBC，所以．因为，，所以平面NID，则，所以为二面角的平面角．在中，，由底面是平行四边形，，得,．由等面积法可得,由，，所以，．则．令，．在中，则．令，，则在上单调递增，所以，，所以二面角的正弦值的取值范围为．19.设函数的定义域为，，如果满足：任意，均有成立，则称是在上的“密切函数”.（1）判断函数是否为上的“密切函数”；（2）某市拟在直线段道路一侧或两侧修建一条分流车道，车道的第一部分为如下图所示的曲线段，是函数的图象；第二部分为曲线段，是函数且的图象.（i）求点的坐标；（ii）为确保分流车道不至于偏离道路过远，要求分流车道对应的函数是在上的“密切函数”，求符合要求的实数的取值范围.答案：（1）是上的“密切函数”（2）（i）；（ii）或解析：思路：（1）分析可知：若是在上的“密切函数”，.故根据定义分析函数在上的单调性及最值即可求解；（2）（i）根据点在函数的图象上，先求出函数的解析式，代入横坐标即可求点坐标；（i）根据点坐标代入可得.对和进行分类讨论，根据“密切函数”的定义研究函数的单调性与最值即可求解.（1）由题意知，，则在上单调递增，所以，.∴，有.所以函数是上的“密切函数”.（2）（i）由图可知，函