2026-2027学年福建省莆田市高三上学期毕业班开学质量诊断练习数学试卷（含解析）

/数学本试卷共4页，19小题，满分150分．考试时间120分钟．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.若，则（）A.1 B.2 C.3 D.42.设全集，集合，则（）A. B. C. D.3.双曲线的离心率为（）A. B. C. D.4.曲线在点处的切线方程为（）A. B. C. D.5.若函数（）的图象关于直线对称，则的最小值为（）A. B.1 C.2 D.56.设是定义在上的偶函数，且满足．当时，，则（）A.4 B. C. D.7.我国古代著名的《周髀算经》中提到：凡八节二十四气，气损益九寸九分六分分之一；冬至晷长一丈三尺五寸，夏至晷长一尺六寸．意思是：二十四个节气可以通过特定标记的日影长度来确定，每相邻两个节气之间的日影长度差为分；“冬至”时日影长度最大，为1350分，“夏至”时日影长度最小，为160分．则“立秋”时日影长度为（）附：二十四节气表立春雨水惊蛰春分清明谷雨立夏小满芒种夏至小暑大暑立秋处暑白露秋分寒露霜降立冬小雪大雪冬至小寒大寒A.分 B.分 C.分 D.分8.有6个除颜色外完全相同的球，其中3个黄球，3个白球，依次从中无放回地随机抽取，每次取1个球，直到取出2个黄球时停止取球．记为停止取球时所取出的球的个数，则的数学期望为（）A.2 B. C.3 D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知向量，，则下列说法正确的是（）A. B.若，则C.若，则 D.若，则在上的投影向量为10.在棱长为2的正方体中（）A.直线与是异面直线 B.平面平面C.直线到平面的距离为 D.四面体的外接球的体积为11.已知抛物线：（）的焦点为，准线为：，过作两条互相垂直的直线，，直线与交于，两点，直线与交于，两点，则（）A.B.C.若弦的中点到的距离为，则的斜率为D.设交于点，则三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知是等比数列的前项和，且，，则________．13.直线被圆所截得的弦长为_____．14.定义：，已知，，…，是10个互不相等的实数的一个排列，且满足，则该排列的所有可能结果有________个．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.在中，角所对的边分别为，且满足．（1）证明：；（2）若，，求的面积．16.近年来AI生成的艺术品备受关注．某艺术机构为了解购买AI生成的艺术品的意愿与性别的关系，随机调查了100名顾客，得到如下列联表：愿意不愿意合计女性451560男性251540合计7030100（1）根据小概率值的独立性检验，分析购买AI艺术品的意愿是否与性别有关；（2）从这100名顾客中随机抽取两名，已知其中至少有一名为女性，求这两名顾客都愿意购买AI艺术品的概率．附：，0.1000.0500.0102.7063.8416.63517.已知和为椭圆：（）上两点．（1）求的方程；（2）过点作直线与相交于，两点，与轴交于点（点在椭圆内部），为坐标原点，若的面积与的面积相等，求直线的方程．18.如图，在矩形中，，，点是线段上的动点，将沿翻折至．（1）证明：；（2）若平面平面，求在平面内的射影的轨迹的长度；（3）当点与重合时，记二面角的大小为，若，求直线与平面所成角的正弦值的取值范围．19.已知函数，．（1）当时，求的单调区间；（2）证明：；（3）当时，，求的取值范围．

数学本试卷共4页，19小题，满分150分．考试时间120分钟．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.若，则（）A.1 B.2 C.3 D.4答案：B解析：解答过程：，又，可得2.设全集，集合，则（）A. B. C. D.答案：A解析：解答过程：因为不等式的解为，所以全集，因为集合所以.3.双曲线的离心率为（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：由双曲线标准方程得，再求得后可得离心率．解答过程：双曲线的，，则，离心率为．故选：C．4.曲线在点处的切线方程为（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：根据导数的几何意义，结合基本初等函数的导数及直线的点斜式方程求解即可.解答过程：求导得，所以曲线在点处的切线的斜率为.所以曲线在点处的切线为，即.5.若函数（）的图象关于直线对称，则的最小值为（）A. B.1 C.2 D.5答案：C解析：思路：根据正弦函数的对称轴方程计算求解.解答过程：正弦型函数图象的对称轴性质可知，当时，相位满足，化简得，结合，当取的最小值为2.6.设是定义在上的偶函数，且满足．当时，，则（）A.4 B. C. D.答案：B解析：思路：由函数奇偶性，可得，再由赋值法可得答案.解答过程：因是定义在上的偶函数，则，又满足．则，令，得.7.我国古代著名的《周髀算经》中提到：凡八节二十四气，气损益九寸九分六分分之一；冬至晷长一丈三尺五寸，夏至晷长一尺六寸．意思是：二十四个节气可以通过特定标记的日影长度来确定，每相邻两个节气之间的日影长度差为分；“冬至”时日影长度最大，为1350分，“夏至”时日影长度最小，为160分．则“立秋”时日影长度为（）附：二十四节气表立春雨水惊蛰春分清明谷雨立夏小满芒种夏至小暑大暑立秋处暑白露秋分寒露霜降立冬小雪大雪冬至小寒大寒A.分 B.分 C.分 D.分答案：C解析：解答过程：由题意知，每相邻两个节气之间的日影长度差为分，“夏至”时日影长度最小，为160分，“夏至”之后，每往后一个节气日影长度增加分,则“夏至”对应等差数列的首项，公差，则.由二十四节气表可知，“立秋”是该数列的第4项，则.故“立秋”时日影长度为分.8.有6个除颜色外完全相同的球，其中3个黄球，3个白球，依次从中无放回地随机抽取，每次取1个球，直到取出2个黄球时停止取球．记为停止取球时所取出的球的个数，则的数学期望为（）A.2 B. C.3 D.答案：D解析：解答过程：由题意知X是停止时取出球的个数，X的可能取值：，时，，时，，时，，时，，数学期望．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知向量，，则下列说法正确的是（）A. B.若，则C.若，则 D.若，则在上的投影向量为答案：CD解析：解答过程：对于A，，故A错误；对于B，若，则，解得，故B错误；对于C，若，则，则，则，故C正确；对于D，若，则，则在上的投影向量为，故D正确.10.在棱长为2的正方体中（）A.直线与是异面直线 B.平面平面C.直线到平面的距离为 D.四面体的外接球的体积为答案：ABC解析：思路：对于A，根据异面直线的定义判断即可；对于B，根据线面平行的判定定理及面面平行的判定定理证明即可；对于C，根据等体积法求解即可；对于D，正四面体外接球与正方体外接球相同，结合球的体积公式求解即可.解答过程：对于A，结合正方体的性质易知，直线与不平行且不相交，故直线与是异面直线，A正确.对于B，正方体中，易知，.因为平面，平面，所以平面.同理平面.因为，平面，，所以平面平面，B正确.对于C，因为平面，平面，所以平面，所以点到平面的距离即为直线到平面的距离，设为，易知是边长为的等边三角形，则.又，则，所以，故直线到平面的距离为，C正确.对于D，四面体的外接球就是正方体的外接球，设半径为，则，所以.所以外接球体积为，D错误.11.已知抛物线：（）的焦点为，准线为：，过作两条互相垂直的直线，，直线与交于，两点，直线与交于，两点，则（）A.B.C.若弦的中点到的距离为，则的斜率为D.设交于点，则答案：ABD解析：思路：对于A，由准线方程可得抛物线方程；对于B，设，，然后由韦达定理，抛物线定义，基本不等式可判断选项正误；对于C，设中点为，由题设结合抛物线定义可判断选项正误；对于D，由题设可得，注意到，，然后由射影定理可判断选项正误.解答过程：对于A，由准线方程为，可得，故A正确；对于B，由选项A可得，由题设可得直线，斜率均存在且不为0，则设，因，则.将两直线与抛物线联立，可得.设，由韦达定理可得：，又由抛物线定义可得，从而，当且仅当两直线倾斜角分别为时取等号；对于C，设中点为，结合选项B可得，则到的距离为，从而的斜率为；对于D，将与联立可得，又因，则，注意到，则，又易得，由射影定理，可得，则，又由射影定理可得，则.方法提示：关键点睛：本题涉及直线与抛物线位置关系，抛物线定义，基本不等式，平面几何等知识点.对于抛物线综合问题，常利用抛物线定义，此外在抛物线中存在大量结论，同学们也可选择性积累.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知是等比数列的前项和，且，，则________．答案：解析：思路：计算出公比后使用等比数列前项和公式求解.解答过程：等比数列的公比为：，则.13.直线被圆所截得的弦长为_____．答案：解析：思路：根据直线与圆相交的弦长公式计算求解即可.解答过程：圆可化为所以圆心为，半径，圆心到直线的距离为，所以直线被圆截得的弦长为.14.定义：，已知，，…，是10个互不相等的实数的一个排列，且满足，则该排列的所有可能结果有________个．答案：解析：思路：观察条件，等价于任意内部位置都不是局部最大值，因此全局最大值只能出现在两端，去掉最大值后，剩余部分仍满足相同条件，于是可建立递推关系

，由

得

，代入

即得结果．解答过程：设排列为

，条件等价于，即

不能同时大于其左右两个相邻元素，也就是

不是局部最大值，

在满足条件的排列中，最大值必定位于第

位或第

位，理由如下：假设最大值

位于某个内部位置

，则，但与条件矛盾，故

只能在两端，设

表示

个互不相等的实数满足类似条件（内部位置

满足

）的排列数，最大值可放在第位或第位（共种选择），去掉后，剩下的个数仍需满足同样的内部条件（因最大值在端点处不影响其他内部位置），故，由递推式，逐项展开得，对于（只有一个数），没有内部位置，条件自然满足，所以，故，代入，得到．所以该排列的所有可能结果有种．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.在中，角所对的边分别为，且满足．（1）证明：；（2）若，，求的面积．答案：（1）方法一：因为，所以，所以，即，所以，又，所以，即．方法二：由正弦定理得，，由余弦定理得，，整理得，，即，所以，所以．（2）解析：思路：（1）方法一利用三角形内角和及三角恒等变换可得，进而即得；方法二用正余弦定理，化简得到进而即得；（2）由题设可得，方法一利用余弦定理可得，再求，用面积公式即得；方法二利用等腰三角形几何性质，作底边高，勾股定理求高，底乘高除以求面积，两种方法结果一致．（1）略（2）方法一：由（1）可得，，因为，所以，由余弦定理得，，所以，所以的面积．方法二：由（1）可得，，所以是以为顶点的等腰三角形，因为，所以，过作于，则，所以的面积．16.近年来AI生成的艺术品备受关注．某艺术机构为了解购买AI生成的艺术品的意愿与性别的关系，随机调查了100名顾客，得到如下列联表：愿意不愿意合计女性451560男性251540合计7030100（1）根据小概率值的独立性检验，分析购买AI艺术品的意愿是否与性别有关；（2）从这100名顾客中随机抽取两名，已知其中至少有一名为女性，求这两名顾客都愿意购买AI艺术品的概率．附：，0.1000.0500.0102.7063.8416.635答案：（1）购买艺术品的意愿与性别无关联（2）解析：思路：（1）根据列联表求出，与临界值比较判断即可.（2）根据条件概率公式，结合古典概型概率公式求解即可.（1）零假设：购买艺术品的意愿与性别无关联．根据列联表中的数据，经计算得到根据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断不成立，因此可以认为成立，即认为购买艺术品的意愿与性别无关联.（2）设事件“所选的两名顾客至少有一名是女性”，事件“这两名顾客都愿意购买艺术品”，则.故所求的概率为.17.已知和为椭圆：（）上两点．（1）求的方程；（2）过点作直线与相交于，两点，与轴交于点（点在椭圆内部），为坐标原点，若的面积与的面积相等，求直线的方程．答案：（1）（2）或解析：思路：（1）根据椭圆过两点列方程组求解即可.（2）设出直线方程，与椭圆方程联立（法一：消去；法二，消去），根据韦达定理、点到直线的距离、三角形面积公式及已知条件，结合弦长公式求解即可.法三：设出直线方程，与椭圆方程联立（消去），根据韦达定理、点到直线的距离、三角形面积公式及已知条件，结合中点坐标公式求解即可.（1）依题意得，，解得，所以的方程为．（2）法一：依题意可知，直线的斜率存在且不为零．设直线：，，，所以，联立，整理得，所以，设原点到的距离为，因为的面积与的面积相等，所以，得，所以，得依题意，与异号，所以，所以，解得，所以直线的方程为或．法二：依题意可知，直线的斜率存在且不为零．设直线：，，，所以，联立，得，所以，因为的面积与的面积相等，所以，所以，则，即.依题意，与异号，所以，则，解得，所以直线的方程为或．法三：依题意可知，直线的斜率存在且不为零．设直线：，，，所以，联立，得，所以，设原点到的距离为.因为的面积与的面积相等，所以，得，所以与的中点重合，又的中点，的中点，所以，所以，解得，所以直线的方程为或．18.如图，在矩形中，，，点是线段上的动点，将沿翻折至．（1）证明：；（2）若平面平面，求在平面内的射影的轨迹的长度；（3）当点与重合时，记二面角的大小为，若，求直线与平面所成角的正弦值的取值范围．答案：（1）连接，作于，连接，由翻折性质知，，，，又，平面，，平面，又平面，．（2）（3）解析：思路：（1）连接，作于，连接，利用线面垂直的判定定理和线面垂直的定义即可得证；（2）法一：利用线面垂直的判定定理得平面，即为点在平面上的射影，由，得的轨迹是以为直径的一段圆弧，利用弧长公式即可求解；法二：建立空间直角坐标系，设，则，取中点，得，即的轨迹是以为圆心，以为半径的圆弧，且圆弧对应的圆周角为，利用弧长公式即可求解；（3）法一：建立空间直角坐标系，过作的垂线，垂足为，得，二面角的平面角为，得，求平面的法向量为，设直线与平面所成角为，则，利用三角函数的性质即可求解.法二：作平面于点，连接，，利用线面垂直的判定定理得平面，进而得是二面角的平面角，即，在中，，设直线与平面所成角为，得，利用三角函数的性质即可求解.（1）略（2）法一：∵平面平面，平面平面，平面，，平面，为点在平面上的射影．又，可知的轨迹是以为直径的一段圆弧，∴当点从移动至时，的轨迹长度从增长至最大，∵点与重合，，又，，，在平面的射影的轨迹长度为；法二：以为原点，以向量，的方向为轴，轴正方向，如图建立空间直角坐标系，则，∵平面平面，