2026-2027学年广东省广州市奥林匹克中学高三上学期一轮复习九月检测数学试卷（含解析）

/数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合，，则（）A. B. C. D.2.已知随机变量的分布列为：123450.10.30.40.1则随机变量的期望等于（）A. B. C. D.3.洛阳龙门石窟是世界上规模最大的石刻艺术宝库，被联合国教科文组织评为“中国石刻艺术的最高峰”.现有一石窟的某处共有378个“浮雕像”，分为6层，对每一层来说，上一层的数量是该层的2倍，则从下往上数，第4层“浮雕像”的数量为（）A.16 B.32 C.48 D.644.已知直线：，直线：，则“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分又不必要条件5.已知，那么的展开式中的系数为（）A. B. C. D.6.已知向量，且，则的值为（）A. B. C. D.7.已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，圆柱的下底面在圆锥的底面上，上底面圆的圆周在圆锥的侧面上，则圆柱的侧面积的最大值为（）A. B. C. D.8.已知函数，若对任意的，都有，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多个符合题目要求的．全部选对的得6分．部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.设复数，则（）A.复数z的虚部为 B. C. D.10.已知函数的部分图象如图，则（）A.B.为奇函数C.在上的值域是D.当在上恰有3个零点时，的取值范围是．11.如图，在长方体中，，，点为四边形内部（不含边界）的一个动点，平面平面，则下列说法正确的是（）A.异面直线与所成角的余弦值为B.当时，二面角的正切值为C.四面体的外接球体积为D.若，则的取值范围是三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.记为等差数列的前项和.若，，则__________．13.2026年8月19日，广东省第十七届运动会手球比赛圆满收官，由广州奥林匹克中学组建的广州男子手球队一路过关斩将，斩获男子手球甲组冠军、乙组亚军，学校获得建队25年来首枚省运会手球金牌．男子手球甲组比赛集结了来自广州、茂名、清远、深圳等8支全省顶尖强队，先进行小组循环赛，小组赛分A、B两组，每组4支球队，各组前两名进行交叉淘汰赛．小组赛分组规定：东道主茂名队与2025年广东省手球锦标赛冠军广州队作为种子球队分别安排在A组、B组，深圳队与清远队不安排在同一个小组，其它4支队伍抽签分组，那么本次男子手球甲组比赛，小组赛共有______种分组方法（用数字作答）．14.已知双曲线的一条渐近线与圆相交于，两点，则____.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧棱底面，，是的中点，作交于点.（1）求证：平面；（2）求平面与平面的夹角的大小.16.在中，角的对边分别为，若．（1）求A；（2）若，的面积为，求b，c的值；（3）若，求周长的取值范围．17.已知抛物线与椭圆：有相同的焦点，点是椭圆的右顶点．（1）求椭圆离心率；（2）已知点，，若椭圆上存在一点，满足，求的值；（3）若直线与交于、两点，且为直角，求证：直线恒过定点．18.为了避免就餐聚集和减少排队时间，某校食堂从开学第一天起，每餐只推出即点即取的米饭套餐和面食套餐．已知某同学每天中午会在食堂提供的两种套餐中选择，已知他第一天选择米饭套餐的概率为，而前一天选择了米饭套餐后一天继续选择米饭套餐的概率为，前一天选择面食套餐后一天继续选择面食套餐的概率为，如此往复．（1）求该同学第二天中午选择米饭套餐的概率；（2）记该同学第n天中午选择米饭套餐的概率为．①证明：为等比数列，并求数列的通项公式；②证明：当时，恒成立．19.已知函数的定义域为，直线与曲线相切．若对一切恒成立，称直线是函数的“下切线”；若对一切恒成立，称直线是函数的“上切线”．（1）证明：直线是函数的“上切线”；（2）若函数有“上切线”且有“下切线”，求的取值范围；（3）若直线既是函数的“下切线”，也是函数的“上切线”，求的取值范围．

数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合，，则（）A. B. C. D.答案：B解析：解答过程：因为，，所以.2.已知随机变量的分布列为：123450.10.30.40.1则随机变量的期望等于（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：先根据分布列的性质求出的值，再按期望公式求解即可.解答过程：由题意知：，所以．3.洛阳龙门石窟是世界上规模最大的石刻艺术宝库，被联合国教科文组织评为“中国石刻艺术的最高峰”.现有一石窟的某处共有378个“浮雕像”，分为6层，对每一层来说，上一层的数量是该层的2倍，则从下往上数，第4层“浮雕像”的数量为（）A.16 B.32 C.48 D.64答案：C解析：思路：借助等比数列求和公式求出首项，然后利用等比数列通项公式基本量的运算求解即可.解答过程：由题意，从下往上“浮雕像”的数量成等比数列，设为，则，公比，所以，所以，所以第4层“浮雕像”的数量为.故选：C4.已知直线：，直线：，则“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分又不必要条件答案：C解析：思路：当时可推得，当时，可推得或，再利用充分条件与必要条件的判断方法，即可求解.解答过程：因为，所以且，又因为、，所以，整理得，解得或，若，代入两条直线得，，即，两直线完全重合，不满足平行，因此的唯一解就是，当时，可直接推出，同时​也只能推出，因此""是"​"的充要条件.5.已知，那么的展开式中的系数为（）A. B. C. D.答案：D解析：思路：根据组合系数性质求出的值，再写出展开式的通项，最后令通项中的指数为求出，进而得到的系数.解答过程：因为，所以根据组合数的性质可得：，即，即，解得或（舍去）故，因为的展开式的通项是，根据题意，得，，因此，的系数是．6.已知向量，且，则的值为（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：先通过计算出，再利用齐次分式求出结果即可.解答过程：由题意可得，即.故选：A.7.已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，圆柱的下底面在圆锥的底面上，上底面圆的圆周在圆锥的侧面上，则圆柱的侧面积的最大值为（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：将圆柱侧面积的最大值问题，转化为关于圆柱底面半径的二次函数的最值问题.解答过程：由的底面半径，母线长，所以圆锥的高.由题可设圆柱的底面半径为()，高为.由得，即，截得.所以圆柱的侧面积所以当时，侧面积取得最大值为.8.已知函数，若对任意的，都有，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.答案：C解析：解答过程：由两边同乘得.设，，由题意得在上严格递增，则对任意恒成立，即对任意恒成立.令，，则，当时，单调递增，当时，单调递减，所以的最大值为，因此.当时，，令，，易得且仅在处取等，故且最多有一个实数解，严格递增，所以的取值范围是.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多个符合题目要求的．全部选对的得6分．部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.设复数，则（）A.复数z的虚部为 B. C. D.答案：BC解析：思路：根据复数的虚部定义可判断A；根据复数的模长公式可判断B；根据复数的乘法及复数的共轭可判断CD.解答过程：对于A：复数z的虚部为，故A错误；对于B：由，可得，故B正确；对于C：，则，所以，故C正确；对于D：，故D错误.10.已知函数的部分图象如图，则（）A.B.为奇函数C.在上的值域是D.当在上恰有3个零点时，的取值范围是．答案：ACD解析：思路：根据题意可求得，从而判断A；求出函数的解析式为，进而可得，即可判断B；求出函数在上的值域，从而判断C；根据题意求出函数在上恰有4个零点时的值，即可判断D.解答过程：由图象可知，，，，故A正确；三角函数的解析式是，函数的图象过，把点的坐标代入三角函数的解析式，，，又，，三角函数的解析式是．由于，不是奇函数，B不正确；由于，所以，，在上的值域是，故C正确；当在上恰有3个零点时，零点为，又轴右侧的第四个零点为，，即的取值范围是，故D正确．11.如图，在长方体中，，，点为四边形内部（不含边界）的一个动点，平面平面，则下列说法正确的是（）A.异面直线与所成角的余弦值为B.当时，二面角的正切值为C.四面体的外接球体积为D.若，则的取值范围是答案：ABD解析：思路：建立空间直角坐标系利用空间向量法可判断选项A，结合面面垂直性质定理，动点轨迹方程，以及二面角的求解方法分析可判断选项B；找出外接球的球心，利用已知条件求出半径，利用球体体积公式计算可判断选项C；根据动点的轨迹方程以及向量的坐标关系式和圆的参数方程、三角函数性质求解可判断选项D.解答过程：以为原点，分别为轴的正方向建立如下图所示的空间直角坐标系，，设，，对于A，由，所以，，所以异面直线与所成角的余弦值为，故A正确；对于B，过作垂足为点，因为平面平面，且平面平面，平面，所以平面，又平面，故，又，，平面，所以平面，平面，故，，根据二面角定义可知是二面角的平面角，则，故B正确；对于C，设的中点为，连接，因为都是直角三角形，所以，即四面体外接球的球心为点，所以，可得外接球半径为，所以体积，故C错误；对于D，因为，，，所以，故，，因为，所以的轨迹是以为直径，中点为圆心的圆在正方形内的部分，所以在平面上的轨迹方程为，设，得，由得，故，所以，故D正确.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.记为等差数列的前项和.若，，则__________．答案：24解析：思路：根据等差数列通项公式求出公差，再结合求和公式求解即可.解答过程：由等差数列通项公式，代入可得，解得.因为，所以，故.13.2026年8月19日，广东省第十七届运动会手球比赛圆满收官，由广州奥林匹克中学组建的广州男子手球队一路过关斩将，斩获男子手球甲组冠军、乙组亚军，学校获得建队25年来首枚省运会手球金牌．男子手球甲组比赛集结了来自广州、茂名、清远、深圳等8支全省顶尖强队，先进行小组循环赛，小组赛分A、B两组，每组4支球队，各组前两名进行交叉淘汰赛．小组赛分组规定：东道主茂名队与2025年广东省手球锦标赛冠军广州队作为种子球队分别安排在A组、B组，深圳队与清远队不安排在同一个小组，其它4支队伍抽签分组，那么本次男子手球甲组比赛，小组赛共有______种分组方法（用数字作答）．答案：12解析：解答过程：先排茂名队、广州队，有1种方法；再排清远队、深圳队，有种方法；再排其余4支球队，有种方法，故共有种方法．14.已知双曲线的一条渐近线与圆相交于，两点，则____.答案：解析：解答过程：已知双曲线，则双曲线的两条渐近线方程分别为和，双曲线的一条渐近线与圆相交于，两点，由圆关于轴对称，而双曲线的两条渐近线均关于轴对称，因此，无论选择哪一条渐近线，其与圆相交所得弦长都相等.由圆可知，圆心坐标为，半径，将其中一条渐近线化为一般式：，则圆心到渐近线的距离，则弦长.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧棱底面，，是的中点，作交于点.（1）求证：平面；（2）求平面与平面的夹角的大小.答案：（1）证明：在四棱锥中，底面，底面，所以,由底面是正方形，得，以为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，设，则，，设平面的法向量为则，令，则，则为平面的一个法向量，则，而不在平面内，所以平面.（2）解析：思路：（1）建系，通过线面位置的向量表示即可求证；（2）由面面角的向量法即可求解.（1）略（2）由（1）知，，且设平面的法向量为，则，取，，所以为平面的一个法向量，而，则，即，则的一个法向量为，因此，而则所以平面与平面的夹角是16.在中，角的对边分别为，若．（1）求A；（2）若，的面积为，求b，c的值；（3）若，求周长的取值范围．答案：（1）（2）（3）解析：思路：（1）根据正弦定理，由边化角，再根据两角和的正弦公式，求出结果即可.（2）根据三角形正弦面积公式，以及余弦定理，解三角形.（3）根据余弦定理求出三角形边长之间的关系，再根据基本不等式求出范围，或者根据正弦定理构造函数，根据角的范围求出边长之和的范围，进而求出三角形周长范围即可.（1）由正弦定理得，因为，代入得，由于，解得，所以．又，所以．（2）由题得的面积，故①．而，且，故②，由①②得．（3）方法一：可知，且，，得，由基本不等式可知，即，得，解得，又，所以，所以，即周长的取值范围为．方法二：由，及正弦定理得：，因为，所以，所以．因为，所以，，所以，所以周长的取值范围为．17.已知抛物线与椭圆：有相同的焦点，点是椭圆的右顶点．（1）求椭圆离心率；（2）已知点，，若椭圆上存在一点，满足，求的值；（3）若直线与交于、两点，且为直角，求证：直线恒过定点．答案：（1）（2）（3）由（1）知.设，，因为为直角，所以，即，其中、均与不重合.若与轴平行，设，则、关于轴对称，设，，由得，结合解得，，此时与重合，不合题意，故不与轴平行，可设.代入椭圆方程，整理得.因为直线与椭圆交于、两个不同的点，所以判别式，即.所以，，且，.于是，即，因式分解得，解得或.当时，直线恒过点，而在椭圆上，所以、中恰有一点与重合，不存在，不符合题意，舍去；当时，，判别式恒成立，直线与椭圆恒有两个不同的交点，且直线不经过点，符合题意.所以直线恒过定点.解析：思路：（1）由抛物线的标准方程确定其焦点，从而得到椭圆的半焦距，再结合椭圆的长半轴求离心率.（2）由可知为线段的中点，利用中点坐标表示出，再将的坐标代入椭圆方程，即可求出.（3）设，，由得.先排除直线与轴平行的情形，再设，将其与椭圆方程联立，利用根与系数的关系表示、，代入垂直条件化简得到.其中时直线经过椭圆右顶点，不符合均与不重合的条件，因此，故直线恒过定点.（1）抛物线的焦点为，因为抛物线与椭圆有相同的焦点，所以椭圆的半焦距.又，所以.所以椭圆的离心率.（2）因为，所以，即为线段的中点.又，，所以.由点在椭圆上，得，即，解得.又，所以.（3）略.18.为了避免就餐聚集和减少排队时间，某校食堂从开学第一天起，每餐只推出即点即取的米饭套餐和面食套餐．已知某同学每天中午会在食堂提供的两种套餐中选择，已知他第一天选择米饭套餐的概率为，而前一天选择了米饭套餐后一天继续选择米饭套餐的概率为，前一天选择面食套餐后一天继续选择面食套餐的概率为，如此往复．（1）求该同学第二天中午选择米饭套餐的概率；（2）记该同学第n天中午选择米饭套餐的概率为．①证明：为等比数列，并求数列的通项公式；②证明：当时，恒成立．答案：（1）（2）①设事件为“第n天选择米饭套餐”，则，，根据题意，，由全概率公式，得整理得，故，，是以为首项，为公比的等比数列,通项公式为；②当n为大于1的奇数时，；当n为大于1的偶数时，；综上所述，当时，．解析：思路：（1）先拆分互斥情况，并求出相关概率，利用条件概率公式求出相关概率，再利用全概率公式求解；（2）①利用全概率公式建立递推关系式，通过变形构造等比关系，求出首项及通项公式；②根据通项公式分奇偶性讨论，从而证明结论．（1）设事件为“第1天选择米饭套餐”，事件为“第2天选择米饭套餐”，事件为“第1天不选择米饭套餐”，根据题意，，，，由全概率公式得．（2）①略②略19.已知函