2026-2027学年广东省深圳市南方科技大学附属中学高三上学期开学供题训练数学试卷（含解析）

/数学（本试卷共5页，满分150分，考试用时120分钟）一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知集合则（）A. B.C. D.2.若函数的定义域为R，则实数m取值范围是（）A. B.C. D.3.函数的图象可能是（）A. B.C. D.4.若，则等于（）A. B. C. D.5.已知，，则（）A. B. C. D.6.已知函数的最大值为，则（）A. B. C. D.7.已知，则x，y，z的大小关系不可能是（）A. B.C. D.8.设集合为平面中点构成的集合，.从中随机取一个点(不包含)，该点与构成的直线与轴平行的概率为（）A. B. C. D.二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.每小题不止一个选项符合题意.全部选对得6分，部分选对得部分分，错选或不选得0分）9.在空间中，，为两个定点，动点到直线的距离为2，动点到直线的距离为1．若二面角为，则（）A. B.C.当时，平面 D.当平面时，10.已知，，满足，则下列说法正确的是（）A. B. C. D.11.在无穷数列中，，则下列选项正确的是（）A.若，，则对任意，都存在，使得B.若（），，且对任意，都有，则的最大值是C.若，，使得集合中有有限个元素D.若，当时，为递减数列，且存在常数，使得恒成立三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填写在答题卡相应位置上）12.已知函数，则___________·13.若函数有两个零点，则的取值范围是__________．14.北京天坛圜丘坛分为上、中、下三层.上层中心为天心石，环绕天心石的第一环有9块扇面形石板，以后每环依次增加9块.下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，且每层内部各环也依次增加9块.每层环数相同，且下层石板总数比中层多729块.则每层的环数是________.四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15.已知函数．（1）求;（2）设函数，求的值域和单调区间．16.为研究某疾病与超声波检查结果的关系，从做过超声波检查的人群中随机调查了1000人，得到如下列联表：超声波检查结果组别正常不正常合计患该疾病20180200未患该疾病78020800合计8002001000（1）记超声波检查结果不正常者患该疾病的概率为p，求p的估计值；（2）根据小概率值的独立性检验，分析超声波检查结果是否与患该疾病有关.附，0.0500.0100.0013.8416.63510.82817.已知在中，，，．（1）求；（2）设，两点满足：在的延长线上，，．若，求．18.如图，在四棱锥中，平面，，，，，为中点．（1）求证：平面；（2）求三棱锥的外接球的体积；（3）线段上（不含端点）是否存在点，使得与平面所成角为？若存在，确定点的位置；若不存在，请说明理由.19.已知函数，为的导函数，（1）当时，讨论的单调性；（2）若有两个零点，（i）求的取值范围；（ii）记较小的一个零点为，证明.

数学（本试卷共5页，满分150分，考试用时120分钟）一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知集合则（）A. B.C. D.答案：D解析：思路：求出集合后结合交集的定义可求.解答过程：，故，故选：D.2.若函数的定义域为R，则实数m取值范围是（）A. B.C. D.答案：A解析：思路：由定义域得出恒成立，讨论，两种情况，结合二次函数的性质，列出不等式组，即可得出实数m取值范围.解答过程：解：的定义域为R∴恒成立当m＝0时，不等式2＞0恒成立当m≠0时，则满足，得，得0＜m＜8综上0≤m＜8故选：A方法提示：本题主要考查了由定义域求参数的范围，属于中档题.3.函数的图象可能是（）A. B.C. D.答案：D解析：思路：当时，逐步分析到，显然此时，观察图像即可选出答案.解答过程：当时，，所以，即所以，所以所以当时，，可排除ABC故选：D方法提示：本题考查由函数解析式选函数图象，属于中档题.4.若，则等于（）A. B. C. D.答案：D解析：思路：利用赋值法求解，令可求得答案解答过程：令，则，令，则，故选：D5.已知，，则（）A. B. C. D.答案：D解析：思路：利用二倍角余弦公式得，则，最后再根据两角差的正弦公式即可得到答案.解答过程：，因为，则，则，则.故选：D.6.已知函数的最大值为，则（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：利用导数求出函数的单调性，利用单调性求最值.解答过程：，当时，，即时，，则单调递增，，即时，，则单调递减，则在处取得最大值，且，因为最大值为，所以解得.当时，，即时，，单调递增，，即时，，则单调递减，则在处取得最小值，无最大值，故舍去.当时，，不满足条件，故舍去.综上可知，，故选项A正确.7.已知，则x，y，z的大小关系不可能是（）A. B.C. D.答案：B解析：思路：法一：设，对讨论赋值求出，即可得出大小关系，利用排除法求出；法二：根据数形结合解出.解答过程：法一：设，所以令，则，此时，A有可能；令，则，此时，C有可能；令，则，此时，D有可能；故选：B．法二：设，所以，根据指数函数的单调性，易知各方程只有唯一的根，作出函数的图象，以上方程的根分别是函数的图象与直线的交点纵坐标，如图所示：易知，随着的变化可能出现：，，，，故选：B．8.设集合为平面中点构成的集合，.从中随机取一个点(不包含)，该点与构成的直线与轴平行的概率为（）A. B. C. D.答案：C解析：解答过程：设中随机取一个点，且点不与点重合，若直线与轴平行，则，可知，设样本空间为，直线与轴平行为事件A，则，，所以该点与构成的直线与轴平行的概率为.二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.每小题不止一个选项符合题意.全部选对得6分，部分选对得部分分，错选或不选得0分）9.在空间中，，为两个定点，动点到直线的距离为2，动点到直线的距离为1．若二面角为，则（）A. B.C.当时，平面 D.当平面时，答案：BC解析：思路：做出满足条件的图，过点作，为垂足，过点作，为垂足，过点作，由条件可得，解三角形可得，由此判断B，当点与点的距离无限大时，可得趋向于，排除A，先证明平面，结合，证明重合，由此证明平面，由平面推出点与点重合，点与点重合，判断D.解答过程：不失一般性作图如下，过点作，为垂足，过点作，为垂足，过点作，，连接，则，因为二面角为，所以，由已知，所以，所以，故，，B正确；当点与点的距离无限大时，，无限大，无限靠近，此时趋向于，A错误；因为，，平面，所以平面，又平面，所以，若，不重合，结合，平面，可得平面，平面，所以，矛盾，所以重合，因为，，，平面，所以平面，故平面，C正确；因为平面，若平面，则平面与平面重合，此时点与点重合，点与点重合，故与的夹角为，D错误，10.已知，，满足，则下列说法正确的是（）A. B. C. D.答案：ACD解析：思路：选项A，据基本不等式可得；选项B，进而根据基本不等式可得；选项C，将代入，得，进而可得；选项D，利用基本不等式，进而根据指数的运算可得解答过程：，当且仅当时取等号，故A确；，当且仅当时取等号，故B错误；，当，时取等号，故C正确；，当且仅当时取等号，故D正确，故选：ACD11.在无穷数列中，，则下列选项正确的是（）A.若，，则对任意，都存在，使得B.若（），，且对任意，都有，则的最大值是C.若，，使得集合中有有限个元素D.若，当时，为递减数列，且存在常数，使得恒成立答案：AC解析：思路：对于选项A，需要分析函数的单调性，结合的范围判断数列的变化趋势；对于选项B，根据递推关系和的条件，通过不等式求解的取值范围；对于选项CD，结合反例可判断它们的正误.解答过程：对于选项A，已知，对其求导得，所以在上单调递增；因为，则，由于，所以，那么.同理，下证：当时，.证明：当时，，故成立；设当时，，则，而，故，由数学归纳法可得，因为时，，故，故对任意，都存在，使得，故A正确.对于选项B，已知．因为对任意，都有，所以，解得，又，即，当时，，不满足对任意，所以的最大值不可能为，故选项B错误.对于选项C，当时，，，以此类推，对任意，都存在，使得，此时集合有有限个元素，故选项C正确；对于选项D，因为，由于，故，所以，这与为递减数列矛盾,故选项D错误.三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填写在答题卡相应位置上）12.已知函数，则___________·答案：解析：思路：利用解析式求解即可.解答过程：，故13.若函数有两个零点，则的取值范围是__________．答案：解析：思路：方法一：令,则即，,转化为一元二次方程有两个正根的问题.方法二：把函数有两个零点转化为方程有两个实数根的问题，再转化为,即函数与函数交点问题.解答过程：令，得，即，方法一：令，则，即，,则一元二次方程有两个正根，那么，所以，的取值范围是.方法二：设，那么设，则，由于在上单调递减，在上单调递增，故在上单调递减，在上单调递增，且，根据函数图象可知，函数有两个零点，则的取值范围是.14.北京天坛圜丘坛分为上、中、下三层.上层中心为天心石，环绕天心石的第一环有9块扇面形石板，以后每环依次增加9块.下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，且每层内部各环也依次增加9块.每层环数相同，且下层石板总数比中层多729块.则每层的环数是________.答案：解析：思路：设每层环数为，分析每层与每环的环数求解.解答过程：设每层环数为，每一环石板构成公差为9的等差数列，上层：首项为9，共环，上层最后一环为，下一层第一环比上一层最后一环多9，所以中层首项为，下层首项为中层末项加9，中层与下层也是项，公差为9的等差数列，两个等差数列项数相同，公差相同，首项相差，项数为，公差为9，则总和之差为，因为下层石板总数比中层多729块，所以，解得.四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15.已知函数．（1）求;（2）设函数，求的值域和单调区间．答案：（1）（2）值域为，单调递减区间为，单调递增区间为.解析：思路：（1）直接由题意得，结合余弦函数的单调性即可得解；（2）由三角恒等变换得，由此可得值域，进一步由整体代入法可得函数的单调区间.（1）由题意，所以；（2）由（1）可知，所以，所以函数的值域为，令，解得，令，解得，所以函数的单调递减区间为，函数的单调递增区间为.16.为研究某疾病与超声波检查结果的关系，从做过超声波检查的人群中随机调查了1000人，得到如下列联表：超声波检查结果组别正常不正常合计患该疾病20180200未患该疾病78020800合计8002001000（1）记超声波检查结果不正常者患该疾病的概率为p，求p的估计值；（2）根据小概率值的独立性检验，分析超声波检查结果是否与患该疾病有关.附，0.0500.0100.0013.8416.63510.828答案：（1）（2）有关解析：思路：（1）根据古典概型的概率公式即可求出；（2）根据独立性检验的基本思想,求出,然后与小概率值对应的临界值比较,即可判断.（1）根据表格可知，检查结果不正常的人中有人患病，所以的估计值为；（2）零假设为：超声波检查结果与患病无关，根据表中数据可得，，根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，即认为超声波检查结果与患该病有关，该推断犯错误的概率不超过.17.已知在中，，，．（1）求；（2）设，两点满足：在的延长线上，，．若，求．答案：（1）（2）解析：思路：（1）由已知两边及夹角，先用余弦定理求第三边，再用余弦定理求；（2）建立坐标系，设出点坐标，由平行关系得点的坐标，利用垂直条件求参数，由长度解出，再计算.（1）在中，，，.由余弦定理可知，故.再由余弦定理得.（2）以为原点，为轴正方向建立平面直角坐标系如图：则，，由，得.在延长线上，设，则，，，设，则.由，得，故.于是.已知，则，则.代入得，而，故.18.如图，在四棱锥中，平面，，，，，为中点．（1）求证：平面；（2）求三棱锥的外接球的体积；（3）线段上（不含端点）是否存在点，使得与平面所成角为？若存在，确定点的位置；若不存在，请说明理由.答案：（1）证明：若是的中点，连接，又为中点，则，，由且，所以，，所以四边形为平行四边形，则，平面，平面，则平面；（2）；（3）存在为靠近的处或中点，满足要求.解析：思路：（1）若是的中点，连接，易得四边形为平行四边形，则，再由线面平行的判定证明结论；（2）首先注意是长宽高分别为的长方体的一部分，再求出外接球的半径，即可求球体的体积；（3）构建合适的空间直角坐标系，标出相关点坐标并设且，再求出与平面的方向向量、法向量，应用向量法求线面角得到方程，即可得结论.（1）略（2）由平面，即平面，平面，则由，，则，且都