2026-2027学年广东省深圳市深圳实验中学高中部高三上学期入学分班考试数学试卷（含解析）

/数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合，，则（）A. B. C. D.2.已知复数满足，其共轭复数为，则等于（）．A.26 B.C. D.3.已知平面向量，，若与共线，则（）．A. B.C.或 D.或4.已知函数，若，则（）．A.0 B.2 C.4 D.65.已知函数，，若与的图象有唯一公共点，则的值为（）A.-1 B.0 C. D.16.已知，均为无穷数列，则“存在常数，使得”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件7.在一组样本数据中，1，2，3，4出现的频率分别为，，，，，且满足，，，记样本的方差为，则的最大值是（）A.1.25 B.1.5 C.2 D.2.258.在平行六面体中，底面ABCD是菱形，，，设，，，的重心分别为O，P，Q，R，则四面体OPQR的体积为（）A. B. C. D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.若，则下列说法正确的有（）A.B.C.若越大，则越小D.不随的变化而变化10.已知直线，点，，，则（）．A.点的集合是B.点的集合是C.点到直线的距离的取值范围是D.点到直线的距离的取值范围是11.在中，下列说法正确的是（）A. B.C.可能为0 D.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.是双曲线上一点，点，分别是双曲线左右焦点，若，则______．13.从1，2，3，4，5，6这6个数中任取4个数排成一个不单调的数列，有________种排法．14.已知曲线与直线（）相切，且满足条件的的值有且只有个，则实数a的取值范围是______．四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.在中，角所对的边分别为，若．（1）求A的大小；（2）若，求的面积．16.如图，在四面体中，，，平面，是的中点，是的中点，点在线段上，且．（1）求证：平面；（2）求平面与平面夹角的余弦值．17.某网约车平台上的车辆分为两类，普通车占比，优先车占比，普通车接单概率为，优先车接单概率为，各车是否接单相互独立．平台按就近原则依次派车，直至某车接单，记派车成功时的派车次数为．（1）求第一次派车就能成功接单的概率；（2）已知第一次派车失败，求后续派车次数超过3次才能接单成功的概率；（3）求数学期望．参考公式：若，对于，，18.已知抛物线，为坐标原点，直线经过该抛物线的焦点，且与抛物线交于，两点，为线段中点，动直线在轴上方.（1）求抛物线的方程；（2）当线段在直线上方时，直线等分的面积，求的值；（3）点在直线上的射影为点，是否存在使得以为圆心且过点的圆过定点，若存在，求出的值及定点坐标；若不存在，请说明理由.19.已知函数，．（1）当，解不等式．（2）若有2个零点，证明：．（3）当时，正数m，n满足，，用a表示的取值范围．

数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合，，则（）A. B. C. D.答案：C解析：解答过程：由可得，所以，，故选：C．2.已知复数满足，其共轭复数为，则等于（）．A.26 B.C. D.答案：A解析：解答过程：解法一：因为，即.所以，，因此.解法二：由复数运算性质可知，又由复数模的运算性质，所以，因此.3.已知平面向量，，若与共线，则（）．A. B.C.或 D.或答案：C解析：思路：先计算两个待判断共线的向量的坐标，再利用平面向量共线的坐标充要条件列方程求解参数.解答过程：已知平面向量，，所以，.因为与共线，根据平面向量共线的坐标充要条件得，解得或.4.已知函数，若，则（）．A.0 B.2 C.4 D.6答案：D解析：思路：根据的值，即可求解.解答过程：，，所以，则.5.已知函数，，若与的图象有唯一公共点，则的值为（）A.-1 B.0 C. D.1答案：A解析：思路：根据题意，分别求得和的图象关于对称，画出图象，结合图象，得到唯一的交点为，代入即可求解.解答过程：由函数，可得其周期为，且，又由，所以的图象关于对称，又由函数，可得函数的图象也关于对称，将，代入，可得，因为与的图象有唯一公共点，如图所示，可得函数与的图象有唯一的公共点，将代入，可得，解得，所以实数的值为.6.已知，均为无穷数列，则“存在常数，使得”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件答案：A解析：思路：通过验证充分性与必要性，即可得出结论.解答过程：由题意，，是无穷数列，验证充分性：当存在常数，使时，，，显然成立，验证必要性：当，时，此时满足,假设存在常数，使成立，当时，，，此时，需同时“不小于无限增大的”和“不大于无限增大的”，但不存在这样的固定常数，∴当时，无法必然推出“存在常数”，即必要性不成立，∴“存在常数，使”是“”的充分不必要条件.7.在一组样本数据中，1，2，3，4出现的频率分别为，，，，，且满足，，，记样本的方差为，则的最大值是（）A.1.25 B.1.5 C.2 D.2.25答案：D解析：思路：由样本平均数和方差的计算公式代入数据求解即可.解答过程：设

，，由

，

得

，即

，又

，得

，且

，样本平均数：

，则，代入，化简可得：，是关于

的增函数，当

取最大值

时，

取得最大值

.8.在平行六面体中，底面ABCD是菱形，，，设，，，的重心分别为O，P，Q，R，则四面体OPQR的体积为（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：先看出，，，分别是四面体四个面的重心，因此四面体与四面体的体积比为．再求出平行六面体的体积，并利用四面体的体积是该平行六面体体积的，即可求得结果．解答过程：由题意可知，，，，分别是四面体四个面的重心，如图．在任意四面体中，连接四个面的重心得到的小四面体与原四面体对应边平行，且相似比为，所以体积比为因此下面求．设平行六面体的体积为．底面是边长为，夹角为的菱形，所以设到底面的距离为．由于与，的夹角都为，所以在底面上的射影在的角平分线上．设该射影为，则与，的夹角均为．由，可得解得所以故平行六面体的体积为四面体由平行六面体的四个交错顶点组成，其体积为平行六面体体积的，故于是二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.若，则下列说法正确的有（）A.B.C.若越大，则越小D.不随的变化而变化答案：ACD解析：解答过程：，对于A，，A正确；对于B，，B错误；对于C，由越大，得正态曲线越矮胖，则越小，C正确；对于D，，根据原则知不随的变化而变化，D正确.10.已知直线，点，，，则（）．A.点的集合是B.点的集合是C.点到直线的距离的取值范围是D.点到直线的距离的取值范围是答案：BC解析：思路：根据原点到直线的距离，确定直线的特征，再结合点和直线的关系，判断AB，根据原点到直线的距离，再结合点与圆的位置关系，即可判断CD.解答过程：原点到直线的距离，因此直线都是圆的切线，，，所以点始终不在任何切线上，即点在圆的内部，满足，故A错误，B正确；原点到直线的距离，所以直线在圆外，圆内点到直线的最小距离为，最大距离为，又不包含圆的边界，因此距离的取值范围是，故C正确，D错误.11.在中，下列说法正确的是（）A. B.C.可能为0 D.答案：ABD解析：思路：利用可判断A；利用三角恒等变换可得可判断B；利用三角恒等变换可得可判断C；利用三角恒等变换可得，进而利用均值不等式可判断D.解答过程：对于A，因为，，，所以，所以，故A正确；对于B，因为.因为，，，所以，，，所以，所以，故B正确；因为，所以，所以，所以，所以，所以，又因为，所以不可能为0，故C错误；因为，所以，所以，所以，所以.又，，，所以，所以，所以，所以，所以，当且仅当，即时取等号，故D正确.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.是双曲线上一点，点，分别是双曲线左右焦点，若，则______．答案：解析：思路：根据双曲线的定义求解即可.解答过程：由双曲线，得，.若在左支上，则，此时，故；若在右支上，则，这与矛盾，所以．13.从1，2，3，4，5，6这6个数中任取4个数排成一个不单调的数列，有________种排法．答案：解析：思路：采用排除法，先计算从6个数中任取4个数的全排列总数，再减去单调递增、单调递减的数列个数，即可得到不单调的数列排法数.解答过程：1、计算总排列数：从6个互不相同的数中任取4个进行排列，总排法为排列数2、计算单调数列的个数：由于选出的4个数互不相同，对任意一组选出的4个数，严格单调递增的排列唯一，严格单调递减的排列也唯一，从6个数中选取4个数的组合数为：，因此单调递增数列共15种，单调递减数列共15种，合计单调数列有种计算不单调数列的排法：不单调数列的排法数=总排列数单调数列排法数，即.14.已知曲线与直线（）相切，且满足条件的的值有且只有个，则实数a的取值范围是______．答案：解析：思路：依题意有3个不同值关于的方程有3个不同实根，通过极值异号求解实数a的取值范围.解答过程：设切点横坐标为，，则，依题意，，即，整理得依题意有3个不同值关于的方程有3个不同实根，设，则令，得极值点：，要使有3个不同实根，需两个极值点处函数值异号，因，，由,可得，解得，则实数a的取值范围是.四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.在中，角所对的边分别为，若．（1）求A的大小；（2）若，求的面积．答案：（1）（2）解析：解答过程：（1）因为，由正弦定理可得：，即，在中，，所以，因为，所以；（2）由（1）知，，因为，，由余弦定理，得：即，得，所以的面积．16.如图，在四面体中，，，平面，是的中点，是的中点，点在线段上，且．（1）求证：平面；（2）求平面与平面夹角的余弦值．答案：（1）法1：以为原点，分别以射线、、方向为、、轴正方向建立空间直角坐标系，不妨设，由已知得，，，．由是中点，得．是中点，故．由，得，因此．平面的法向量为．因为，且平面，因此平面．法2：取的中点，连结、，由是的中点可得．由平面，平面，因此平面．由是的中点得，又．所以，而平面，平面，因此平面．由得，平面平面．因为平面，所以平面．（2）解析：思路：（1）法1：建系求出向量，利用它与底面法向量垂直，直接证线面平行；法2：构造中位线得到两组相交直线分别平行底面，由面面平行推出线面平行；（2）建立坐标系求出两个平面的法向量，套用夹角公式，取绝对值计算面面夹角的余弦值.（1）略（2）以为原点，分别以射线、、方向为、、轴正方向建立空间直角坐标系，不妨设，由已知得，，，．由是中点，得；是中点，故．由，得，因此．设平面的法向量为，已知，．由得，令，解得，，即．因为平面的法向量为．故．所以平面与平面夹角的余弦值为．17.某网约车平台上的车辆分为两类，普通车占比，优先车占比，普通车接单概率为，优先车接单概率为，各车是否接单相互独立．平台按就近原则依次派车，直至某车接单，记派车成功时的派车次数为．（1）求第一次派车就能成功接单的概率；（2）已知第一次派车失败，求后续派车次数超过3次才能接单成功的概率；（3）求数学期望．参考公式：若，对于，，答案：（1）（2）（3）解析：思路：（1）根据全概率公式即可求解；（2）根据条件概率公式计算即可求解；（3）根据题意求出，根据离散型随机变量的数学期望定义，令，利用错位相减法求出，然后取极限求值即可.（1）设事件A：“第一次派车就能成功接单”，事件B：“第一次派的是普通车”，事件C：“第一次派的是优先车”，则.（2）设后续派车次数超过3次，即前4次派车都失败，即，可得.（3）由题意得，，令，，，得到，故.18.已知抛物线，为坐标原点，直线经过该抛物线的焦点，且与抛物线交于，两点，为线段中点，动直线在轴上方.（1）求抛物线的方程；（2）当线段在直线上方时，直线等分的面积，求的值；（3）点在直线上的射影为点，是否存在使得以为圆心且过点的圆过定点，若存在，求出的值及定点坐标；若不存在，请说明理由.答案：（1）（2）（3），定点解析：思路：（1）利用抛物线标准方程的焦点坐标公式，结合直线恒过的定点与焦点重合，直接求解参数，得到抛物线方程；（2）联立直线与抛物线方程，通过韦达定理得到交点坐标的整体关系，结合三角形面积及共线线段的纵坐标比例，将面积条件转化为与交点纵坐标的等式，进而求出；（3）用斜率参数表示圆心、半径相关点的坐标，写出圆的标准方程，将方程整理为关于参数的多项式，构造方程组即可求解.（1）抛物线的焦点坐标为，因为直线经过该抛物线的焦点，