2026-2027学年湖南省衡阳市衡阳县第五中学高二上学期9月月考数学试卷（含解析）

/数学一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.在空间直角坐标系中，点关于y轴的对称点为（）A. B. C. D.2.已知过原点的直线与圆相交，则直线的斜率的取值范围是（）A. B.C. D.3.已知是直线的方向向量，直线经过点，则点到直线的距离为（）A. B. C. D.4.设，两直线与垂直，则的最大值为（）A. B. C.1 D.25.已知向量，，则（）A. B. C. D.6.在平面直角坐标系中，已知点，圆.若圆上存在点，使得，则实数的值不可能是（）A. B.0 C. D.7.如图，在圆锥中，点A，B在底面圆周上，点C，D分别是母线的中点，，记，则（）A. B. C. D.8.在四棱锥中，底面为正方形，底面分别为的中点，则直线与平面所成角的正弦值为（）A. B. C. D.二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知向量，，则下列结论中正确的是（）A.若，则 B.若，则C.不存在实数，使得 D.若，则10.已知圆，圆，则（）A.无论k取何值，圆心始终在直线上B.若圆O与圆有公共点，则实数k的取值范围为C.若圆O与圆的公共弦长为，则或D.与两个圆都相切的直线叫做这两个圆的公切线，如果两个圆在公切线的同侧，则这条公切线叫做这两个圆的外公切线，当时，两圆的外公切线长为11.如图，平面，，则（）A.B.平面C.平面与平面夹角的余弦值为D.直线与平面所成角的正弦值为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知圆：（）与圆：没有公共点，则r的取值范围是______.13.设点，若直线关于对称的直线与圆有公共点，则a的取值范围是________．14.如图，棱长为3的正方体的顶点在平面上，三条棱都在平面的同侧，若顶点到平面的距离分别为，，则顶点到平面的距离是______.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知圆:，点坐标为，为圆上动点，中点为.（1）当点在圆上动时，求点的轨迹方程；（2）过点的直线与的轨迹相交于两点，且，求直线的方程.16.已知直线的方程为，若直线在轴上的截距为，且．（1）求直线和的交点坐标；（2）已知直线经过与的交点，且与两坐标轴的正半轴围成的三角形的面积为，求直线的方程．17.如图，在直三棱柱中，，，点、分别为棱、的中点．（1）求证：平面；（2）求直线与直线的夹角的余弦值；（3）求点到平面的距离．18.如图，在底面为平行四边形的四棱锥中，平面，且，点是的中点.（1）求证：；（2）求二面角的大小.19.如图，在三棱柱中，平面，，，，点D，E分别在棱和棱上，且，，M为棱的中点．（1）求证：；（2）求直线与平面所成角的正弦值；（3）在线段上是否存在点H，使得平面与平面所成角的余弦值为？若存在，求出的长度；若不存在，请说明理由．

数学一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.在空间直角坐标系中，点关于y轴的对称点为（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：根据关于谁对称谁不变这一结论直接写结论即可.解答过程：根据关于y轴对称的对称点的坐标的特点，可得点关于y轴的对称点为.故选：A.2.已知过原点的直线与圆相交，则直线的斜率的取值范围是（）A. B.C. D.答案：C解析：思路：先设直线方程，然后利用直线与圆的位置关系建立不等式求解即可.解答过程：设直线方程为，由题可知圆心到直线的距离小于半径，圆圆心为，半径，所以有故选：C3.已知是直线的方向向量，直线经过点，则点到直线的距离为（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：由点到线的距离公式即可求解；解答过程：由题意直线的方向向量，，则，，，所以点到直线的距离为，故选：B.4.设，两直线与垂直，则的最大值为（）A. B. C.1 D.2答案：A解析：思路：依题意可得，再代入，利用基本不等式计算可得.解答过程：因为直线与垂直，所以，即，所以，当且仅当，即，时取等号.故选：A5.已知向量，，则（）A. B. C. D.答案：A解析：解答过程：由，，可得，，则，，所以，所以．6.在平面直角坐标系中，已知点，圆.若圆上存在点，使得，则实数的值不可能是（）A. B.0 C. D.答案：D解析：思路：根据条件及两点距离公式计算M的轨迹，利用两圆的位置关系计算即可.解答过程：设，由题意可知，即是圆与圆的交点，由两圆位置关系可知圆心距满足：，即.故选：D7.如图，在圆锥中，点A，B在底面圆周上，点C，D分别是母线的中点，，记，则（）A. B. C. D.答案：D解析：思路：利用空间向量运算法则计算即可判断结果.解答过程：由题可知,由得,因为点C，D分别是母线的中点，所以，则.故选：D8.在四棱锥中，底面为正方形，底面分别为的中点，则直线与平面所成角的正弦值为（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：根据题意，建立空间直角坐标系，得出直线方向向量，利用线面角公式计算即可得.解答过程：建立如图所示空间直角坐标系，设，则，，，，由分别为的中点，则，，则，，,设平面的法向量为，则，设，则，所以平面的法向量为，设直线与平面所成角为，.故选：C.二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知向量，，则下列结论中正确的是（）A.若，则 B.若，则C.不存在实数，使得 D.若，则答案：ACD解析：解答过程：对于A，由，可得，解得，故A正确；对于B，由，可得，解得，故B错误；对于C，假设存在实数，使得，则，方程组无解，所以不存在实数，使得，故C正确；对于D，由，可得，解得，所以，故D正确．10.已知圆，圆，则（）A.无论k取何值，圆心始终在直线上B.若圆O与圆有公共点，则实数k的取值范围为C.若圆O与圆的公共弦长为，则或D.与两个圆都相切的直线叫做这两个圆的公切线，如果两个圆在公切线的同侧，则这条公切线叫做这两个圆的外公切线，当时，两圆的外公切线长为答案：ACD解析：思路：求出圆Ck的圆心坐标即可判断选项A；根据两圆有公共点的条件求出的范围即可判断选项B；求出公共弦所在直线方程，结合公共弦长和垂径定理求出的值即可判断选项C；根据的值求出圆Ck的半径，利用两圆的半径求出外公切线长即可判断选项D.解答过程：圆Ck的圆心坐标为，在直线上，A项正确；若圆O与圆Ck有公共点，则1≤|OCk|≤3，所以，解得或，B项错误；将圆O与圆Ck的方程作差可得公共弦所在直线的方程为，则圆心O到直线的距离，则，解得或，C项正确；当时，圆O与圆Ck外切，圆心距为3，半径差为1，则外公切线长为，D项正确．故选：ACD．11.如图，平面，，则（）A.B.平面C.平面与平面夹角的余弦值为D.直线与平面所成角的正弦值为答案：BCD解析：思路：建立合适的空间直角坐标系，利用空间向量研究位置关系与线面夹角，面面夹角即可.解答过程：根据题意可知两两垂直，不妨以A为原点建立空间直角坐标系，如图所示，可得，则，，所以，所以，不垂直，故A错误；依题意，是平面的法向量，又，可得，则，又因为直线平面，所以平面，故B正确；设为平面的一个法向量，则，令，可得，而即底面的一个法向量，设平面与平面夹角，则,故C正确；设直线与平面所成角为，，则，故D正确.故选：BCD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知圆：（）与圆：没有公共点，则r的取值范围是______.答案：解析：思路：根据两圆无公共点，可知两圆外离或者内含，根据圆心距和两圆半径的关系即可求解.解答过程：圆的圆心坐标为，半径为；圆的圆心坐标为，半径为1，则，因为两圆没有公共点，所以两圆的位置关系为外离或内含，若外离：；若内含：，综上.故答案为.13.设点，若直线关于对称的直线与圆有公共点，则a的取值范围是________．答案：解析：思路：首先求出点关于对称点的坐标，即可得到直线的方程，根据圆心到直线的距离小于等于半径得到不等式，解得即可；解答过程：解：关于对称的点的坐标为，在直线上，所以所在直线即为直线，所以直线为，即；圆，圆心，半径，依题意圆心到直线的距离，即，解得，即；故14.如图，棱长为3的正方体的顶点在平面上，三条棱都在平面的同侧，若顶点到平面的距离分别为，，则顶点到平面的距离是______.答案：解析：思路：求点到平面的距离，建立空间直角坐标系，由顶点到平面的距离分别为，，利用空间点到平面距离公式，求出平面的法向量，即可求出结论.解答过程：如图，以为坐标原点，建立空间直角坐标系，则，所以，设平面的一个法向量为，则点到平面距离为，①点到平面距离为，②由①②可得，所以到平面的距离为.故答案为:.方法提示：本题考查点到平面的距离，利用空间直角坐标系解题时，正确建立空间坐标系是关键，属于较难题.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知圆:，点坐标为，为圆上动点，中点为.（1）当点在圆上动时，求点的轨迹方程；（2）过点的直线与的轨迹相交于两点，且，求直线的方程.答案：（1）（2）或解析：思路：（1）设，利用代入法求得点的轨迹方程.（2）对直线的斜率是否存在进行分类讨论，结合求得直线的方程.（1），所以在圆外.设，由于的中点是，所以，所以，整理得，所以点的轨迹方程为.（2）点的轨迹方程为，所以是以为圆心，半径为的圆，当直线的斜率不存在时，直线的方程为，由，解得或，满足.当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即，由于，，，所以圆心到直线的距离为，即，解得，所以直线的方程为，即.综上所述，直线的方程为或.16.已知直线的方程为，若直线在轴上的截距为，且．（1）求直线和的交点坐标；（2）已知直线经过与的交点，且与两坐标轴的正半轴围成的三角形的面积为，求直线的方程．答案：（1）；（2）或.解析：思路：（1）由，可得直线的斜率，从而可得，联立方程组即可求得交点；（2）由题意知的斜率k存在，设，求得与坐标轴的交点坐标，再结合面积公式即可求解.（1）（1）因为，又直线的斜率,所以直线的斜率,则.由所以直线和的交点坐标为.（2）由题意知的斜率k存在，设令得，令得，因为直线与两坐标轴的正半轴相交，所以，解得，，解得或，即或.17.如图，在直三棱柱中，，，点、分别为棱、的中点．（1）求证：平面；（2）求直线与直线的夹角的余弦值；（3）求点到平面的距离．答案：（1）在直三棱柱中，且，则四边形为平行四边形，所以，且，因为、分别为、的中点，则且，所以，四边形为平行四边形，所以，，因为平面，平面，因此，平面.（2）（3）解析：思路：（1）证明出四边形为平行四边形，可得出，再利用线面平行的判定定理可证得结论成立；（2）以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得直线与直线的夹角的余弦值；（3）利用空间向量法可求得点到平面的距离.（1）略（2）因为平面，，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，因为，则、、、，所以，，，，所以，直线与直线的夹角的余弦值为.（3）易知，，，设平面的法向量为，则，取，可得，且，所以，点到平面的距离为.18.如图，在底面为平行四边形的四棱锥中，平面，且，点是的中点.（1）求证：；（2）求二面角的大小.答案：（1）证明：法一：平面且平面，又因为且平面PAB，平面，平面.法二：由题意可知平面，以为坐标原点，以方向为轴，方向为轴，方向为轴建立空间直角坐标系，AI因为，所以，所以，即，因此，故可知.（2）解析：思路：（1）法一：根据线面垂直的判定定理证明平面，由此可证明；法二：建立合适空间直角坐标系，然后分别表示出的坐标，根据完成证明；（2）先分别求解出平面和平面的一个法向量，然后根据法向量夹角的余弦值确定出法向量的夹角，再结合图形求解出二面角的大小.（1）略（2）因为底面为平行四边形，所以，故，因为点是的中点，故，所以，设平面的法向量为，所以，所以，取，可得，所以平面的一个法向量为，由题意可知，平面的一个法向量为，因此，故两法向量的夹角为，经观察，二面角为钝角，所以二面角的大小为.19.如图，在三棱柱中，平面，，，，点D，E分别在棱和棱上，且，，M为棱的中点．（1）求证：；（2）求直线与平面所成角的正弦值；（3）在线段上是否存在点H，使得平面与平面所成角的余弦值为？若存在，求出的长度；若不存在，请说明理由．答案：（1）证明如下：由题意知在三棱柱中，平面，平面，则，，又，建立如图空间直角坐标系，则，，，，，∴，，得，所以．（2）（3）存在；解析：思路：（1）根据，，，建立空间直角坐标系，由