2026-2027学年湖南省长沙市麓山国际实验学校高二上学期9月入学学情检测数学试卷（含解析）

/数学总分:150分时量：120分钟一.选择题(共8小题)1.已知复数，则z的虚部为（）A.1 B.2 C.i D.2.已知是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题正确的是（）A.若，则 B.若，则C.若，则 D.若，则3.已知圆锥的侧面展开图是一个半径为2，圆心角为的扇形，则该圆锥的体积为（）A. B. C. D.4.已知向量满足在上的投影向量为，则（）A. B. C.12 D.65.已知正三棱锥的六条棱长均为6，S是及其内部的点构成的集合．设集合，则T表示的区域的面积为（）A. B. C. D.6.已知，则下列结论不正确的是（

）A.若，则B.若，则C.若，则或D.若与的夹角为钝角，则且7.甲､乙两人参加某项活动，甲获奖的概率为0.5，乙获奖的概率为0.4，甲､乙两人同时获奖的概率为0.2，则甲､乙两人恰有一人获奖的概率为（）A.0.3 B.0.5 C.0.7 D.0.98.任意一个复数（i为虚数单位）均可以表示为的形式，由棣莫弗定理可知：若，则，已知则（）A.1 B.0 C. D.二.多选题(共3小题)9.有一组样本数据的平均数为，方差为，则下列说法正确的是（）A.设，则样本数据的平均数为B.设，则样本数据的方差为C.样本数据的平均数为D.10.在中，下列命题正确的是（）A.若，则B.若，则定为等腰三角形C.若，则定为直角三角形D.若三角形的三边的比是，则此三角形的最大角为钝角11.如图，在棱长为2的正方体中，已知分别是棱的中点，点满足，下列说法正确的是（）A.不存在使得B.若四点共面，则C.若，点在侧面内，且平面，则点的轨迹长度为D.若，由平面分割该正方体所成的两个空间几何体和，某球能够被整体放入或，则该球的表面积最大值为三.填空题(共3小题)12.已知空间A、B、C、D四点共面，且其中任意三点均不共线，设P为空间中任意一点，若，则______．13.设复数，满足，，则=__________.14.在三棱锥中，若，，二面角为，则三棱锥外接球的表面积为__________.四.解答题(共5小题)15.在中，角，，的对边分别为，，.已知，.（1）证明:为钝角三角形;（2）若的面积为，求的值.16.某学校组织全校学生进行了一次“两会知识知多少”的问卷测试，已知所有学生的测试成绩均位于区间，从中随机抽取了200名学生的测试成绩，绘制得到如图所示的频率分布直方图.（1）求图中的值，并估算这200名学生的测试成绩的中位数和平均数；（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）.（2）若样本数据在的平均成绩，方差，在的平均成绩，方差，求在的平均成绩和方差；（方差精确到）.（3）现学校准备利用按比例的分层随机抽样方法，从和的学生中抽取7人组成两会知识宣讲团.从选定的7人中随机抽取2人对高一同学进行宣讲，设事件为“至多有1人测试成绩位于区间”，求事件发生的概率.17.记的内角的对边分别为，已知的面积为，为中点，且．（1）若，求；（2）若，求．18.如图，四棱锥的侧面是边长为2的正三角形，底面为正方形，且平面平面分别为的中点.（1）求四棱锥的体积；（2）证明：；（3）求直线与平面所成角的正弦值.19.如图，四棱锥中，底面，，，.（1）若，证明：∥平面；（2）若，且二面角的余弦值为，求.

数学总分:150分时量：120分钟一.选择题(共8小题)1.已知复数，则z的虚部为（）A.1 B.2 C.i D.答案：B解析：解答过程：因为复数，所以z的虚部为2.2.已知是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题正确的是（）A.若，则 B.若，则C.若，则 D.若，则答案：D解析：思路：应用线面位置关系结合线面平行及线面垂直判断求解.解答过程：对于A，若，，，则与平行或异面，故A错误；对于，若，，则或，故B错误；对于C，若，，则或，又，则与可能平行、相交或在平面内，故C错误；对于D，若，，则或，又，则，故D正确．3.已知圆锥的侧面展开图是一个半径为2，圆心角为的扇形，则该圆锥的体积为（）A. B. C. D.答案：B解析：解答过程：设该圆锥底面圆的半径为，则，解得，所以该圆锥的高为，所以该圆锥的体积为.4.已知向量满足在上的投影向量为，则（）A. B. C.12 D.6答案：A解析：思路：根据投影向量的公式代入已知条件计算即可求值.解答过程：因为在上的投影向量为，所以.故选：A.5.已知正三棱锥的六条棱长均为6，S是及其内部的点构成的集合．设集合，则T表示的区域的面积为（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：求出以为球心，5为半径的球与底面的截面圆的半径后可求区域的面积.解答过程：设顶点在底面上的投影为，连接，则为三角形的中心，且，故.因为，故，故的轨迹为以为圆心，1为半径的圆，而三角形内切圆的圆心为，半径为，故的轨迹圆在三角形内部，故其面积为故选：B6.已知，则下列结论不正确的是（

）A.若，则B.若，则C.若，则或D.若与的夹角为钝角，则且答案：D解析：思路：运用向量的数量积坐标运算，共线、垂直向量的坐标表示，结合夹角、模长公式，逐个计算验证即可.解答过程：对于A：因为且，则，解得，A正确；对于B：若，所以，解得，故B正确；对于C：因为，则，所以，解得或，故C正确；对于D：若与的夹角为钝角，则且与为不共线向量，即且，取满足题意，但是且不成立，故D错误.故选：D7.甲､乙两人参加某项活动，甲获奖的概率为0.5，乙获奖的概率为0.4，甲､乙两人同时获奖的概率为0.2，则甲､乙两人恰有一人获奖的概率为（）A.0.3 B.0.5 C.0.7 D.0.9答案：B解析：思路：根据两人恰有一人获奖，可分类讨论，即可求得概率.解答过程：设甲获奖为事件，乙获奖为事件，所以，，，因为，所以事件与事件相互独立，根据题意，甲､乙两人恰有一人获奖的概率为，故选：B.8.任意一个复数（i为虚数单位）均可以表示为的形式，由棣莫弗定理可知：若，则，已知则（）A.1 B.0 C. D.答案：D解析：思路：根据三角函数的周期可得的周期，即可计算求解.解答过程：，故，由于的周期均为，因此也是以3为周期，由于，因此.二.多选题(共3小题)9.有一组样本数据的平均数为，方差为，则下列说法正确的是（）A.设，则样本数据的平均数为B.设，则样本数据的方差为C.样本数据的平均数为D.答案：AB解析：思路：根据平均数定义计算判断A，应用方差公式计算判断B，D，举反例计算判断C.解答过程：对于A，的平均数为，故A正确；对于B，的平均数为，其方差为，故B正确；对于C，举反例，如1，2，3这3个数的平均数为2，但，，这3个数的平均数为，故C不正确；对于D，，故D不正确10.在中，下列命题正确的是（）A.若，则B.若，则定为等腰三角形C.若，则定为直角三角形D.若三角形的三边的比是，则此三角形的最大角为钝角答案：ACD解析：思路：选项，由三角形边角关系和正弦定理，可判断为正确；选项，由三角函数确定角的关系，要结合角范围，所以错误；选项，用正弦定理边化角，再将代入展开，整理可得，所以正确；选项，用余弦定理求出最大边所对的角，判断正确.解答过程：在中，若，则，因此，A正确；若，则或，即或，所以为等腰三角形或直角三角形，B错误；若，则，所以，即，，所以定为直角三角形，C正确；三角形的三边的比是，设最大边所对的角为，则，因为，所以，D正确.故选:ACD.方法提示：本题考查正弦定理和余弦定理解三角形，以及判断三角形的形状，注意角的范围及三角形内角和等于，属于中档题.11.如图，在棱长为2的正方体中，已知分别是棱的中点，点满足，下列说法正确的是（）A.不存在使得B.若四点共面，则C.若，点在侧面内，且平面，则点的轨迹长度为D.若，由平面分割该正方体所成的两个空间几何体和，某球能够被整体放入或，则该球的表面积最大值为答案：ACD解析：思路：由中边长的大小，判断A选项；由正方体的截面判断B选项，由面面平行得点的轨迹，计算长度判断C选项；体积法计算内切球半径和表面积，判断D选项.解答过程：正方体中，由，故中，不可能是直角三角形的斜边，即不存在使得，A选项正确；分别是棱的中点，点为中点时，平面在正方体上的截面为正六边形，则四点共面，有，B选项错误；若，则为上靠近点的三等分点，取上靠近的三等分点，的中点，连接则在正方形中，可得，平面，平面，则有平面，同理可由，证明平面，平面，，所以平面平面，点在侧面内，且平面，所以即为点的轨迹，，C选项正确；若，则为的中点，平面分割该正方体所成的两个空间几何体和，平面在正方体上的截面为正六边形，某球能够被整体放入或，该球的表面积最大时，是以为顶点，底面为正六边形的正六棱锥的内切球，正六边形的边长为，面积为，正六棱锥，侧棱长，每个侧面面积为，棱锥的高为，设该球的半径为，由体积法可得，解得，所以该球的表面积为，D选项正确.故选：ACD方法提示：方法点睛：正方体中的线面位置关系，角度距离和截面等问题，要充分利用好正方体的结构特征，而内切球的半径，可利用体积法计算.三.填空题(共3小题)12.已知空间A、B、C、D四点共面，且其中任意三点均不共线，设P为空间中任意一点，若，则______．答案：解析：思路：根据空间四点共面的充要条件代入即可解决．解答过程：解：，即，整理得，由、、、四点共面，且其中任意三点均不共线，可得，解得，故．13.设复数，满足，，则=__________.答案：解析：思路：方法一：令，，根据复数的相等可求得，代入复数模长的公式中即可得到结果.方法二：设复数所对应的点为,,根据复数的几何意义及复数的模，判定平行四边形为菱形，，进而根据复数的减法的几何意义用几何方法计算.解答过程：方法一：设，，，，又，所以，，.故答案为.方法二：如图所示，设复数所对应的点为,,由已知,∴平行四边形为菱形，且都是正三角形，∴，∴.方法提示：方法一：本题考查复数模长的求解，涉及到复数相等的应用；考查学生的数学运算求解能力，是一道中档题.

方法二：关键是利用复数及其运算的几何意义，转化为几何问题求解14.在三棱锥中，若，，二面角为，则三棱锥外接球的表面积为__________.答案：解析：思路：通过确定三角形外接圆圆心位置并利用相似三角形确定球心位置，最后求解外接球表面积.解答过程：取中点，因为，所以为等边三角形.因为且，所以为直角三角形，由对称性可作于点.因为，，故为二面角，.，.因为外接圆圆心位于，外接圆圆心位于，且，所以球心满足平面且平面，故，解得，所以球半径，因此表面积.四.解答题(共5小题)15.在中，角，，的对边分别为，，.已知，.（1）证明:为钝角三角形;（2）若的面积为，求的值.答案：（1），∴由正弦定理可得，；，即.，；；.∴由正弦定理可得，，，.；，，即为钝角.为钝角三角形．（2）4解析：（1）略（2）在中，，，.的面积为，，解得.，，解得．16.某学校组织全校学生进行了一次“两会知识知多少”的问卷测试，已知所有学生的测试成绩均位于区间，从中随机抽取了200名学生的测试成绩，绘制得到如图所示的频率分布直方图.（1）求图中的值，并估算这200名学生的测试成绩的中位数和平均数；（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）.（2）若样本数据在的平均成绩，方差，在的平均成绩，方差，求在的平均成绩和方差；（方差精确到）.（3）现学校准备利用按比例的分层随机抽样方法，从和的学生中抽取7人组成两会知识宣讲团.从选定的7人中随机抽取2人对高一同学进行宣讲，设事件为“至多有1人测试成绩位于区间”，求事件发生的概率.答案：（1），中位数，平均数（2）88；46.57（3）解析：思路：（1）根据频率分布直方图的小矩形的面积和为1求解出的值，先分析出中位数所在的区间，然后根据中位数的求解方法求解，最后按照频率分布直方图中平均数计算方法直接计算即可；（2）利用分层随机抽样的平均数公式与方差公式求解；（3）由按比例分配的分层随机抽样，确认在中抽5人，在中抽2人，列出样本空间和满足事件的总情况，利用求解.（1）根据题意可得，解得，由的频率为：，由的频率为：，由的频率为：，因为，，所以中位数在内，设中位数为，所以，解得，平均数.（2）因为的人数为，的人数为，所以在平均成绩为，在的成绩的方差为：.（3）因为和这两组的频率之比为，所以在中抽5人，在中抽2人，设从学生中抽取的5人为，从学生中抽取的2人为，则这个试验的样本空间为：，故，又因为，则，所以事件的概率为.17.记的内角的对边分别为，已知的面积为，为中点，且．（1）若，求；（2）若，求．答案：（1）；（2）.解析：思路：（1）方法1，利用三角形面积公式求出，再利用余弦定理求解作答；方法2，利用三角形面积公式求出，作出边上的高，利用直角三角形求解作答.（2）方法1，利用余弦定理求出a，再利用三角形面积公式求出即可求解作答；方法2，利用向量运算律建立关系求出a，再利用三角形面积公式求出即可求解作答.（1）方法1：在中，因为为中点，，，则，解得，在中，，由余弦定理得，即，解得，则，，所以.方法2：在中，因为为中点，，，则，解得，在中，由余弦定理得，即，解得，有，则，，过作于，于是，，所以.（2）方法1：在与中，由余弦定理得，整理得，而，则，又，解得，而，于是，所以.方法2：在中，因为为中点，则，又，于是，即，解得，又，解得，而，于是，所以.18.如图，四棱锥的侧面是边长为2的正三角形，底面为正方形，且平面平面分别为的中点.（1）求四棱锥的体积；（2）证明：；（3）求直线与平面所成角的正弦值.答案：（1）（2）