2026-2027学年江苏省南通市南通中学高三上学期第一次教学质量调研练习数学试卷（含解析）

/数学一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知全集为，若，则（）A. B. C. D.2.，，，，下列不等式恒成立的是（）A. B. C. D.3.已知平面向量，设在上的投影向量为，则与的夹角为（）A. B. C. D.4.已知等差数列{an}的前n项和Sn，公差d≠0，．记b1=S2，bn+1=S2n+2–S2n，，下列等式不可能成立的是（）A.2a4=a2+a6 B.2b4=b2+b6 C. D.5.已知数据，2的平均值为2，方差为1，则数据相对于原数据A.一样稳定 B.变得比较稳定C.变得比较不稳定 D.稳定性不可以判断6.在平面直角坐标系内，将椭圆绕原点O旋转得到椭圆，点是椭圆上任意一点，则下列说法错误的是（）A.椭圆的对称轴为 B.的最大值为C.椭圆的离心率为 D.n的最大值为7.若棱长为的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（）A. B. C. D.8.已知函数及其导数的定义域均为在上单调递增，为奇函数，若，则（）A. B.C. D.二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.9.已知向量满足，，则（）A.与的夹角为 B.与的夹角为C. D.10.若数列满足为常数，则称数列为“调和数列”.已知数列为“调和数列”，下列说法正确的是（）A.若，则B.若，且，，则C.若中各项均为正数，则D.若，，则11.设，是一个随机试验中的两个事件，，，则（）A.事件，相互独立B.若，则C.D.若，则必有三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.圆与圆的公共弦长为______.13.已知数列满足，，且=+-（n≥2），则数列的通项公式为_____________.14.在斜中，为锐角，且满足，则的最小值为______.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.如图，在直三棱柱中，，，为棱的中点.（1）证明：平面.（2）求平面与平面的夹角的大小.16.已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，角A为钝角，，．（1）若，求c的值；（2）求面积的最小值．17.某车企为考察选购新能源汽车的款式与性别的关联性，调查100人购买情况，得到如下列联表：新能源汽车款新能源汽车款总计男性5010女性251540总计25100（1）求；（2）根据小概率值的独立性检验，能否认为选购该新能源汽车的款式与性别有关联？（3）假设用样本估计总体，用频率估计概率，所有人选购汽车的款式情况相互独立.若从购买者中随机抽取3人，设被抽取的3人中购买了B款车的人数为，求的数学期望.附：，.0.100.050.0100.0052.7063.8416.6357.87918.已知椭圆的一个顶点为，右焦点为，且，其中为原点．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）已知点满足，点在椭圆上（异于椭圆的顶点），直线与以为圆心的圆相切于点，且为线段的中点．求直线的方程．19.已知函数.（1）求曲线在处的切线方程；（2）设为的导函数，讨论的零点个数；（3）若存在，使得不等式对任意成立，求的取值范围.数学一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知全集为，若，则（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：根据交集、补集运算可知，再结合并集运算求解.解答过程：因为，则，所以.故选：A.2.，，，，下列不等式恒成立的是（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：ACD举反例；B选项由不等式的可加性可判断.解答过程：对于A，若，则，选项不成立，故A错误；对于B，由不等式的可加性可知，，故B正确；对于C、D，若，则选项不成立，故C、D错误．故选：B．3.已知平面向量，设在上的投影向量为，则与的夹角为（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：根据投影向量公式可得，再根据向量夹角公式求解即可.解答过程：在上的投影向量为，即，所以，则，因为，所以.故选：A.4.已知等差数列{an}的前n项和Sn，公差d≠0，．记b1=S2，bn+1=S2n+2–S2n，，下列等式不可能成立的是（）A.2a4=a2+a6 B.2b4=b2+b6 C. D.答案：D解析：思路：根据题意可得，，而，即可表示出题中，再结合等差数列的性质即可判断各等式是否成立．解答过程：对于A，因为数列为等差数列，所以根据等差数列的下标和性质，由可得，，A正确；对于B，由题意可知，，，∴，，，．∴，．根据等差数列的下标和性质，由可得，B正确；对于C，，当时，，C正确；对于D，，，．当时，，∴即；当时，，∴即，所以，D不正确．故选：D.方法提示：本题主要考查等差数列的性质应用，属于基础题．5.已知数据，2的平均值为2，方差为1，则数据相对于原数据A.一样稳定 B.变得比较稳定C.变得比较不稳定 D.稳定性不可以判断答案：C解析：思路：根据均值定义列式计算可得的和，从而得它们的均值，再由方差公式可得，从而得方差．然后判断．解答过程：由题可得：平均值为2，由，，所以变得不稳定.故选：C.方法提示：本题考查均值与方差的计算公式，考查方差的含义．属于基础题．6.在平面直角坐标系内，将椭圆绕原点O旋转得到椭圆，点是椭圆上任意一点，则下列说法错误的是（）A.椭圆的对称轴为 B.的最大值为C.椭圆的离心率为 D.n的最大值为答案：C解析：思路：根据点关于直线对称，即可代入方程验证A，根据不等式即可求解B，根据对称，联立方程可求解半长轴和半短轴的长，即可有离心率公式求解C，根据判别式即可求解D.解答过程：设是椭圆上任意一点，则关于对称的点为，关于对称的点为，由可得和均在曲线上，故椭圆的对称轴为，故A正确；对于B，，则，故，当且仅当取等号，故B正确；对于C，由A可知：是的两条对称轴，令，则，解得，令，则，解得，故长半轴轴长，短半轴长，故离心率为，故C错误；对于D，由可将其看作是关于的方程，且该方程有实数根，故，故，因此n的最大值为，故D正确；故选：C.方法提示：关键点点睛：①根据是的两条对称轴，令和可得长半轴轴长，短半轴长.②将其看作是关于的方程，根据方程有实数根，利用判别式求解.7.若棱长为的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：求出正方体的体对角线的一半，即为球的半径，利用球的表面积公式，即可得解.解答过程：这个球是正方体的外接球，其半径等于正方体的体对角线的一半，即，所以，这个球的表面积为.故选：C.方法提示：本题考查正方体的外接球的表面积的求法，求出外接球的半径是本题的解题关键，属于基础题.求多面体的外接球的面积和体积问题，常用方法有：（1）三条棱两两互相垂直时，可恢复为长方体，利用长方体的体对角线为外接球的直径，求出球的半径；（2）直棱柱的外接球可利用棱柱的上下底面平行，借助球的对称性，球心为上下底面外接圆的圆心连线的中点，再根据勾股定理求球的半径；（3）如果设计几何体有两个交，可过两个面的外心分别作两个面的垂线，垂线的交点为几何体的球心.8.已知函数及其导数的定义域均为在上单调递增，为奇函数，若，则（）A. B.C. D.答案：C解析：思路：先由为奇函数得到，再由的单调性可推得的单调性，根据对称性可得，再比较的大小即可得解.解答过程：因为为奇函数，所以，令，则，故，又在上单调递增，所以当时，，则单调递减；当时，，则单调递增；又因为，则.①在①式中令，可得，故，所以，因为，所以，因为，所以，因为，由于，故上式等号不成立，则，又，所以，即，即，同理可得，所以，所以，即.故选：C.二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.9.已知向量满足，，则（）A.与的夹角为 B.与的夹角为C. D.答案：ACD解析：思路：根据向量数量积的运算律，求出向量与的夹角即可判断A、B，再根据向量模的计算公式及向量垂直的性质判断C、D即可.解答过程：设与的夹角为，由得，将代入得，∴，又，∴，故A正确，B错误;，故C正确;，故，故D正确.故选：ACD.10.若数列满足为常数，则称数列为“调和数列”.已知数列为“调和数列”，下列说法正确的是（）A.若，则B.若，且，，则C.若中各项均为正数，则D.若，，则答案：BCD解析：思路：使用等差中项的性质分析选项A，使用等差数列的定义分析选项B，使用基本不等式分析选项C，使用导数分析选项D.解答过程：依题意可得为等差数列，由，可得，，，所以A错误;由，且，，可得，，，，，所以B正确;由为等差数列，可得，，所以C正确;由，，，则，可求得，令，，，当时，，是减函数，当时，，是增函数，所以恒成立，即在时恒成立，恒成立，，，，则，所以D正确.11.设，是一个随机试验中的两个事件，，，则（）A.事件，相互独立B.若，则C.D.若，则必有答案：BCD解析：思路：对于A：事件，相互独立需满足，根据题意并不是恒成立；对于B：根据条件求出，则即可求解；对于C：根据条件，可判断出，即可判断；对于D：因，若则，且可判断出是唯一解，即可判断.解答过程：对于A，如图，设，，，故，若事件，相互独立，则需要满足，，所以时成立，但不是恒成立，A错误；对于B，，则，，所以，，B正确；对于C，由于，则，所以①，，所以②，由①②得：，即，所以，则，又因为，所以，所以C正确；对于D，，则，又因为，，所以，，化简整理得，又因为，所以，所以，则D正确.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.圆与圆的公共弦长为______.答案：解析：思路：将两圆方程作差可得出相交弦所在直线的方程，求出圆的圆心到相交弦所在直线的距离，利用勾股定理可求得相交弦长.解答过程：将圆与圆的方程作差可得，所以，两圆相交弦所在直线的方程为，圆的圆心为原点，半径为，原点到直线的距离为，所以，两圆的公共弦长为.故答案为.13.已知数列满足，，且=+-（n≥2），则数列的通项公式为_____________.答案：解析：思路：化简题设条件得到，得出数列是以为首项，为公差的等差数列，求得则，再利用叠加法，即可求解，得到答案.解答过程：由题意，数列满足（），两侧同除，可得，即，所以数列是以为首项，为公差的等差数列，则，所以（），当时，适合上式，所以，所以数列的通项公式.故方法提示：关键点睛：本题主要考查了等差数列定义及通项公式，以及“叠加法”的应用，其中解答中熟记等差数列的定义和通项公式，合理利用“叠加法”求解是解答的关键.14.在斜中，为锐角，且满足，则的最小值为______.答案：解析：思路：将已知变形为，用两角和（差）的正弦公式得到，进而得到与的关系，代入用基本不等式即可求最小值.解答过程：，∴∴，∴，∴，又∵，∴，∴，∵为锐角，∴∴,当且仅当，即时等号成立.故方法提示：方法点睛：本题关键是化“弦”为“切”，通过代入减元运用基本不等式求和的最小值.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.如图，在直三棱柱中，，，为棱的中点.（1）证明：平面.（2）求平面与平面的夹角的大小.答案：（1）连接，交于点，连接，则为的中点.因为为棱的中点，则，平面平面，所以平面.（2）.解析：思路：（1）连接，交于点，连接，结合已知有，应用线面平行判定证结论；（2）构建合适的空间坐标系，应用向量法求面面角的大小.（1）略（2）如图，以为原点，，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系.不妨设，则，则，设平面的法向量为，则，令，则，设平面的法向量为，则，令，则，设平面与平面的夹角为，则，因为，所以平面与平面的夹角为.16.已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，角A为钝角，，．（1）若，求c的值；（2）求面积的最小值．答案：（1）（2）72解析：思路：（1）由结合，求得，进而求得，结合，得解；（2）由正弦定理结合条件式可得，进而得，利用基本不等式求解.（1）由，则，又，所以，化简整理得，解得或，又为钝角，故为锐角，所以，则，由，解得，.（2）因为，又，则，所以，所以的面积，又为锐角，所以，，，当且仅当，即，时，取等号，所以的面积的最小值为72.17.某车企为考察选购新能源汽车的款式与性别的关联性，调查100人购买情况，得到如下列联表：新能源汽车款新能源汽车款总计男性5010女性251540总计25100（1）求；（2）根据小概率值的独立性检验，能否认为选购该新能源汽车的款式与性别有关联？（3）假设用样本估计总体，用频率估计概率，所有人选购汽车的款式情况相互独立.若从购买者中随机抽取3人，设被抽取的3人中购买了B款车的人数为，求的数学期望.附：，.0.100.050.0100.0052.7063.8416.6357.879答案：（1），；（2）与性别有关（3）解析：思路：（1）利用表格数据直接计算即可.（2）列出零假设，计算，再进行独立性检验即可.（3）先判断服从二项分布，再利用二项分布的期望公式求解即可.（1）由题意得，.（2）零假设为：选购新能源汽车的款式与性别无关联.根据列联表中的数据，可得，根据小概率值的独立性检验，推断不成立，可以认为选购车的款式与性别有关，此推断犯错误的概率不大于0.05；（3）随机抽取1人购买B款车的概率为，X的可能取值有，由题意得，由二项分布的期望公式得.18.已知椭圆的一个顶点为，右焦点为，且，其中为原点．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）已知点满足，点在椭圆上（异于椭圆的顶点），直线与以为圆心的圆相切于点，且为线段的中点．求直线的方程．答案：（Ⅰ）；（Ⅱ），或．解析：思路：（Ⅰ）根据题意，并借助，即可求出椭圆的方程；（Ⅱ）利用直线与圆相切，得到，设出直线的方程，并与椭圆方程联立，求出点坐标，进而求出点坐标，再根据，求出直线的斜率，从而得解.解答过程：（Ⅰ）椭圆的一个顶点为，，由，得，又由，得，所以，椭圆的方程为；（Ⅱ）直线与以为圆心的圆相切于点，所以，根据题意可知，直线和直线的斜率均存在，设直线的