2026-2027学年安徽省江南十校高三上学期9月综合素质检测数学试卷（含解析）

/数学满分150分，考试时间120分钟.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.样本数据0.12，0.09，0.15，0.08，0.11，0.18，0.14的中位数是（）A.0.08 B.0.14 C.0.12 D.0.132.若集合，，则（）A. B. C. D.3.复数满足，则（）A. B.5 C.15 D.254.抛物线：的焦点为，点在抛物线上，且点到焦点的距离为6，则点的横坐标为（）A.2 B.4 C.6 D.85.已知向量，不共线，且实数，满足，则的值为（）A. B. C. D.96.已知，则（）A.0 B. C. D.7.若函数在区间上有最小值，则正整数的值有（）A.个 B.个 C.个 D.个8.某超市周年庆开展“幸运抽奖”活动，设置了一种盲盒抽奖机制.抽奖箱中有12个除奖品内容不同外，外观完全相同的盲盒，其中有8个“祝您好运”，4个“恭喜中奖”，试验一：从中随机地连续抽取4次，每次取一个盲盒，记录结果后都放回，记取到“恭喜中奖”的个数为；试验二：从中随机地连续抽取4次，每次取一个盲盒，记录结果后都不放回，记取到“恭喜中奖”的个数为，的期望和方差分别为，（为1，2），则下列判断正确的是（）A. B.C. D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.双曲线：的上、下焦点分别为，，下列结论正确的是（）A.的虚轴长为B.的离心率为C.若为上一点，则D.C的渐近线方程为10.记等差数列的前项和为，，，则（）A.数列的公差为2B.数列是等比数列C.的最小值为1D.数列为递增等差数列11.已知圆：，圆：，直线：与圆、圆均相交，且截两圆所得的弦长分别为，，则（）A.圆与圆的公共弦所在直线方程为B.若直线过点，则恒成立C.满足的直线恰有2条D.当时，的最大值为8三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知曲线在点处的切线与直线平行，则点的坐标为______.13.已知函数，为图象的一个对称中心，直线为图象的对称轴，且在区间上单调，则______，______.14.已知四棱锥的底面是正方形，侧棱.为侧棱的中点，三棱锥的外接球球心为，则平面与平面夹角的正弦值为______.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.15.在中，内角，，的对边分别为，，，且满足.（1）求角的大小；（2）若，求的取值范围.16.如图1，已知菱形的对角线和交于点，，.将沿直线折叠，使得平面平面（如图2），连接，，分别是，的三等分点（靠近点），平面与交于点.（1）证明：；（2）求点到平面的距离.17.某校为参加“全国人工智能创新挑战赛”成立了专项培训营.培训营分设“算法优化”和“智能感知”两个小组，每位学生需选择一个小组参加培训.“算法优化”小组现有12名学生，其中7人具备编程竞赛获奖经历，5人无相关获奖经历；“智能感知”小组现有8名学生，其中3人具备编程竞赛获奖经历，5人无相关获奖经历.（1）若从“算法优化”小组中随机依次抽取2名学生进行项目答辩，每人只能被抽取一次.（i）求抽到的这2名学生中至少有1人有编程竞赛获奖经历的概率；（ii）已知抽到的这2名学生中至少有1人有编程竞赛获奖经历，求第2次抽到的学生有编程竞赛获奖经历的概率.（2）若先从“算法优化”小组中随机抽取2名学生调剂到“智能感知”小组，再从“智能感知”小组中随机抽取1名学生进行成果展示，求从“智能感知”小组中抽到的这名学生是有编程竞赛获奖经历的概率.18.已知椭圆：的离心率为，左顶点为.（1）求的方程；（2）过的右焦点作斜率不为0的直线交于,两点.（i）若直线的倾斜角为，为坐标原点，求的面积；（ii）设直线与直线的斜率分别为，，试判断是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由.19.若函数在区间上的最大值与最小值之差为定值，则称函数是在区间上的“距函数”.（1）判断函数是否是区间上的“2距函数”，并说明理由；（2）已知函数是定义在上的奇函数，且，证明：是区间上的“距函数”，并求出的值；（3）若对任意，关于的不等式恒成立且实数的最小值为.（i）求的值；（ii）已知函数是在区间上的“1距函数”，求实数的值.

数学满分150分，考试时间120分钟.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.样本数据0.12，0.09，0.15，0.08，0.11，0.18，0.14的中位数是（）A.0.08 B.0.14 C.0.12 D.0.13答案：C解析：思路：将数据从小到大排列，根据中位数的计算方法求解即可.解答过程：将数据从小到大排列为：，共7个数据，，所以中位数为第4个数据0.12.2.若集合，，则（）A. B. C. D.答案：C解析：解答过程：集合，又，所以.3.复数满足，则（）A. B.5 C.15 D.25答案：B解析：解答过程：因为，所以4.抛物线：的焦点为，点在抛物线上，且点到焦点的距离为6，则点的横坐标为（）A.2 B.4 C.6 D.8答案：B解析：思路：根据焦半径公式直接代入求解即可.解答过程：由题，抛物线：的焦点为，因为点到焦点的距离为6，设，所以，解得，所以点的横坐标为4.5.已知向量，不共线，且实数，满足，则的值为（）A. B. C. D.9答案：A解析：解答过程：根据平面向量基本定理可知，向量，不共线可以作为一组基底，由实数，满足可得，解得，故.6.已知，则（）A.0 B. C. D.答案：D解析：解答过程：令，则，即，令，则，令，则，将与相加，得，解得.7.若函数在区间上有最小值，则正整数的值有（）A.个 B.个 C.个 D.个答案：A解析：思路：利用导数求出函数的极小值点为，分析可知，据此可求出符合条件的正整数的值，即可得解.解答过程：因为，则，因为，则，由可得，，列表如下：增极大值减极小值增所以函数在处取得极小值，因为函数在区间上有最小值，则，易知，所以且，解得，还需，即，整理可得，即，由题意可知，所以，所以，整理可得，解得或，因为，故，解得，结合，可得，又因为，所以.综上所述，符合条件的正整数的取值有且只有个.8.某超市周年庆开展“幸运抽奖”活动，设置了一种盲盒抽奖机制.抽奖箱中有12个除奖品内容不同外，外观完全相同的盲盒，其中有8个“祝您好运”，4个“恭喜中奖”，试验一：从中随机地连续抽取4次，每次取一个盲盒，记录结果后都放回，记取到“恭喜中奖”的个数为；试验二：从中随机地连续抽取4次，每次取一个盲盒，记录结果后都不放回，记取到“恭喜中奖”的个数为，的期望和方差分别为，（为1，2），则下列判断正确的是（）A. B.C. D.答案：C解析：解答过程：∵试验一为有放回抽取，每次抽到“恭喜中奖”的概率，各次抽取相互独立，∴，∴，.的所有可能取值为0,1,2,3,4，∵试验二为不放回抽取，属于超几何分布，∴，，，，.∴，则，故A、B选项错误.，又，∴.∵，∴，故C选项正确，D选项错误.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.双曲线：的上、下焦点分别为，，下列结论正确的是（）A.的虚轴长为B.的离心率为C.若为上一点，则D.C的渐近线方程为答案：ABD解析：解答过程：由题可得双曲线方程可化为，则，双曲线虚轴长为，故A选项正确；双曲线的离心率，故B选项正确；根据双曲线的定义，若在上支则，若在下支则，C选项没有给出具体位置，所以C选项错误；因为焦点在y轴上，故C的渐近线方程为，故D选项正确.10.记等差数列的前项和为，，，则（）A.数列的公差为2B.数列是等比数列C.的最小值为1D.数列为递增等差数列答案：ACD解析：解答过程：设等差数列公差为，则有，解得，A选项正确；，，，不是常数，数列不是等比数列，B选项错误；，由，的最小值为1，C选项正确；设，则，故数列是首项为1公差为1的等差数列，即数列为递增等差数列，D选项正确.11.已知圆：，圆：，直线：与圆、圆均相交，且截两圆所得的弦长分别为，，则（）A.圆与圆的公共弦所在直线方程为B.若直线过点，则恒成立C.满足的直线恰有2条D.当时，的最大值为8答案：BD解析：思路：对于A，根据两圆外切判断；对于B，结合，半径相等即可判断；对于C，根据图象，当直线过点，则，直线方程为时，满足；当和时，满足，进而判断C；对于D，结合题意得，再求最值即可判断.解答过程：已知圆：，圆心，半径；圆：，圆心，半径，弦长公式：，其中为圆心到直线的距离，对于A选项，，故圆与圆外切，没有公共弦，故A选项错误；对于B选项，直线过点，代入得，直线方程：，圆心到直线距离：圆心到直线距离：所以，又两圆半径相等，故弦长恒成立，B选项正确；对于C选项，由B知，当直线过点，则，因为，故，又所以，由弦长公式，，解得，所以，当时，.当直线为水平线时，，因为，即，即，整理得，解得或所以，当和时，，综上，满足条件的直线多于2条，故C错误；对于D选项，当，直线，即，，所以，，因为，当时取得等号，所以，，当时取得等号，即取得最大值，此时直线，截两圆弦长均为直径，，故D选项正确.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知曲线在点处的切线与直线平行，则点的坐标为______.答案：解析：解答过程：设点的横坐标为，由，可得点处的切线斜率为，由切线与直线平行，可得，解得，又，所以点的坐标为.13.已知函数，为图象的一个对称中心，直线为图象的对称轴，且在区间上单调，则______，______.答案：①.6②.1解析：思路：根据给定条件，利用正弦函数的图象性质求解.解答过程：函数的最小正周期，由为图象的一个对称中心，直线为图象的对称轴，得，即，解得，由在区间上单调，得，即，解得，因此，由，得，而，则，此时，符合题意，函数在单调递减，符合题意，所以.14.已知四棱锥的底面是正方形，侧棱.为侧棱的中点，三棱锥的外接球球心为，则平面与平面夹角的正弦值为______.答案：##解析：思路：设底面中心为，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，设点，根据列方程组解出球心的坐标，然后利用空间向量法结合同角三角函数的基本关系可求出平面与平面夹角的正弦值.解答过程：在四棱锥中，底面为正方形，且，则该四棱锥为正四棱锥，设底面中心为，则平面，且，因为平面，所以，由勾股定理可得，易知为的中点，所以，则，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，则、、、、、，设三棱锥的外接球球心的坐标为，由得，解得，即球心为，设平面的一个法向量为，，，则，取，可得，设平面的一个法向量为，，，则，取，可得，所以，故，所以平面与平面夹角的正弦值为.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.15.在中，内角，，的对边分别为，，，且满足.（1）求角的大小；（2）若，求的取值范围.答案：（1）（2）解析：思路：（1）利用正弦定理边化角，再由三角形内角和以及诱导公式化简即可求解；（2）由正弦定理以及基本不等式即可求解.（1）因为，所以由正弦定理得，即，所以，因为，所以，又，所以，所以，即，因为，所以.（2）因为，，所以，当且仅当时，取等号，所以，又，所以实数的取值范围为.16.如图1，已知菱形的对角线和交于点，，.将沿直线折叠，使得平面平面（如图2），连接，，分别是，的三等分点（靠近点），平面与交于点.（1）证明：；（2）求点到平面的距离.答案：（1）证明：因为，分别是，的三等分点（靠近点），所以，又平面，平面，所以平面，又平面，平面平面，所以.（2）解析：思路：（1）先证明，利用线面平行的判定定理推得平面，再由线面平行的性质定理即可证明；（2）根据条件建系，求出相关点与向量的坐标，利用点到平面距离的向量公式计算即得.（1）略；（2）因为菱形的对角线和交于点，所以为的中点，且，，又平面平面，平面平面，平面，所以平面，又平面，所以.故可以为原点，，，所在直线分别为，，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，因，则点为的中点，故，又是的三等分点，则，所以，，，设平面的法向量为，则，故可取，所以点到平面的距离为.17.某校为参加“全国人工智能创新挑战赛”成立了专项培训营.培训营分设“算法优化”和“智能感知”两个小组，每位学生需选择一个小组参加培训.“算法优化”小组现有12名学生，其中7人具备编程竞赛获奖经历，5人无相关获奖经历；“智能感知”小组现有8名学生，其中3人具备编程竞赛获奖经历，5人无相关获奖经历.（1）若从“算法优化”小组中随机依次抽取2名学生进行项目答辩，每人只能被抽取一次.（i）求抽到的这2名学生中至少有1人有编程竞赛获奖经历的概率；（ii）已知抽到的这2名学生中至少有1人有编程竞赛获奖经历，求第2次抽到的学生有编程竞赛获奖经历的概率.（2）若先从“算法优化”小组中随机抽取2名学生调剂到“智能感知”小组，再从“智能感知”小组中随机抽取1名学生进行成果展示，求从“智能感知”小组中抽到的这名学生是有编程竞赛获奖经历的概率.答案：（1）（i）（ii）（2）解析：思路：（1）（i）根据给定条件，利用古典概率公式及对立事件的概率公式求解；（ii）结合（i）的结论，利用条件概率公式求解.（2）利用古典概率公式及全概率公式求解.（1）（i）设事件为“抽到的2名学生中至少1人有编程竞赛获奖经历”，则其对立事件为“抽到的2名学生均无编程竞赛获奖经历”.则，所以.（ii）设事件为“第1次抽到的学生无获奖经历，第2次抽到的学生有获奖经历”，事件为“2次抽到的学生均有获奖经历”，事件为“第2次抽到的学生有获奖经历”.，，由（i）知，，所以.（2）设事件为“从‘算法优化’小组抽取的2名学生中，恰有人有编程竞赛获奖经历”（），事件为“从‘智能感知’小组中抽到的学生有编程竞赛获奖经历”，依题意，，此时“智能感知”小组有3人有获奖经历，共10人，；，此时“智能感知”小组有4人有获奖经历，共10人，；，此时‘智能感知’小组有5人有获奖经历，共10人，，由全概率公式得，所以从“智能感知”小组中抽到的这名学生是有编程竞赛获奖经历的概率为.18.已知椭圆：的离心率为，左顶点为.（1）求的方程；（2）过的右焦点作斜率不为0的直线交于,两点.（i）若直线的倾斜角为，为坐标原点，求的面积；（ii）设直线与直线的斜率分别为，，试判断是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由.答案：（1）（2）（i）（ii）是，解析：思路：（1）由椭圆的左顶点为和离心率为可得，，再根据可求得，即可求得椭圆的方程；（2）（i）根据直线过和倾斜角，求出直线的方程，联立直线和椭圆方程，得到关于的一元二次方程，利用韦达定理，再结合三角形面积公式即可得到的面积；（ii）根据题意设直线的方程，联立直线和椭圆方程，利用韦达定理得到点坐标关系，再根据斜率公式得到，的表达式，将展开后代入韦达定理的结论，化简后即可得到的定值.（1）椭圆的离心率为，左顶点为，，，得；；椭圆的方程为.（2）（i）由（1）可得右焦点为，.直线的倾斜角为，直线的斜率；直线的方程为，即.直线交于,两点，设点，.联立，消去并整理得；，，..的面积为.（ii）为定值，即，理由如下：由直线过点，且交于,两点，设直线：，点，.，，.联立，消去并整理得；由，得，..为定值.19.若函数在区间上的最大值与最小值之差为定值，则称函数是在区间上的“距函数”.（1）判断函数是否是区间上的“2距函数”，并说明理由；（2）已知函数是定义在上的奇函数，且，证明：是区间上的“距函数”，并求出的值；（3）若对任意，关于