2026-2027学年福建省厦门市双十中学高三上学期限时训练数学试卷（含解析）

/数学满分150分，考试时间120分钟．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知复数满足，那么复数对应的点在（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限2.已知集合，，则（）A. B. C. D.3.已知，则下列不等式一定成立的是（）A. B. C. D.4.已知等差数列，，，则的最大值为（）A.19 B.20 C.21 D.225.已知平面向量满足且，则向量和向量的夹角的余弦值为（）A. B. C. D.6.如图，向一个高为3且底面水平放置的正四棱锥容器注水，水面高度为1时停止注水（不考虑容器厚度），将此四棱锥容器倒置后，水面高度为（）A.1 B.2 C. D.7.设函数，若恒成立，则实数a的取值范围是（）A. B.C. D.8.已知抛物线的焦点为，准线为.点在上，过作抛物线的切线交准线于点.当外接圆面积最小时，点的坐标可以是（）A. B. C. D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知，条件，则成立的充分不必要条件有（）A. B.C. D.且10.已知双曲线的左、右焦点分别是，，过作的一条渐近线的垂线，垂足为，且与双曲线左支交于点，若，则（）A. B.C.的离心率为 D.11.设有限集合，其中，，非空集合，，若存在集合，使得，中的所有元素之和相等，则称集合是“可拆等和集”，则（）A.集合不是“可拆等和集”B.若集合是“可拆等和集”，则的取值共有6个C.存在公比为正整数，且公比不为1的等比数列，使得集合是“可拆等和集”D.若，，数列是等差数列且公差，则集合是“可拆等和集”三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知，且，则__________.13.已知，则的最小值为______.14.从1，2，3，…，10这10个数中任取4个不同的数，，，，则事件“存在，，使得”的概率为______．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．15.在中，为锐角，，．（1）求；（2）若，求的面积及边上的中线长．16.如图，在多面体中，四边形为正方形，，为线段的中点，．（1）求证：平面；（2）若平面，求直线与平面所成角的正弦值；（3）求点到平面的距离．17.某用户在网约车平台发起订单后，平台按照就近原则依次派车：先派距离用户最近的第一辆车，若该车无法接单，则继续派第二辆车，以此类推，直至某网约车接单.假设该平台上每辆车接单的概率均为，且各辆车是否接单相互独立.记某网约车接单时平台为该用户派车的总次数为.（1）求的概率，并证明：对任意正整数s，t恒成立；（2）已知平台为该用户派出的第一辆车未接单，设平台还需为该用户继续派车的次数为.平台规定：若，则赠送该用户一张金额为3元的优惠券；否则，不赠送优惠券.求平台赠送该用户的优惠券金额的期望.18.椭圆的下顶点为，左焦点到的距离为．（1）求椭圆的方程及离心率；（2）经过点的直线与椭圆的另一个交点为（位于轴上方），与轴的交点为．点关于轴的对称点为．过点作与轴平行的直线交直线于点．设与的面积分别为与，若，求直线的斜率．19.已知函数.（1）当时，求函数的单调区间；（2）若函数在其定义域内恰好有两个零点，求实数的取值范围；（3）当时，求证：函数在的最小零点处取得最小值.

数学满分150分，考试时间120分钟．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知复数满足，那么复数对应的点在（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限答案：D解析：解答过程：对应点坐标为，在第四象限.2.已知集合，，则（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：解不等式求出集合、，再求即可.解答过程：集合，，则.3.已知，则下列不等式一定成立的是（）A. B. C. D.答案：C解析：解答过程：对于A、B，当时，，所以，故A、B均不正确；对于C、D，因为，所以，又，所以，所以，即，C正确，D错误；4.已知等差数列，，，则的最大值为（）A.19 B.20 C.21 D.22答案：C解析：解答过程：设等差数列的公差为，由，得，又，所以，解得，所以，所以，所以当或时，的值最大，最大值为.5.已知平面向量满足且，则向量和向量的夹角的余弦值为（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：先将目标向量用线性表示，再求出、两目标向量的模和数量积，代入向量夹角余弦公式计算结果.解答过程：由，可得，因此：

，，对两边同时平方，得，展开得，代入，，得，解得，所以，同理，所以，根据向量夹角余弦公式可得.6.如图，向一个高为3且底面水平放置的正四棱锥容器注水，水面高度为1时停止注水（不考虑容器厚度），将此四棱锥容器倒置后，水面高度为（）A.1 B.2 C. D.答案：D解析：思路：设出未知数，根据棱台体积和棱锥体积公式得到方程，求出水面高度解答过程：设正四棱锥的下底面边长为，因注水四棱台部分的高为，四棱锥的高为，设注水四棱台的上底面边长为，则，解得，注水四棱台的上底面的面积为，注水四棱台的下底面的面积为，则注水四棱台的体积为，将此四棱锥容器倒置时，水的体积不变而且形成一个小四棱锥，设水面高度为，底面边长为，则，解得，且底面面积为，设此四棱锥容器倒置后注水四棱锥的体积为，则，又，则，解得，即，即此四棱锥容器倒置后，水面高度为.7.设函数，若恒成立，则实数a的取值范围是（）A. B.C. D.答案：D解析：思路：分和两种情况下恒成立，参变分离转化为最值求解即可.解答过程：当时，恒成立，即恒成立，当时，上式成立；当，，明显函数在上单调递增，所以，所以；当时，恒成立，即恒成立，令，则在上恒成立，又开口向下，对称轴为，所以的最大值为，所以，综上：实数a的取值范围是.故选：D.8.已知抛物线的焦点为，准线为.点在上，过作抛物线的切线交准线于点.当外接圆面积最小时，点的坐标可以是（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：设，求导，由导数的几何意义求出切线方程，得到，根据向量数量积为0得到方程，求出为直角，为外接圆的直径，表达出，换元后，利用导数求单调性，得到函数最小值，得到外接圆的面积最小，此时点，得到答案.解答过程：设点，，故，将代入可得，故则过作抛物线的切线为：，又准线为：，故中，令得，可得点.又，所以，所以为直角，为外接圆的直径，.令，则可得，由，当得，令得，故在上单调递减，在上单调递增，故当时，取得极小值，也是最小值，即所求外接圆的面积最小，此时点.故选：B二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知，条件，则成立的充分不必要条件有（）A. B.C. D.且答案：ABD解析：思路：利用充分不必要条件的定义逐项分析判断.解答过程：对于A，由，得，而也能使成立，因此是成立的充分不必要条件，A是；对于B，，由，得，而也能使成立，因此是成立的充分不必要条件，B是；对于C，当时，成立，而不等式不成立，因此不是的充分条件，C不是；对于D，由且，得且，则，而也能使成立，因此且，是成立的充分不必要条件，D是.故选：ABD10.已知双曲线的左、右焦点分别是，，过作的一条渐近线的垂线，垂足为，且与双曲线左支交于点，若，则（）A. B.C.的离心率为 D.答案：ACD解析：思路：从已知双曲线方程得到，利用焦点到渐近线的距离公式求出，结合条件得出，判断A正确.通过作垂线构造相似三角形，证明与不重合，从而否定，判断B错误.在直角三角形中利用双曲线定义和勾股定理建立关于的方程，解得，进而求出离心率，判断C正确.最后利用三角形面积关系求得，判断D正确.解答过程：由题意知，由双曲线方程得，即.又，故，焦点到渐近线的距离.由条件，故选项A正确；易知，，，过作垂直于，垂足为.如图，过作于.由，且，得.又，则，与不重合。故，故选项B错误；在中，，，，则，即，解得，则，所以，故C选项正确；，故D选项正确．11.设有限集合，其中，，非空集合，，若存在集合，使得，中的所有元素之和相等，则称集合是“可拆等和集”，则（）A.集合不是“可拆等和集”B.若集合是“可拆等和集”，则的取值共有6个C.存在公比为正整数，且公比不为1的等比数列，使得集合是“可拆等和集”D.若，，数列是等差数列且公差，则集合是“可拆等和集”答案：ABD解析：思路：根据已知可知元素构成一个等比数列，计算可得.然后根据分类，即可判断A项；列举法即可判断B项；将中所有元素同时除以后可得，然后根据等比数列前项和公式计算，然后根据分类，即可判断C项；根据等差数列的性质，可推得，，共有组（剩余元素为），从中剔除之后，从剩余的数据中选出组分配到中.结合公差，可得出，也可分为两组，即可判断D项.解答过程：对于A项，构成了一个以1为首项，2为公比的等比数列，且.所以，当时，中所有元素之和也小于，不满足要求；当含有以及之外的其余元素时，也不满足要求.综上，集合不是“可拆等和集”，故A正确；对于B项，若，则由“可拆等和集”的定义，有，解得；若，则由“可拆等和集”的定义，有，解得；若，则由“可拆等和集”的定义，有，解得；若，则由“可拆等和集”的定义，有，解得；若，则由“可拆等和集”的定义，有，解得，此时因集合已含有元素2，故舍去；若，则由“可拆等和集”的定义，有，解得若，则由“可拆等和集”的定义，有.综上可知：可取，，，，，共6个值，故B正确；对于C项，将中所有元素同时除以后可得，根据等比数列前项和公式，可得.因为，所以，，所以有.所以，当时，中所有元素之和也小于，不满足要求，显然同时乘以后仍然不满足；当含有以及之外的其余元素时，也不满足要求，显然同时乘以后仍然不满足.综上所述，不存在公比为正整数，且公比不为1的等比数列，使得集合是“可拆等和集”，故C错误；对于D项，易知集合中的元素个数为，，根据等差数列的性质可知，，，共有组（剩余元素为），从中剔除之后，剩余组.从这组相同的数据中任意选出组，将对应的元素分到集合中；又，则，而，不妨将这两个元素也分到集合中，则可满足中的元素之和相等.故D正确.故选：ABD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知，且，则__________.答案：##0.75解析：解答过程：由，得，所以.13.已知，则的最小值为______.答案：##解析：思路：由，两边取对数后可得，即得，令，再结合基本不等式得恒成立，从而可求解.解答过程：由，两边取对数得，即，所以，令，因为，所以，当且仅当时取等号，所以恒成立，又因为函数在其定义域上单调递增，所以.故答案为.14.从1，2，3，…，10这10个数中任取4个不同的数，，，，则事件“存在，，使得”的概率为______．答案：解析：思路：根据题意，用间接法分析：先计算“、、、、这个数中任取个不同的数”的取法，排除其中不符合题意的取法，再结合古典概型概率计算公式即可求解．解答过程：根据题意，从、、、、这个数中任取个不同的数、、、，有种取法，假设，若不存在且、，使得，则有，在、、、、中任取个不同的数，依次表示、、、，此时有种不符合题意的取法，则有种符合题意的取法．所以事件“存在，，使得”的概率为故四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．15.在中，为锐角，，．（1）求；（2）若，求的面积及边上的中线长．答案：（1）（2），解析：思路：（1）根据题意，结合正弦定理即可求解；（2）根据题意，结合三角形的内角范围得到为锐角，再由正弦定理求出，最后利用三角形面积公式和余弦定理即可求解.（1）在中，由正弦定理，所以，因为，所以，又，所以，因为为锐角，所以．（2）如图所示，已知，因为是的内角，所以，若为钝角，则，，矛盾，因此为锐角，即，已知，由正弦定理知，因为，得.又，所以，，设中点为，由余弦定理，得.16.如图，在多面体中，四边形为正方形，，为线段的中点，．（1）求证：平面；（2）若平面，求直线与平面所成角的正弦值；（3）求点到平面的距离．答案：（1）连接，设，因为四边形为正方形，所以为的中点，又因为为的中点，所以且，由已知且，所以且，所以四边形为平行四边形，所以即，因为平面，平面，所以平面.（2）（3）解析：思路：（1）连接，设，推导出四边形为平行四边形，可得出，再利用线面平行的判定定理可证得结论成立；（2）以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得直线与平面所成角的正弦值；（3）利用空间向量法，结合（2）中求出的平面的法向量可求得点到平面的距离．（1）略.（2）因为平面，四边形为正方形，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如图所示的坐标系，因为，所以，，，，设平面的一个法向量为，则，取，可得，设直线与平面所成角为，则直线与平面所成角的正弦值为.（3）由（2）可知平面的一个法向量为，又，所以点到平面的距离．17.某用户在网约车平台发起订单后，平台按照就近原则依次派车：先派距离用户最近的第一辆车，若该车无法接单，则继续派第二辆车，以此类推，直至某网约车接单.假设该平台上每辆车接单的概率均为，且各辆车是否接单相互独立.记某网约车接单时平台为该用户派车的总次数为.（1）求的概率，并证明：对任意正整数s，t恒成立；（2）已知平台为该用户派出的第一辆车未接单，设平台还需为该用户继续派车的次数为.平台规定：若，则赠送该用户一张金额为3元的优惠券；否则，不赠送优惠券.求平台赠送该用户的优惠券金额的期望.答案：（1），证明如下：由题意知，，所以，对任意的正整数s，t．（2）元.解析：（1）由题意知，，证明略；（2）由（1）知，，平台需要支付该用户的优惠券金额的所有可能取值为，则，所以，即平台需要赠送的优惠券金额的期望为元.18.椭圆的下顶点为，左焦点到的距离为．（1）求椭圆的方程及离心率；（2）经过点的直线与椭圆的另一个交点为（位于轴上方），与轴的交点为．点关于轴的对称点为．过点作与轴平行的直线交直线于点．设与的面积分别为与，若，求直线的斜率．答案：（1）椭圆的方程为，离心率为（2）解析：思路：（1）由题意知，进而求得答案；（2）设直线方程为，进而求得点，，，，再结合弦长公式，面积公式求解与面积，建立关于的方程并解方程即可得答案.（1）设椭圆的焦距为，则下顶点坐标为，左焦点到下顶点的距离为，因为椭圆的下顶点为，左焦点到的距离为，所以，，所以椭圆的方程为；离心率为；（2）由题意知，直线的斜率存在且不为零，设直线方程为，令得，故，联立方程，得，解得或，所以，代入得，所以，，所以，所以直线的方程为，因