2026-2027学年福建省厦门市外国语学校高三上学期9月月考性测试数学试卷（含解析）

/数学满分为150分.考试用时120分钟.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.若幂函数为偶函数且在单调递增，则实数的可能值为（）A. B. C. D.2.已知集合，，则实数的取值集合为（）A. B. C. D.3.“”是“函数在上单调递增”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件4.已知实数满足，则的最小值为（）A. B. C. D.5.某工厂产生的废气经过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量（单位：）与时间（单位：）的关系为，其中，是正常数．如果在前消除了25%的污染物，则污染物减少50%需要花的时间约为（）（参考数据：，）A. B. C. D.6.已知分别为双曲线的左、右焦点，的渐近线上一点满足，且，则的离心率为（）A. B. C.2 D.7.若三次函数有极值点、且，设是的导函数，那么关于的方程的不同实数根的个数为（）A.6 B.5 C.4 D.38.设，，若，，互不相等，则下列选项中不正确的是（）A. B. C. D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.某车间加工同一型号零件，第一台和第二台车床加工的零件分别占总数的，，各自产品中的次品率分别为，，记“任取一个零件为第台车床加工”为事件，“任取一个零件是次品”为事件，则（）A. B.C. D.10.若数列的前项和为，，，，则下列说法正确的是（）A. B.数列是等差数列C.曲线关于点中心对称 D.11.设函数的函数值表示不超过x的最大整数，则在同一个直角坐标系中，函数的图象与圆（）的公共点个数可以是（）A.1个 B.2个 C.3个 D.4个三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.若直线的方向向量为，，则空间一点到直线的距离为______.13.已知函数为偶函数，且满足，且当时，，则______14.已知集合，集合，则函数共有____个；若函数满足：，使得，则符合该条件的函数共有____个.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知函数．（1）若为函数的极值点，求的值；（2）若在定义域上不单调，求的取值范围．16.如图，正方形ABCD的边长为，取正方形ABCD各边的中点E，F，G，H，作第2个正方形EFGH，其边长记为；然后再取正方形EFGH各边的中点I，J，K，L，作第3个正方形IJKL，其边长记为；依此方法一直继续下去，则记第个正方形的边长为.已知，.（1）求，；（2）记第n个正方形区域未被第个正方形区域覆盖的面积为，求使得成立的n的最小值.17.如图1，平行四边形ABCD中，，，E是CD的中点，将沿AE翻折至，如图2所示．（1）若平面平面ABCE，证明：平面；（2）若二面角为120°，求二面角的余弦值．18.已知椭圆的离心率为，且过点．（1）求椭圆的标准方程；（2）若为椭圆上两点（均在轴上方），且．①已知直线的斜率为，求直线的斜率；②求四边形面积的最大值．19.设函数的定义域为，其导函数为，若存在，使得成立，则称函数具有性质．（1）判断函数是否具有性质，并说明理由；（2）若函数具有性质，且满足条件的恰有三个，求的取值范围；（3）证明：函数具有性质的充要条件是．

数学满分为150分.考试用时120分钟.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.若幂函数为偶函数且在单调递增，则实数的可能值为（）A. B. C. D.答案：C解析：解答过程：幂函数在单调递增的充要条件是，故A，B选项错误，由偶函数的性质验证C，D选项选项C：，对应函数，定义域为，且满足，是偶函数，C选项正确，选项D：​，对应函数，定义域是，定义域不关于原点对称，既不是奇函数又不是偶函数，D选项错误.2.已知集合，，则实数的取值集合为（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：依题对进行分类讨论，根据不同的值验证是否满足集合元素互异性即可.解答过程：由得：，①若

时，

，此时，，满足

，符合题意；②若

时，

集合，不满足集合元素互异性，故舍去；③若

时，则有

，解得

或

，当

时，，，满足

，符合题意；当

时，集合，不满足集合元素互异性，故舍去.综上，实数

的取值集合为

.故选：B3.“”是“函数在上单调递增”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件答案：A解析：思路：利用给定单调性求出的取值范围，再利用充分条件、必要条件的定义判断即可.解答过程：函数，函数的单调递增区间是，由函数在上单调递增，得，则，因此，所以“”是“函数在上单调递增”的充分不必要条件.4.已知实数满足，则的最小值为（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：所求的分母特征，利用变形构造，再等价变形，利用基本不等式求最值.解答过程：解：因为满足，则，当且仅当时取等号，故选：．方法提示：本题考查通过拼凑法利用基本不等式求最值.拼凑法的实质在于代数式的灵活变形，拼系数、凑常数是关键.(1)拼凑的技巧，以整式为基础，注意利用系数的变化以及等式中常数的调整，做到等价变形;(2)代数式的变形以拼凑出和或积的定值为目标(3)拆项、添项应注意检验利用基本不等式的前提.5.某工厂产生的废气经过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量（单位：）与时间（单位：）的关系为，其中，是正常数．如果在前消除了25%的污染物，则污染物减少50%需要花的时间约为（）（参考数据：，）A. B. C. D.答案：D解析：解答过程：由题意可得，则，所以，所以污染物减少50%需要花的时间约为.6.已知分别为双曲线的左、右焦点，的渐近线上一点满足，且，则的离心率为（）A. B. C.2 D.答案：B解析：思路：由题设，结合且，应用二倍角正切公式、双曲线离心率求法求解.解答过程：在中，而，则，所以，故，所以.故选：B7.若三次函数有极值点、且，设是的导函数，那么关于的方程的不同实数根的个数为（）A.6 B.5 C.4 D.3答案：D解析：思路：依题意可得有两个不同的实数根、，则问题转化为则或的根，再分类讨论即可判断；解答过程：解：因为，所以，由题意可得有两个不同的实数根、，其中，则或，据此分类讨论：①若，当时，或，当时，此时共有三个不同的实数根.②若，当时，或，当时，，此时共有三个不同的实数根.②若，没有极值点，不合题意.综上可得，方程的不同实数根的个数为.故选：D方法提示：关键点点睛：求方程的实数根的个数，关键是通过转化为求方程或的根，结合函数的单调性判断即可.8.设，，若，，互不相等，则下列选项中不正确的是（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：由，可解得，可判断A；当时，取，可得，不满足a，b，c互不相等，可判断B；将看成函数与图象的交点横坐标，可判断C，D.解答过程：由，可得，因为，所以，故A正确；当时，，若，则，故，不满足a，b，c互不相等，所以，故B正确，因为，，可将看成函数与图象的交点横坐标，当时，图象如下图，可得：，此时.当时，图象如下图，可得：，此时，所以C不正确，D正确.故选：C.方法提示：关键点点睛：解题的关键点是将看成函数与图象的交点横坐标，作出函数与图象，讨论的取值即可比较的大小.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.某车间加工同一型号零件，第一台和第二台车床加工的零件分别占总数的，，各自产品中的次品率分别为，，记“任取一个零件为第台车床加工”为事件，“任取一个零件是次品”为事件，则（）A. B.C. D.答案：AC解析：思路：根据条件概率定义、乘法公式、全概率公式分别计算各选项对应概率，判断正误即可.解答过程：由题意得：，，，.对于A：表示任取一个零件是第1台车床加工的条件下为次品的概率，即第一台车床的次品率，为，故A正确；对于B：由乘法公式可得，故B错误；对于C：由全概率公式可得，故C正确；对于D：由条件概率公式可得，，显然，故D错误.10.若数列的前项和为，，，，则下列说法正确的是（）A. B.数列是等差数列C.曲线关于点中心对称 D.答案：BCD解析：思路：C选项，先求出定义域，并计算出，故C正确；A选项，根据得到所以，从而得到通项公式和；B选项，利用等差数列的定义作出判断；D选项，根据，，得到，，又，分组求和得到答案.解答过程：C选项，令，解得，故的定义域为，其中，所以，所以曲线关于点中心对称，C正确；A选项，，所以，，故，，即，，所以，，中，令得，又，所以，故，所以，故，，A错误；B选项，当时，，所以数列是等差数列，B正确；D选项，由知，，因为，，曲线关于点中心对称，所以，，又，所以，D正确.故选：BCD11.设函数的函数值表示不超过x的最大整数，则在同一个直角坐标系中，函数的图象与圆（）的公共点个数可以是（）A.1个 B.2个 C.3个 D.4个答案：ABD解析：思路：由题意确定圆心坐标和半径，易知该圆过原点，作出函数在的图象，结合图形分析，即可求解.解答过程：由，得该圆心为，半径为，易知该圆过原点，由，当时，得，作出函数的图象，如图，由图可知，当时，圆与函数的图象有2个交点，当时，圆与函数的图象有1个交点，当时，圆与函数的图象有2个交点，当时，圆与函数的图象有4个交点，根据圆与函数的对称性，后续交点情况类比即可.故选：ABD方法提示：关键点点睛：本题解题的关键在于理解取整函数的定义，利用数形结合的思想分析圆与函数图象交点的个数.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.若直线的方向向量为，，则空间一点到直线的距离为______.答案：解析：思路：根据空间点线距的计算公式求得正确答案.解答过程：，所以空间一点到直线l的距离为.故13.已知函数为偶函数，且满足，且当时，，则______答案：解析：思路：先研究函数的周期性，再根据函数的周期性和奇偶性求��的值，进而可得的值．解答过程：因为，所以，所以，即函数是以4为周期的周期函数．所以．令，由得，；又因为函数为偶函数，所以，所以．因为，所以，解得．所以.所以.14.已知集合，集合，则函数共有____个；若函数满足：，使得，则符合该条件的函数共有____个.答案：①.1024②.570解析：思路：空一：函数，每个自变量有4种取值，由乘法原理得总数；空二：差值在值域中唯一对应，故值域必须同时含有和，用容斥原理得满足条件的个数.解答过程：空一：函数，集合有5个元素，集合有4个元素，则每个自变量都有4种取值可能，因此总个数为空二：条件，使得.由于，差为3的唯一可能是，因此必须有某个自变量取值为9，另一个自变量取值为6，即函数值域中必须同时包含6和9.计算满足“值域同时包含6和9”的函数个数，函数总个数为，用容斥原理：函数值域中不含6：每个自变量只能取，共个；函数值域中不含9：每个自变量只能取，共个；函数值域中既不含6也不含9：只能取

，共个.由容斥原理，函数值域中同时含有6和9的函数个数为.因此符合该条件的函数

共有个.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知函数．（1）若为函数的极值点，求的值；（2）若在定义域上不单调，求的取值范围．答案：（1）（2）解析：思路：（1）由为函数的极值点，得，从而求出的值；（2）设在定义域上单调，求出的取值范围，由此可得结论.（1）由题意得，因为为函数的极值点，所以，解得，经检验，当时，为函数的极值点，所以．（2）因为的定义域为，，设在单调，①函数在上单调递增，则在上恒成立，即在上恒成立，在上恒成立，又当时，，当且仅当时等号成立，所以，②函数在上单调递减，则在上恒成立，即在上恒成立，矛盾所以若在单调，则，故若在定义域上不单调，则的取值范围为．16.如图，正方形ABCD的边长为，取正方形ABCD各边的中点E，F，G，H，作第2个正方形EFGH，其边长记为；然后再取正方形EFGH各边的中点I，J，K，L，作第3个正方形IJKL，其边长记为；依此方法一直继续下去，则记第个正方形的边长为.已知，.（1）求，；（2）记第n个正方形区域未被第个正方形区域覆盖的面积为，求使得成立的n的最小值.答案：（1），（2）解析：思路：（1）先根据条件列出的递推公式，判断数列是等比数列，根据等比数列的通项公式得到，进而可得.（2）先用累加法得到，列出不等式，设，利用数列的单调性解不等式即可.（1）由题意，，即，所以为等比数列，公比为，，所以.所以，，.（2）由题意，，，，设，则为单调递减数列，且，又，所以.的最小值是5.17.如图1，平行四边形ABCD中，，，E是CD的中点，将沿AE翻折至，如图2所示．（1）若平面平面ABCE，证明：平面；（2）若二面角为120°，求二面角的余弦值．答案：（1）在平行四边形中，因为是的中点，所以．又，则，，所以，．又，则，即．又平面平面，平面平面，所以平面．（2）解析：思路：（1）利用面面垂直的性质以及勾股定理证明即可.（2）建立空间直角坐标系，根据向量法求出二面角余弦值.（1）略（2）分别取，的中点，，连接，．由（1）知，．因为，分别为，的中点，所以，则．因为，所以，，所以为二面角的平面角，则.由题意，以为坐标原点，分别以，所在直线为轴，以过点且垂直于平面的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，则，，，．设平面的法向量为，所以令，则．设平面的法向量为，所以令，则．所以，所以二面角的余弦值为．18.已知椭圆的离心率为，且过点．（1）求椭圆的标准方程；（2）若为椭圆上两点（均在轴上方），且．①已知直线的斜率为，求直线的斜率；②求四边形面积的最大值．答案：（1）（2）①；②解析：思路：（1）由离心率和椭圆上的点坐标建立方程组，解得，然后写出椭圆方程；（2）①延长交椭圆于点，延长交椭圆于点，由对称性可知为平行四边形，关于原点对称，设，则，，然后利用点差法求得，进而利用得，即可求解；②由平行四边形性质可知，设的方程为，，与椭圆方程联立，韦达定理，求出及点O到直线的距离，从而得，最后利用换元法及二次函数性质求得有最大值，即可得解.（1）由题意可知，解得，所以椭圆的标准方程.（2）①延长交椭圆于点，延长交椭圆于点，由对称性可知，所以四边形为平行四边形，因为关于原点对称，所以关于原点对称，设，则，所以，又为椭圆上两点，可得，，所以，化简得，故，又因为，所以，故；②由①可知，在平行四边形中，，从而，因为构成四边形，所以的斜率必不为0，设的方程为，，由得，，，，因为，点O到直线的距离为，所以，令，则，所以