2026-2027学年江苏省常州市宋剑湖高级中学高三上学期8月开学阶段性检测数学试卷（含解析）

/数学一､单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求）1.已知集合，，则（）A. B. C. D.2.已知，则“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件3.已知函数的最大值为，则的最大值为（）A.6 B.5 C.7 D.84.已知函数的大致图象如图，则函数的解析式可能是（）A. B. C. D.5.已知函数在区间上有4个不同的零点，则实数的取值范围是（）A. B.C. D.或6.德国心理学家艾•宾浩斯研究发现，人类大脑对事物的遗忘是有规律的，他依据实验数据绘制出“遗忘曲线”.“遗忘曲线”中记忆率随时间（小时）变化的趋势可由函数近似描述，则记忆率为50%时经过的时间约为（）（参考数据：，）A.0.2小时 B.0.5小时 C.0.8小时 D.2小时7.已知，，，则（）．A. B. C. D.8.已知，，记集合，，若，则实数的取值范围为（）A. B. C. D.二､多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合要求全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9.已知，，，则下列说法正确的有（）A.若，则 B.C.，，使得 D.的最大值为10.已知函数，则下列说法正确的是（）A.在上单调递增B.当时，C.函数的图象是中心对称图形D.当且时，11.已知，且，则（）A.B.当时，C.当时，的取值范围是D.当时，三､填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）12.若函数在上单调递减，则实数的取值范围为___________．13.已知，则的最大值是__________.14.已知函数，任取，定义集合：，点，，满足.设分别表示集合中元素的最大值和最小值，记，（1）的值为__________.；（2）函数的单调递增区间为__________.四､解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明､证明过程或演算步骤）15.如图，在正四棱柱中，，，为线段中点.（1）求证：平面；（2）求证：平面.16.已知函数.（1）求出单调递减区间与极值；（2）设函数，再从条件①､条件②这两个条件中选择一个作为已知，使函数存在且唯一，求出在区间上的最大值和最小值.条件①：在区间上单调递增；条件②：；17.某校引入学情诊断系统做学情测评，待检测样本为200名学生，其中拔尖生50人，待提升学生150人.对每位学生进行独立测评：被测学生实际为拔尖生时，精准识别出拔尖生的概率为；被测学生实际为待提升学生时，精准识别待提升学生的概率为.（1）从这200名学生中随机抽选4人，求抽到的4人均是拔尖生的概率；（2）现从200名学生中每次随机抽取1人进行测评，测评后放回人群，共抽6次，用随机变量表示测评中识别判断正确的次数，求随机变量的分布列及数学期望.18.已知函数.（1）判断在上的零点个数，并说明理由；（2）已知点的坐标为.（i）证明：当时，的图象恒在线段下方；（ii）设的两个零点为，证明.19.定义的协调系数，其中为面积.（1）求等边三角形的；（2）判断等腰三角形是否具有不同的协调系数，并说明理由；（3）证明.

数学一､单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求）1.已知集合，，则（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：由对数和绝对值不等式解出集合，再求交集即可.解答过程：，，所以.故选：B2.已知，则“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件答案：A解析：思路：由三角函数的性质及充分必要条件进行判断．解答过程：由及，得，则成立，即充分性成立，由及，得或，则无法推出，则必要性不成立，则“”是“”的充分不必要条件．故选：A3.已知函数的最大值为，则的最大值为（）A.6 B.5 C.7 D.8答案：B解析：思路：根据条件判断出的最大值为等价于的最大值小于等于，可得；也可依次代入每个选项验证是否满足该条件即可.解答过程：因为，所以，因为最大值为，且当时，恰为.因此只需保证对恒成立，则，故.另法：依次代入每个选项验证是否满足该条件.当时，，最大值为1，不满足题意.当时，，最大值为，满足题意.当时，，最大值为，不满足题意.当时，，最大值为，不满足题意.综上所述，的最大值为5.4.已知函数的大致图象如图，则函数的解析式可能是（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：由奇偶性、特殊点法及排除法进行判断即可.解答过程：由函数的图象可知，函数是奇函数．对于B：，此时为偶函数，与图象不符，故B错误；对于C：当时，，与图象不符，故C错误；对于D：，此时为偶函数，与图象不符，故D错误；由排除法可知A正确，故选：A.5.已知函数在区间上有4个不同的零点，则实数的取值范围是（）A. B.C. D.或答案：C解析：思路：令，分析可知函数在上有两个不同的零点，根据二次函数的零点分布可得出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围．解答过程：∵，令，，令，如下图所示：要使得函数在上有个零点，则函数在上有个不同的零点，显然，所以，，解得．故选：C．6.德国心理学家艾•宾浩斯研究发现，人类大脑对事物的遗忘是有规律的，他依据实验数据绘制出“遗忘曲线”.“遗忘曲线”中记忆率随时间（小时）变化的趋势可由函数近似描述，则记忆率为50%时经过的时间约为（）（参考数据：，）A.0.2小时 B.0.5小时 C.0.8小时 D.2小时答案：B解析：思路：根据记忆率为50%列方程，通过两边取常用对数，代入参考数据计算可得t的值.解答过程：由题意，记忆率，代入函数得，，移项整理得，两边取以10为底的对数，根据对数运算性质可得，，将、代入，结合参考数据，得，，

因此，则小时.7.已知，，，则（）．A. B. C. D.答案：B解析：思路：方法一：作出单位圆，由面积大小关系得到，从而得到，再利用作差法，二倍角公式得到，从而得到答案；方法二：通过构造函数和，求导判断函数的单调性即可比较大小.解答过程：方法一：设，作出单位圆，与轴交于点，则，过点作垂直于轴，交射线于点，连接，过点作⊥轴于点，由三角函数定义可知，，，设扇形的面积为，则，即，故，所以，即，又，故，即，由，因为，所以，故，综上可得，.方法二：设函数，则，因，可得，故，即函数在上单调递增，故，即在上恒成立，因，则，即，故；再设函数，则，令，则，即函数在上单调递增，则，故函数在上单调递增，则，故在上恒成立，因，则，即.综上可得.8.已知，，记集合，，若，则实数的取值范围为（）A. B. C. D.答案：D解析：思路：作出函数的简图，可得及，由并结合图象建立关系求解即得.解答过程：作出函数的简图，如图，由，得，而，解得，即，由，得，则，由及函数图象，得，整理得，则，所以实数的取值范围为.故选：D二､多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合要求全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9.已知，，，则下列说法正确的有（）A.若，则 B.C.，，使得 D.的最大值为答案：ABD解析：思路：根据题意，利用和、差的正弦公式将转化为，然后利用和、差的正切公式以及二倍角公式依次判断即可.解答过程：已知，，，由于，，所以，化简得，即，对于A，若，则，，由于，所以，解得，故A正确；对于B，由前面的推导可知，故B正确；对于C，假设存在，使得，代入等式，即，由于，所以，解得，由于，，矛盾，因此不存在，使得，故C错误；对于D，由于，所以，由于，，所以，根据基本不等式，，当且仅当，即时取等号，所以，即的最大值为，故D正确.10.已知函数，则下列说法正确的是（）A.在上单调递增B.当时，C.函数的图象是中心对称图形D.当且时，答案：ACD解析：思路：求出函数的导数，利用导数求出递增区间判断A；取特值判断B；求出函数图象的对称中心判断C；利用单调性及对称性推理判断D.解答过程：函数的定义域为，求导得，对于A，由，得，解得，则在上单调递增，A正确；对于B，取，，则，B错误；对于C，，因此函数的图象关于点中心对称，C正确；对于D，由且，得，由在上单调递增，得，则，D正确.11.已知，且，则（）A.B.当时，C.当时，的取值范围是D.当时，答案：BC解析：思路：变形已知等式，构造函数，利用单调性得，然后逐项分析判断.解答过程：由得，设，都是增函数，则是增函数，且已知条件变为，所以，对A，不恒成立，A错；对B，由以上分析可知，由得，则，又，所以，，B正确；对C，时，由于，所以，所以，，解得且，所以，C正确；对D，由题意，即，又，所以，即，而，所以，所以，D错.三､填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）12.若函数在上单调递减，则实数的取值范围为___________．答案：解析：思路：利用复合函数单调性，对数函数底数和真数取值范围解题即可.解答过程：令，则函数可看成由与复合而成，因为对数的底数且，所以是单调递减函数，又因为函数在上单调递减，根据复合函数“同增异减”的原则，可以得到，又在区间上，作为的真数要大于0恒成立，所以，所以，综上所述实数的取值范围为.13.已知，则的最大值是__________.答案：解析：思路：通过双曲线参数换元将所求表达式转化为关于正弦函数的二次函数，结合二次函数单调性与定义域求解最大值.解答过程：已知双曲线方程，设参数满足，，其中，此时.将代入所求表达式，得到

，由同角三角函数基本关系，代入得

，令，，则表达式转化为二次函数.该二次函数开口向下，对称轴为，对称轴在定义域内，故最大值在处取得，得到

，即所求最大值为.14.已知函数，任取，定义集合：，点，，满足.设分别表示集合中元素的最大值和最小值，记，（1）的值为__________.；（2）函数的单调递增区间为__________.答案：①.2②.解析：思路：（1）利用数形结合，以为圆心，作半径为的圆，求出，，进而求解；（2）利用数形结合，以为圆心，作半径为的圆，集合的元素是函数在圆内的纵坐标，利用圆心在函数图象上的移动，可得，的变化规律，从而得到函数的单调区间.解答过程：由得周期，.（1）当时，，所以，先作出的图像，再以A为圆心，为半径画圆，观察图像，发现在圆内的那部分的最大值为0，最小值为，所以.（2）函数周期为，所以只考虑一个周期内的变化，其他按周期变化处理.如图，以为圆心，作半径为的圆，集合的元素是函数在圆内的纵坐标.当时，，则；当时，，则；当时，，则；当时，，则；当时，，则.当从时，则，从，所以从递增到；当从时，则，从，所以从递减到；当从时，则，从，所以从递增到；当从时，则，从，所以从递减到.所以的单调递增区间为.四､解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明､证明过程或演算步骤）15.如图，在正四棱柱中，，，为线段中点.（1）求证：平面；（2）求证：平面.答案：（1）连接交于点，连接，因为分别为的中点，所以OE⫽AC因为平面，平面，所以AC1⫽平面.（2）因为正四棱柱中，，，为线段中点，所以，因为，所以，因为，所以平面.解析：思路：（1）作中位线，利用线线平行证明线面平行.（2）利用勾股定理得到，证得线面垂直.（1）略（2）略16.已知函数.（1）求出单调递减区间与极值；（2）设函数，再从条件①､条件②这两个条件中选择一个作为已知，使函数存在且唯一，求出在区间上的最大值和最小值.条件①：在区间上单调递增；条件②：；答案：（1）单调递减区间为；极大值为，极小值为。（2）仅可选择条件①，此时最大值为，最小值为；条件②无法使唯一，不符合要求.解析：思路：（1）先利用二倍角公式、辅助角公式化简为正弦型函数，结合正弦函数性质求解单调区间与极值；（2）根据所选条件推导的取值，验证唯一性后，代入区间求的最值.（1）因为，由，解得，即的单调递减区间为；当，即时，取极大值；当，即时，取极小值；（2）因为，，选择①：在区间上单调递增；则，所以，，解得，，所以，，又因为，所以，所以，解析式唯一；当时，，所以，所以，所以最大值为，最小值为；选择②：；则的图象关于对称，所以，解得，又因为，所以或，此时不满足函数存在且唯一.综上，只能选择条件①，此时最大值为，最小值为.17.某校引入学情诊断系统做学情测评，待检测样本为200名学生，其中拔尖生50人，待提升学生150人.对每位学生进行独立测评：被测学生实际为拔尖生时，精准识别出拔尖生的概率为；被测学生实际为待提升学生时，精准识别待提升学生的概率为.（1）从这200名学生中随机抽选4人，求抽到的4人均是拔尖生的概率；（2）现从200名学生中每次随机抽取1人进行测评，测评后放回人群，共抽6次，用随机变量表示测评中识别判断正确的次数，求随机变量的分布列及数学期望.答案：（1）（2）解析：0123456思路：（1）分别计算从200名学生中随机抽选4人的所有可能情况的总数与从50名拔尖生中随机抽取4人的可能情况的总数，再利用古典概型计算抽4人均为拔尖生的概率；（2）先用全概率公式求单次抽1人AI识别正确的概率，再判断，进而求解分布列和数学期望。（1）设“抽到的4人均是拔尖生”为事件，.（2）设事件为“随机抽取一名学生，AI识别判断正确”，事件为“随机抽取的学生为拔尖生”，事件为“抽取的学生为待提升学生”.则，因此，可取.所以，，，，，，，于是随机变量的分布列如下，0123456数学期望.18.已知函数.（1）判断在上的零点个数，并说明理由；（2）已知点的坐标为.（i）证明：当时，的图象恒在线段下方；（ii）设的两个零点为，证明.答案：（1）零点个数：2理由如下：因为函数的定义域为，且，令，可得，又因为，则，解得，当时，；当时，；可知函数在内单调递减，在内单调递增，因为，，则，，且，，可知函数在，内均存在唯一零点，所以在上恰有两个零点.（2）（i）由题意可知直线的方程为，即，令，，则，可知在内单调递增，因为，令，，则，可知在内单调递减，则，可得，，且，可得，即；又