2026-2027学年安徽省阜阳市临泉田家炳实验中学（临泉县教师进修学校）高二上学期9月月考数学试卷（含解析）

/数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知向量，，则（）A. B. C. D.2.已知向量，则向量在向量上的投影向量的坐标为（）A. B.C. D.3.已知动点D在所在的平面内运动，若对于空间中任意一点（不在平面中），都有，则实数λ的值为（）A. B.－ C.2 D.－24.在三棱锥中，点，则点P到平面的距离为（）A.4 B.2 C. D.5.一家造纸厂的厂房的外形可以近似看作如图所示的六面体模型，其中四边形和为直角梯形，A，D，C，B为直角顶点，其他四个面均为矩形．若，且，则（）A.1 B.2 C.3 D.46.已知空间向量，，且，则实数等于（）A. B. C. D.7.在正四棱台中，，，则正四棱台的体积为（）A. B. C. D.8.如图，圆柱的轴截面是正方形，且正方形的对角线长为，点在上，，点在上，在平面的同侧．记二面角，的大小分别为，若，则点到平面的距离为（）A. B. C. D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.下列命题正确的有（）A.空间中不相交的两条直线是异面直线B.已知A，B，C，D，E是空间中的任意五点，则C.若两个非零向量，满足，则A，B，C，D四点共线D.若E，B，C，D四点共面，且点B，C，D不共线，则存在，使得，且10.如图，在长方体中，，分别是，的中点，，则下列结论正确的是（）A.的面积为B.平面C.异面直线与所成角的余弦值为D.点到平面的距离为11.将正方形沿对角线翻折，记二面角为，的中点为，则下列结论正确的是（）A.，都有B.若正方形折叠后，，则是等边三角形C.若，则D.若，则直线与平面所成角的正弦值为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.在空间直角坐标系中，点关于平面对称的点的坐标为____．13.在空间直角坐标系中，已知点，，，点在线段上运动，当取得最小值时，点的坐标为______，此时点到线段的中点的距离为______．14.如图，在某市一建筑物楼顶有一四面钟楼，四个大钟对称分布在四棱柱的四个侧面(四棱柱镶嵌时钟的部分可以看成正四棱柱，钟面圆心在棱柱侧面对角线的交点处)．已知在3点整点时刻，相邻两钟面上的时针所在的两条直线相互垂直，则在4点时，相邻两钟面上的时针所在的两条直线所成角的正切值为____．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.如图，AB是圆的直径，AM与圆所在的平面垂直，C是圆上不同于A，B的一点，．（1）求点B到平面ACM的距离；（2）求异面直线CM与AB所成角的正弦值．16.如图，在平行六面体中，向量，，两两之间的夹角均为，，，．（1）求线段的长度；（2）求证：．17.如图，已知四棱锥的底面是边长为4的正方形，侧面底面，，，分别是，的中点，点在棱上，且．（1）求证：平面．（2）求直线与平面所成角的正弦值．18.如图，平面平面，其中四边形为矩形，四边形为梯形，，，．（1）求证：平面⊥平面．（2）若，求二面角的余弦值．19.已知一组空间向量，，，，，记，如果存在（），使得，那么称是该向量组的“向量”．（1）已知，，，若是向量组，，的“向量”，求实数的取值范围．（2）四面体内接于以为球心，为半径的球，且.①记，，，向量组，，中是否存在“向量”？若存在，指出哪个是“向量”并证明；若不存在，请说明理由．②求四面体体积的最大值．

数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知向量，，则（）A. B. C. D.答案：B解析：解答过程：因为，，所以．2.已知向量，则向量在向量上的投影向量的坐标为（）A. B.C. D.答案：D解析：解答过程：因为，所以，所以，则向量在向量上的投影向量为·3.已知动点D在所在的平面内运动，若对于空间中任意一点（不在平面中），都有，则实数λ的值为（）A. B.－ C.2 D.－2答案：A解析：解答过程：因为，所以，所以．又动点D在所在的平面内运动，所以，解得．4.在三棱锥中，点，则点P到平面的距离为（）A.4 B.2 C. D.答案：C解析：解答过程：因为点,所以，设平面的法向量为，所以，即，令，则，所以，所以点P到平面的距离为．5.一家造纸厂的厂房的外形可以近似看作如图所示的六面体模型，其中四边形和为直角梯形，A，D，C，B为直角顶点，其他四个面均为矩形．若，且，则（）A.1 B.2 C.3 D.4答案：A解析：思路：根据给定条件，建立空间直角坐标系，利用空间向量数量积的坐标表示求解.解答过程：依题意，直线两两垂直，如图，以D为坐标原点建立空间直角坐标系,设，由，得，则，，，，解得，所以.6.已知空间向量，，且，则实数等于（）A. B. C. D.答案：B解析：解答过程：因为，，所以，又因，，由可得，解得.7.在正四棱台中，，，则正四棱台的体积为（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：根据给定条件，结合正四棱台的结构特征建立直角坐标系求出棱台的高，再利用棱台的体积公式计算得解.解答过程：设正四棱台的高为，由于四边形都是正方形，设其中心分别为，连接，如图，以为原点，过点且与垂直的直线为轴，过点且与垂直的直线为轴，所在的直线为轴，建立空间直角坐标系，作于，因为，由勾股定理得，所以，由题意得，所以四边形是平行四边形，所以，故点，，，，则，，所以，由于，即，解得，所以正四棱台的体积，故A正确.8.如图，圆柱的轴截面是正方形，且正方形的对角线长为，点在上，，点在上，在平面的同侧．记二面角，的大小分别为，若，则点到平面的距离为（）A. B. C. D.答案：D解析：思路：根据题意，以点为坐标原点，分别以所在的直线为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系，设点，分别求出平面和平面的法向量，利用公式求出，再结合题意求出即可.解答过程：因为圆柱的轴截面是正方形，且正方形的对角线长为，所以，，底面圆，因为点在上，=，所以，如图，以点为坐标原点，分别以所在的直线为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系，所以点，，，设点，其中，，且即为点到平面的距离，设平面的法向量为，，，由，得，令，则，所以，设平面的法向量为，，，由，得，令，则，所以，依题意，平面的一个法向量为，记二面角，的大小分别为，为锐角，为钝角，因为，所以，，所以，所以，，，所以，，所以，因为，所以，又因为，所以，所以点到平面的距离为．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.下列命题正确的有（）A.空间中不相交的两条直线是异面直线B.已知A，B，C，D，E是空间中的任意五点，则C.若两个非零向量，满足，则A，B，C，D四点共线D.若E，B，C，D四点共面，且点B，C，D不共线，则存在，使得，且答案：BD解析：思路：依次判断每个命题，利用空间直线位置关系、向量加法法则、共线向量性质、共面向量定理判定真假．解答过程：对于A，空间中不相交的两条直线是异面直线或平行直线，故A项错误；对于B，已知A，B，C，D，E是空间中的任意五点，则，故B项正确；对于C，若两个非零向量，满足，则A，B，C，D四点共线或，故C项错误；对于D，若E，B，C，D四点共面，且点B，C，D不共线，由共面向量定理，存在实数使得，展开，整理得，对比，可得，所以，故D项正确．10.如图，在长方体中，，分别是，的中点，，则下列结论正确的是（）A.的面积为B.平面C.异面直线与所成角的余弦值为D.点到平面的距离为答案：BCD解析：思路：借助长方体几何性质或空间直角坐标系，通过线线平行转化判断线面平行、异面直线夹角，结合解三角形与点到平面距离公式逐一验证命题.解答过程：对于A，因为在长方体中，，所以是等腰三角形，，，其面积为，故A项错误；对于B，，分别是，的中点，由长方体的性质知，，又因为平面，⊂平面，所以平面，故B项正确；对于C，因为，所以异面直线与所成的角为或的补角，，故C项正确；以为坐标原点，，，所在的直线分别为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系，如图所示，因为，，分别是，的中点，所以点，，，，所以，，，设平面的法向量为，则，令，得，，则，又，所以点到平面的距离为，故D项正确．11.将正方形沿对角线翻折，记二面角为，的中点为，则下列结论正确的是（）A.，都有B.若正方形折叠后，，则是等边三角形C.若，则D.若，则直线与平面所成角的正弦值为答案：AC解析：思路：对于A，利用线面垂直的判定定理证明平面，可得结论；对于B，通过计算三角形边的关系即可判断；对于C，利用余弦定理推理计算即得；对于D，利用条件建系，求出相关点与向量的坐标，利用空间向量的夹角公式计算即可.解答过程：易知原正方形的对角线相交于点O，翻折后，得到的图形如图所示．对于A，由正方形的性质知，平面，，所以平面，又因平面，则，都有，故A正确；对于B，正方形翻折后，，易得，所以不是等边三角形，故B错误；对于C，由正方形的性质知，所以，在中，因为，由余弦定理，，化简得，所以，故C正确；对于D，因为，如图所示，以O为坐标原点，所在的直线分别为x、y、z轴，建立空间直角坐标系，设翻折前正方形的边长为，则点，所以，设平面的法向量为，所以，故可取，，所以当时，直线与平面所成角的正弦值为，故D错误．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.在空间直角坐标系中，点关于平面对称的点的坐标为____．答案：解析：解答过程：依题意，点关于平面对称的点的坐标为．13.在空间直角坐标系中，已知点，，，点在线段上运动，当取得最小值时，点的坐标为______，此时点到线段的中点的距离为______．答案：①.②.解析：思路：先根据点M在线段OA上运动设出点M的坐标，再求出与的坐标，进而求得关于参数的表达式，根据二次函数性质求出最小值时参数的值，得到点M的坐标；最后求出线段BC的中点坐标，利用两点间距离公式求出点M到线段BC的中点的距离.解答过程：设点，因为点M在线段OA上运动，所以，因为点，，，设，则点，所以，，则，当时，取得最小值为，此时点M的坐标为．因为点，，所以线段BC的中点的坐标为，所以点M到线段BC的中点的距离为.14.如图，在某市一建筑物楼顶有一四面钟楼，四个大钟对称分布在四棱柱的四个侧面(四棱柱镶嵌时钟的部分可以看成正四棱柱，钟面圆心在棱柱侧面对角线的交点处)．已知在3点整点时刻，相邻两钟面上的时针所在的两条直线相互垂直，则在4点时，相邻两钟面上的时针所在的两条直线所成角的正切值为____．答案：解析：思路：利用正四棱柱建空间直角坐标系，借助3点时针垂直的条件确定底面边长与侧棱长的关系，求出4点对应两条时针方向向量，用向量夹角公式算出夹角正切值.解答过程：如图，在正四棱柱中，为的中点，，在3点钟时针所在的直线上，在4点钟时针所在的直线上，为的中点，，在3点钟时针所在的直线上，在4点钟时针所在的直线上，则．设正四棱柱的底面边长为，侧棱长为，以为原点，，，的方向分别为轴、轴、轴的正方向，建立空间直角坐标系，如图所示，所以点，，，.设两条直线所成角为，则，，，，所以．故在4点时，相邻两钟面上的时针所在的两条直线所成角的正切值为．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.如图，AB是圆的直径，AM与圆所在的平面垂直，C是圆上不同于A，B的一点，．（1）求点B到平面ACM的距离；（2）求异面直线CM与AB所成角的正弦值．答案：（1）（2）解析：思路：（1）通过证明线面垂直可得到点B到平面ACM的距离为BC的长，利用直径所对圆周角为直角可得为直角三角形，根据勾股定理即可求出点到平面的距离BC的长；（2）根据（1）中的线面垂直，建立空间直角坐标系，根据向量角求出异面直线所成角的正弦值．（1）因为平面ABC，平面ABC，所以，因为是圆的直径，所以．因为，且平面，所以平面ACM，因为，所以，所以点B到平面ACM的距离为BC的长，即．（2）因为是圆的直径，所以．因为AM与圆所在的平面垂直，C是圆上不同于A，B的一点，所以作AM的平行线，建立空间直角坐标系，如图所示．因为，所以点，，，，则，，所以，所以异面直线与所成角的余弦值为，故异面直线与所成角的正弦值为．16.如图，在平行六面体中，向量，，两两之间的夹角均为，，，．（1）求线段的长度；（2）求证：．答案：（1）（2）证明：由（1）知，，，，所以，所以，故．解析：思路：（1）由空间向量基本定理得到，通过平方结合向量数量积的运算即可求解；（2）结合（1）通过，即可求证.（1）因为在平行六面体中，由，，可得：，所以=因为，向量，，两两之间的夹角均为60°，则，所以，故线段MN的长度为．（2）略17.如图，已知四棱锥的底面是边长为4的正方形，侧面底面，，，分别是，的中点，点在棱上，且．（1）求证：平面．（2）求直线与平面所成角的正弦值．答案：（1）证明：因为在四棱锥中，，是的中点，所以．又侧面底面，侧面底面，平面，所以平面．以为坐标原点，垂直于的直线为轴，直线，分别为轴和轴，建立如图所示的空间直角坐标系．因为底面是边长为4的正方形，，，分别是，的中点，，所以，，，则点，，，，，所以点，则，，，设平面的法向量为，则，取，得，，所以，所以即，又平面，所以平面．（2）解析：思路：（1）建立如图所示的空间直角坐标系，用向量法证明线面平行；（2）由空间向量法求线面角即可求解.（1）略（2）由（1）知，，，设平面的法向量为，则，取，得，，所以，所以.设直线与平面所成的角为，则，所以直线与平面所成角的正弦值为．18.如图，平面平面，其中四边形为矩形，四边形为梯形，，，．（1）求证：平面⊥平面．（2）若，求二面角的余弦值．答案：（1）证明：因为四边形为矩形，所以．因为平面平面，且平面平面，平面，所以平面．又平面，所以，又，所以，且平面，所以⊥平面．因为平面，所以平面⊥平面．（2）解析：思路：（1）由条件得到平面，进而得到，再结合，即可求证；（2）建系，求得平面法向量，代入夹角公式即可求解.（1）略（2）因为四边形为矩形，四边形为梯形，，所以．以为坐标原点，所在的直线分别为轴、轴，又平面．过点作的平行线为轴，如图：因为，，，所以，在梯形中，取