八年级数学上册《三角形的概念》课件

13.1三角形的概念【R·数学八年级上册】第十三章三角形学习目标结合具体的实例，理解三角形的概念及其边、顶点、角等基本要素，会用符号、字母表示三角形，进一步强化数学符号意识.能按边的相等关系对三角形进行分类，体会数学中的分类思想.三角形是一种基本的几何图形.从古埃及的金字塔到现代的建筑物，从巨大的高压输电塔到微小的分子结构，到处都有三角形的形象.法国卢浮宫玻璃金字塔新课导入生活中的三角形找一找下图中的三角形.你还能在生活中找到哪些三角形的物体？举例说一说.探究新知这些三角形有什么共同点？概念：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接组成的图形叫作三角形.请你自己动手画一个三角形，说一说你是怎么画的.位置关系连接方式知识点1三角形的概念及其基本要素下列图形是三角形吗？是三角形的，在括号内打“√”，不是三角形的，打“×”.（

）

（

）

（

）

（

）

（

）√××××没有首尾顺次相接针对训练三角形的顶点相邻两边的公共端点.ABC三角形的边有时也用a、b、c来表示，如顶点A所对的边BC用a表示.三角形的边线段AB、BC、CA.abc用大写字母A、B、C······表示.组成三角形的线段.知识点1三角形的概念及其基本要素知识点1三角形的概念及其基本要素三角形的内角简称：三角形的角CABabc相邻两边所组成的角.∠A，∠B，∠C.顶点是A，B，C的三角形记作：读作：三角形ABC△ABC如图，在△ABC中，点D在边BC

上，BD=AD=DC=AC.（1）写出以点C为顶点的三角形.（2）写出以AB

为边的三角形.ABCD教材P3例题解：（1）以点C为顶点的三角形是ABCD△ABC、△ADC.（2）以AB为边的三角形是△ABC、△ABD.教材P3例题如图，在△ABC中，D、E分别为边BC、AC上的点，AD、BE相交于点F.（1）图中有几个三角形？请把它们表示出来.（2）以AB

为边的三角形有哪些？（3）以∠C

为内角的三角形有哪些？ABCEFD针对训练ABCEFD单个的三角形：△ABF△AEF△BDF解：（1）两个图形组成的三角形：△ABD△ABE△ACD△BCE四个图形组成的三角形：△ABC图中一共有8个三角形.针对训练ABCEFD（2）以AB为边的三角形有：△ABF△ABD△ABE△ABC针对训练ABCEFD（3）以∠C为内角的三角形有：△BCE△ACD△ABC针对训练数三角形个数的方法：1.按组成三角形的图形个数去数；2.固定一个顶点，变换另外两个顶点去数；3.固定一条边，按一定的顺序去数.方法总结知识点2三角形的分类我们知道，按照三个内角的大小，可以将三角形分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形.探究如何按照边的关系对三角形进行分类呢？说一说你的想法，并与同学交流.直角三角形锐角三角形钝角三角形知识点2三角形的分类图中三个三角形的边各有什么特点？①②③三边互不相等有两条边相等三条边都相等知识点2三角形的分类ABC有两条边相等的三角形叫作等腰三角形.腰腰底边顶角底角底角ABC三边都相等的三角形叫作等边三角形.特殊的等腰三角形知识点2三角形的分类按边来给三角形分类：三边都不相等的三角形等腰三角形底边和腰不相等的等腰三角形等边三角形等边三角形一定是等腰三角形，等腰三角形不一定是等边三角形.三角形直角三角形锐角三角形钝角三角形三边都不相等的三角形等腰三角形等边三角形可以看出，三角形按边分类和按角分类是两种不同的分类方式，各自独立.三角形按角分类三角形按边分类用画图的方式表示三角形的分类例如图，在△ABC中，点D在边BC

上，BD=AD=DC=AC.（3）找出图中的等腰三角形和等边三角形.ABCD教材P3例题ABCD解：（3）等腰三角形是△ABD、△ADC.等边三角形是△ADC.教材P3例题下列说法：①等边三角形一定不是钝角三角形；②钝角三角形一定不是等腰三角形；③等腰三角形一定不是锐角三角形；④直角三角形一定不是等腰三角形.其中正确的个数是（）A.1 B.2 C.3 D.4√×××A针对训练随堂演练1.设M表示直角三角形，N表示等腰三角形，P表示等边三角形，Q表示等腰直角三角形.下列选项中，能正确表示它们之间关系的是（）CABCD随堂演练2.若△ABC的周长是13cm，边AB

与AC

的长的和为8cm，边AC

与AB

的长的差为2cm，则△ABC

按边分类是____________.分析：AB+AC=

8cmAC–AB=

2cmAB=

3cmAC=

5cmAB+AC+BC=

13cmBC=

5cmAC=BC等腰三角形随堂演练3.如图，在△ABC中，AB=

BC

=

CA，点O

在△ABC

内，OA=OB=OC，找出图中的等腰三角形和等边三角形.ABCO教材P3练习第1题ABCO解：等腰三角形是△ABC、△BOC、等边三角形是△ABC.△AOB、△AOC.随堂演练教材P3练习第1题随堂演练教材P3练习第2题4.如图，在△ABC中，∠BAC

是直角，AD⊥BC，垂足为D，点E

在线段BD

上，找出图中的锐角三角形、直角三角形和钝角三角形.ABCDE随堂演练教材P3练习第2题ABCDE解：锐角三角形是△ACE.△ABC、直角三角形是△ABE.△ABD、△ACD、钝角三角形是△ADE.课堂小结边、顶点、内角（角）三角形定义元素分类由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接组成的图形直角三角形锐角三角形钝角三角形三边都不相等的三角形等腰三角形等边三角形一、选择题(共12题，每题3分，共36分)1.

[唐山丰南区期中]木工要做一个三角形木架，现有两根木条的

长度分别为12

cm和5

cm，则第三根木条的长度不能是(

A

)

A.

6

cmB.

9

cmC.

13

cmD.

16

cm2.

如图，一只手握住了一个三角形的一部分，则这个三角形是(

D

)A.

钝角三角形B.

直角三角形C.

锐角三角形D.

以上都有可能AD12345678910111213141516171819203.

[唐山丰润区模拟]如图，在△

ABC

中，∠1＝∠2＝∠3＝∠4，

则下列说法中，正确的是(

B

)A.

AD

是△

ABE

的中线B.

AE

是△

ABC

的角平分线C.

AF

是△

ACE

的高线D.

AE

是△

DAF

的中线B12345678910111213141516171819204.

把

n

边形变为(

n

＋

x

)边形，内角和增加了180°，则

x

的值为(

A

)A.

1B.

2C.

3D.

4【解析】由题意，得(

n

＋

x

－2)×180°－(

n

－2)×180°＝180°，解得

x

＝1.A12345678910111213141516171819205.

如图，在3×3的网格中，每个小正方形的边长均为1，点

A

，

B

，

C

都在格点上，则△

ABC

的面积为(

C

)B.

3D.

4

C12345678910111213141516171819206.

科技馆为某机器人编写了一段程序，如果这个机器人在平地上按照

图中所示的程序行走，那么该机器人所走的总路程为(

C

)A.

6

mB.

8

mC.

12

mD.

不能确定C1234567891011121314151617181920【解析】由题意知，机器人从点

A

出发再回到点

A

时，走过的路线可围

成一个正多边形，∵每次左转30°，即这个正多边形的每个外角为30°，∴这个正多边形的边数为360°÷30°＝12.∴它第一次回到出发点

A

时，一共走了12×1＝12(m).12345678910111213141516171819207.

如图，在四边形

ABCD

中，∠

C

＝110°，与∠

BAD

，∠

ABC

相邻

的外角都是110°，则与∠

ADC

相邻的外角α的度数是(

D

)A.

90°B.

85°C.

80°D.

70°【解析】∵在四边形

ABCD

中，∠

C

＝110°，∴与∠

C

相邻的外角度数为180°－110°＝70°.∴α＝360°－70°－110°－110°＝70°.D12345678910111213141516171819208.

一个正方形和两个等边三角形的位置如图所示，若∠3＝50°，则

∠1＋∠2的度数是(

B

)A.

90°B.

100°C.

130°D.

180°B1234567891011121314151617181920【解析】如图可知，∠

BAC

＝180°－90°－∠1＝90°－∠1，∠

ABC

＝180°－60°－∠3＝120°－50°＝70°，∠

ACB

＝180°－60°－

∠2＝120°－∠2.∵在△

ABC

中，∠

BAC

＋∠

ABC

＋∠

ACB

＝180°，∴90°－∠1＋70°＋120°－∠2＝180°.∴∠1＋∠2＝100°.12345678910111213141516171819209.

若三角形三个外角的比为3∶4∶5，则这个三角形是(

B

)A.

锐角三角形B.

直角三角形C.

等腰三角形D.

钝角三角形【解析】设三角形的三个外角的度数分别为3

x

，4

x

，5

x

，则3

x

＋4

x

＋5

x

＝360°，解得

x

＝30°.∴3

x

＝90°，4

x

＝120°，5

x

＝150°，相应的内角分别为90°，60°，30°.∴这个三角形是直角三角形.B123456789101112131415161718192010.

等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为40°，则它的底角度数是

(

B

)A.

65°B.

65°或25°C.

25°D.

50°B1234567891011121314151617181920【解析】当该等腰三角形为锐角三角形时，如图1，可求得其顶角为50°，

当该等腰三角形为钝角三角形时，如图2，

可求得顶角的外角为50°，则顶角为180°－50°＝130°，

综上所述，该等腰三角形的底角为65°或25°.123456789101112131415161718192011.

如图所示，将正五边形

ABCDE

的点

C

固定，并按顺时针方向旋

转，要使新五边形A'B'CD'E'的顶点D'落在直线

BC

上，则旋转角度为

(

B

)A.

108°B.

72°C.

54°D.

36°第11题图B1234567891011121314151617181920【解析】∵正五边形的外角＝360°÷5＝72°，∴将正五边形

ABCDE

的点

C

固定，并按顺时针方向旋转，则旋转72°，可使得新五边形

A'B'CD'E'的顶点D'落在直线

BC

上.第11题图123456789101112131415161718192012.

如图是由10把相同的折扇组成的“蝶恋花”(图1)和“梅花”图案

(图2)(图中的折扇无重叠)，则“梅花”图案中的五角星的五个锐角均为

(

D

)A.

36°B.

42°C.

45°D.

48°第12题图D1234567891011121314151617181920【解析】如图，连接图中五角星的各个顶点，组成正五边形.∵五边形的内角和＝(5－2)×180°＝540°，

∵扇形中心角度为120°，

∴剩下顶角为108°－2×30°＝48°.第12题图1234567891011121314151617181920二、填空题(共4题，每题3分，共12分)13.

在以下生活现象中：①自行车的三角形车架；②校门口的自动伸缩

栅栏门；③照相机的三脚架；④长方形门框的斜拉条.利用了三角形的

稳定性的有

(填序号).①③④

123456789101112131415161718192014.

如图，在△

ABC

中，∠

ABC

＝50°，∠

ACB

＝78°，

BD

平分∠

ABC

交

AC

于点

D

，则∠

BDC

的度数为

⁠°.77

123456789101112131415161718192015.

[石家庄裕华区二模]一块板材如图所示，测得∠

B

＝90°，∠

A

＝20°，∠

C

＝35°，根据需要，∠

ADC

为140°，师傅说板材不符

合要求且只能改动∠

A

，则可将∠

A

(填“增加”或“减少”)

⁠°.第15题图减少5

1234567891011121314151617181920【解析】如图，延长

CD

交

AB

于点

E

.

∵∠

ADC

＝∠

A

＋∠

CEA

，∠

CEA

＝∠

B

＋∠

C

，∴∠

ADC

＝∠

A

＋∠

B

＋∠

C

.

∵∠

B

＝90°，∠

A

＝20°，∠

C

＝35°，∴∠

ADC

＝20°＋90°＋35°＝145°.∵∠

ADC

需为140°，∴可将∠

A

减少5°.第15题图123456789101112131415161718192016.

[石家庄模拟]我们定义：在一个三角形中，如果一个角的度数

是另一个角度数的3倍，这样的三角形我们称之为“和谐三角形”.如：

三个内角分别为105°，40°，35°的三角形是“和谐三角形”.概念

理解：如图，∠

MON

＝60°，在射线

OM

上找一点

A

，过点

A

作

AB

⊥

OM

交

ON

于点

B

，则∠

ABO

的度数为

，△

AOB

(填

“是”或“不是”)“和谐三角形”.30°

是第16题图1234567891011121314151617181920【解析】∵

AB

⊥

OM

，∴∠

OAB

＝90°.∵∠

MON

＝60°，∴∠

ABO

＝180°－90°－60°＝30°.在△

AOB

中，∠

OAB

＝90°，∠

ABO

＝30°，即∠

OAB

＝3∠

ABO

，

∴△

AOB

是“和谐三角形”.第16题图1234567891011121314151617181920三、解答题(共52分)17.

(6分)已知

n

边形的内角和θ＝(

n

－2)×180°.(1)甲同学说：“θ能取360°”；而乙同学说：“θ也能取630°”.甲、

乙同学的说法对吗？若对，求出边数

n

；若不对，请说明理由；解：(1)∵360°÷180°＝2，630°÷180°＝3.5，∴甲同学的说法对，乙同学的说法不对.∵360°÷180°＋2＝2＋2＝4.∴甲同学说的边数

n

是4.1234567891011121314151617181920(2)若

n

边形变为(

n

＋

x

)边形，发现内角和增加了360°，用列方程的方

法确定

x

.解：(2)依据题意，得(

n

＋

x

－2)×180°－(

n

－2)×180°＝360°，解

得

x

＝2.∴

x

的值是2.123456789101112131415161718192018.

(6分)如图，在△

ABC

中，∠

B

＝∠

C

，

D

，

E

分别是

BC

，

AC

上

的点，连接

DE

，∠1＝∠2，∠

BAD

＝40°，求∠

EDC

的度数.解：∵∠1是△

DEC

的外角，∴∠1＝∠

EDC

＋∠

C

.

∵∠1＝∠2，∴∠2＝∠

EDC

＋∠

C

.

∵∠

ADC

是△

ABD

的外角，∴∠

ADC

＝∠

B

＋∠

BAD

.

∴∠

B

＋∠

BAD

＝∠2＋∠

EDC

，即∠

B

＋40°＝∠

C

＋2∠

EDC

.

又∵∠

B

＝∠

C

，∴2∠

EDC

＝40°.∴∠

EDC

＝20°.123456789101112131415161718192019.

(8分)如图，用钉子把木棒

AB

，

BC

和

CD

分别在端点

B

，

C

处连接

起来，并让木棒

AB

，

CD

可以分别绕端点

B

，

C

转动，用橡皮筋把

AD

连接起来，设橡皮筋

AD

的长是

x

cm.(1)若

AB

＝5

cm，

CD

＝3

cm，

BC

＝11

cm，求

x

的最大值和最小值；1234567891011121314151617181920解：(1)当

AB

绕点

B

逆时针转到与

BC

共线，

CD

绕点

C

顺时针转到与

BC

共线时，

x

为最大值，即

x

＝

AB

＋

BC

＋

CD

＝5＋11＋3＝19(cm)；当

AB

绕点

B

顺时针转到与

BC

共线，

CD

绕点

C

逆时针转

到与

BC

共线时，

x

为最小值，即

x

＝

BC

－

AB

－

CD

＝

11－5－3＝3(cm).1234567891011121314151617181920(2)在(1)的条件下要围成一个四边形，你能求出

x

的取值范围吗？解：(2)如果要使

AB

，

BC

，

CD

，

AD

围成一个四边形，

那么

AB

，

BC

，

CD

三根木棒不能共线，∴

x

的取值范围

为3＜

x

＜19.123456789101112131415161718192020.

(9分)如图，在四边形

ABCD

中，∠

B

＝∠

D

＝90°，

AE

平分∠

BAD

，

CF

平分∠

BCD

，则

AE

与

CF

有怎样的位置关系？请说明理由.1234567891011121314151617181920解：

AE

∥

CF

.

∴∠

EAD

＝∠

CFD

.

∴

AE

∥

CF

.

123456789101112131415161718192021.

(11分)如图是甲、乙、丙三位同学折纸的示意图.(1)甲折出的

AD

是

；乙折出的

AD

是

⁠

；丙折出的

AD

是

⁠.

△

ABC

的边

BC

上的高△ABC

的角平分线△

ABC

的边

BC

上的中线2122

∴

D

是边

BC

的中点.故丙折出的

AD

是△

ABC

的边

BC

上的中线.2122(2)淇淇是个善于思考的同学，折完三个图后，他分别提出了如下问

题，请你试着帮他解答.①如图甲，若∠

B

＝30°，∠

C

＝60°，求∠BAC'的度数；图中是否

还有与∠

B

大小相等的角？若有，请指出，并说明理由；②如图乙，若∠

C

＝60°，则要折出乙图中的情形，∠

ABC

的取值范

围是

⁠；60°＜∠

ABC

＜120°

2122③如图丙，折痕

DE

与

AC

交于点

E

，

AD

与

BE

交于点

F

，量得

DC

＝

DE

＝2，

AE

与

EC

的比为1∶3，请求出△

ABE

的面积及△

AFB

与△

EFD

的面积差.①解：由折叠的性质，可得∠AC'C＝∠

C

＝60°.∵∠AC'C＝∠

B

＋∠BAC'，∠

B

＝30°∴∠BAC'＝∠AC'C－∠

B

＝60°－30°＝30°.还有与∠

B

大小相等的角∠

DAC

，∠DAC'.理由：由折叠的性质可知，

AD

是△

ABC

的边

BC

上的高，∴∠

ADC

＝∠ADC'＝90°.∴∠

DAC

＝∠DAC'＝∠

B

＝30°.2122③解：由折叠的性质可知，

DE

是△

EBC

的边

BC

的高，

BD

＝

CD

＝2，

BC

＝

BD

＋

DC

＝2＋2＝4.