九年级数学上册《过三点的圆》课件

第二十九章圆R·九年级数学上册29.1圆的有关概念29.1.2过三点的圆学习目标1.理解不在同一直线上的三个点确定一个圆及其运用.2.了解三角形的外接圆和三角形外心的概念.3.了解反证法的证明思想.复习回顾OrACB概念：1.圆2.圆心3.半径4.弦5.直径6.弧7.等圆8.等弧探索新知探究1：经过一个点A能不能作圆？这样的圆能作出多少个？A可作无数个圆，圆心为点A以外任意一点，半径为这点与点A的距离.探究2：经过两个点A，B能不能作圆？如果能，所作圆的圆心的位置有什么特点？AB可作无数个圆，圆心在线段AB的垂直平分线上.A探究3：经过不在同一条直线上的三个点A，B，C能不能作圆？如果能，如何确定所作圆的圆心？BCl1l2O分别作线段AB，BC的垂直平分线l1，l2，设l1，l2相交于点O，则OA=OB=OC.以点O为圆心，OA为半径，作出⊙O.

由作法可知，经过A，B，C三点可以作一个并且只可以作一个圆.不在同一条直线上的三个点确定一个圆.1.小明不慎把家中的圆形玻璃打碎了，其中四块碎片如图所示，为得到与原来大小一样的圆形玻璃，小明带到商店去的一块玻璃碎片应该是（）A.①

B.②C.③

D.④牛刀小试B2.如图，CD所在的直线垂直平分线段AB，怎样用这样的工具找到圆形工件的圆心？【选自教材第118页练习第1题】解：让A，B两点落在圆上，沿CD画一条直线，再用同样的方法，将A，B两点放在圆上另外两点上，再沿CD画一条直线，两条直线相交于点O，则点O即为圆心.通过探究活动发现过不在同一条支线上的三点可以作圆，说明圆与三角形存在对应关系.ABCl1l21.经过三角形的三个顶点可以作一个圆，这个圆叫作三角形的外接圆.如图，☉O是△ABC的外接圆.△ABC叫作☉O的内接三角形.2.三角形外接圆的圆心叫作三角形的外心.作图：三角形三边中垂线的交点.性质：到三角形三个顶点的距离相等.O画一画：分别画一个锐角三角形、直角三角形和钝角三角形，再画出它们的外接圆，观察并说说各三角形与它的外心的位置关系.锐角三角形的外心位于三角形内，直角三角形的外心位于直角三角形斜边的中点，钝角三角形的外心位于三角形外.3.如图，在5×7的网格中，各小正方形的边长均为1，点O，A，B，C，D，E均在格点上，点O是△ABC的外心，在不添加其他字母的情况下，则除△ABC外，把你认为外心也是O的三角形都写出来.牛刀小试△ABD，△ACD，△BCD.思考：我们知道，经过不在同一条直线上的三个点，可以作一个圆.那么，经过同一条直线上的三个点，可以作一个圆吗？lABC证明：假设经过同一条直线l上的A，B，C三点可以作一个圆.l1l2P设这个圆的圆心为P，那么点P既在线段AB的垂直平分线l1上，又在线段BC的垂直平分线l2上，即点P为l1与l2的交点.而l1⊥l，l2⊥l，这与以前学过的“过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”矛盾.∴经过同一条直线上的三个点不能作圆.反证法先提出与结论相反的假设，再推导出和定义、基本事实、定理或题设等相矛盾的结果，然后由矛盾断定所作假设不正确，从而得到原命题成立.这种方法叫作反证法.用反证法证明命题的一般步骤否定结论假设命题的结论不成立.推出矛盾从这个假设出发，经过推理，得出矛盾.肯定结论由矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确.试一试：用反证法证明“两直线平行，同位角相等”.ABCDEF12证明：假设∠1≠∠2，过点O作直线A'B′，使∠EOB′=∠2.A′B′根据“同位角相等，两直线平行”，可得A'B′∥CD.这样，过点O就有两条直线AB，A′B′都平行于CD，这与基本事实“过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行”矛盾.这说明假设∠1≠∠2不正确，从而∠1=∠2.4.用反证法说明：400人中至少有两个人的生日相同.牛刀小试【选自教材第119页练习第1题】证明：假设400人中每个人生日都不相同，则400个人中有400个生日日期，对应着有400天，这与一年中平年有365天，闰年有366天矛盾，∴假设不成立，∴400人中至少有两个人的生日相同.5.用反证法说明：一个三角形中不能有两个角是直角.【选自教材第119页练习第2题】证明：假设△ABC中有两个角是直角，即∠A=∠B=90°，∴∠A+∠B+∠C>180°，这与三角形内角和等于180°矛盾，这说明假设不成立，∴一个三角形中不能有两个角是直角.随堂练习1.判断下列说法是否正确.（1）任意的一个三角形一定有一个外接圆.()（2）一个圆有且只有一个内接三角形.()（3）经过任意三点一定可以确定一个圆.()

（4）三角形的外心到三角形各顶点的距离相等.()√××√2.如图，△ABC是边长为2的等边三角形，作出它的外接圆，并求外接圆的半径长.【选自教材第118页练习第2题】ABCBACOD

3.如图，已知点E是△ABC的外心，P，Q分别是AB，AC的中点，连接EP，EQ，分别交BC于点F，D.若BF=10，DF=6，CD=8，则△ABC的面积为_______.ABCPQFDE96课堂小结过点画圆过一点可以作无数个圆.过两点可以作无数个圆.过不在同一直线上的三个点确定一个圆.经过三角形的三个顶点可以作一个圆，这个圆叫作三角形的外接圆.反证法证明1.否定结论2.推出矛盾3.肯定结论三角形的外心一、选择题(共12题，每题3分，共36分)1.如图，

B

，

C

是☉

O

上两点，且∠α＝96°，

A

是☉

O

上一个动点(不与

点

B

，

C

重合)，则∠

A

的度数为(

C

)A.48°B.132°C.48°或132°D.96°第1题图C1234567891011121314151617181920【解析】如图，在优弧

BC

上取一点A'，连接BA'，CA'，

∴∠A'＝48°.∵∠A'＋∠

A

＝180°，∴∠

A

＝132°.综上所述，∠

A

的度数为48°或132°.12345678910111213141516171819202.如图，在半径为5cm的☉

O

中，弦

AB

＝8cm，

OC

⊥

AB

于点

C

，则

OC

的长为(

A

)A.3cmB.4cmC.5cmD.6cm第2题图A1234567891011121314151617181920【解析】如图，连接

OA

，则

OA

＝5cm.∵

OC

⊥

AB

，

在Rt△

OAC

中，

OA2＝

AC2＋

OC2，即52＝42＋

OC2，∴

OC

＝3cm(负值已舍去).12345678910111213141516171819203.如图，在☉

O

中，若∠

BOC

＝50°，则∠

BAC

的度数是(

C

)A.50°B.30°C.25°D.20°第3题图

C12345678910111213141516171819204.如图，在5×5的正方形网格中，一条圆弧经过

A

，

B

，

C

三点，那么

这条圆弧所在圆的圆心是(

B

)A.点

P

B.点

Q

C.点

R

D.点

M

第4题图B1234567891011121314151617181920【解析】作线段

AB

的垂直平分线，作线段

BC

的垂直平分线，如图，它们都经过点

Q

，所以点

Q

是这条圆弧所在圆的圆心.12345678910111213141516171819205.如图，将一把透明三角尺放置在量角器上，使点

C

与圆心重合，若∠

ACB

＝90°，∠

A

＝30°.三角尺的直角边

BC

和量角器所在圆的半径相

等，

D

是斜边

AB

与量角器的交点，若点

B

对应的刻度为138°，则点

D

对应的刻度为(

C

)A.52°B.72°C.78°D.82°第5题图C1234567891011121314151617181920【解析】如图，连接

CD

.

∵∠

ACB

＝90°，∠

A

＝30°，∴∠

B

＝90°－30°＝60°.∵

CD

＝

BC

，∴△

BCD

是等边三角形.∴∠

BCD

＝60°.∵点

B

对应的刻度为138°，∴点

D

对应的刻度为138°－60°＝78°.12345678910111213141516171819206.当一个三角形的内心与外心重合时，这个三角形一定是(

D

)A.直角三角形B.等腰直角三角形C.钝角三角形D.等边三角形D12345678910111213141516171819207.如图，在边长为2的等边三角形

ABC

中，

D

是

BC

边上的中点，以点

A

为圆心，

AD

长为半径作圆与

AB

，

AC

分别交于

E

，

F

两点，则图中

阴影部分的面积为(

C

)第7题图C1234567891011121314151617181920

12345678910111213141516171819208.底面直径为6cm的圆锥的侧面展开图的圆心角为216°，则这个圆锥的

高为(

D

)A.5cmB.3cmC.8cmD.4cmD1234567891011121314151617181920【解析】设圆锥的母线为

xcm，

∵圆锥的底面直径为6cm，∴圆锥的底面半径为6÷2＝3(cm).如图，圆锥的底面半径

OB

，母线

AB

，高

OA

构成一个直角三角形，则

AB

＝5cm，

OB

＝3cm.

故圆锥的高是4cm.12345678910111213141516171819209.如图，☉

O

是△

ABC

的内切圆，

D

，

E

分别为边

AB

，

AC

上的点，且

DE

为☉

O

的切线，若△

ABC

的周长为25，

BC

的长是9，则△

ADE

的周

长是(

A

)A.7B.8C.9D.16第9题图A1234567891011121314151617181920【解析】如图，∵

AB

，

AC

，

BC

，

DE

都和☉

O

相切，∴

BI

＝

BG

，

CI

＝

CH

，

DG

＝

DF

，

EF

＝

EH

.

∴

BG

＋

CH

＝

BI

＋

CI

＝

BC

＝9.∴

C△

ADE

＝

AD

＋

DE

＋

AE

＝

AD

＋

DF

＋

EF

＋

AE

＝

AD

＋

DG

＋

EH

＋

AE

＝

AG

＋

AH

＝

C△

ABC

－(

BG

＋

CH

＋

BC

)＝25－2×9＝7.123456789101112131415161718192010.对于“过直线

l

外一点

A

作这条直线的垂线”的几何作图，甲、乙均设

计了自己尺规作图的过程：甲：①在直线

l

上取一点

B

，连接

AB

，如图；②作线段

AB

的垂直平分线

EF

，交

AB

于点

O

；③以点

O

为圆心，

OB

长为半径作圆，交直线

l

于点

G

；④作直线

AG

，直线

AG

即为所求作的直线.1234567891011121314151617181920乙：①在直线

l

上取点

B

和点

D

，连接

AB

，

AD

，如图；②以点

B

为圆心，

BA

长为半径作圆；③以点

D

为圆心，

DA

长为半径作圆，两圆相交于点

A

和点

M

；④作直线

AM

，直线

AM

就是所求的直线.对于以上作图过程(

D

)A.甲对B.乙对C.甲、乙均不对D.甲、乙均对D1234567891011121314151617181920【解析】对于甲，由作图可知，

O

为

AB

的中点，∴

AB

为☉

O

的直径.∵

G

为☉

O

上一点，∴∠

AGB

＝90°.∴

AG

⊥

BG

，即

AG

⊥

l

.故甲作法正确；对于乙，如图，连接

BM

，

DM

.

由作图，可知

BA

＝

BM

，

DA

＝

DM

，∴

B

，

D

在

AM

的中垂线上.∴

BD

⊥

AM

，即

AM

⊥

l

.故乙作法正确.123456789101112131415161718192011.如图，等边三角形

ABC

的边长为4，☉

A

的半径为2，

D

是

BC

边上的

动点，

DE

与☉

A

相切于点

E

，

DE

的最小值是(

C

)A.2D.3第11题图C1234567891011121314151617181920【解析】如图，连接

AE

，

AD

，作

AH

⊥

BC

于点

H

.

∵

DE

与☉

A

相切于点

E

，∴

AE

⊥

DE

.

∵☉

A

的半径为2，

∴当

AD

取最小值时，

DE

有最小值，而当点

D

与点

H

重合时，

AD

最小.∵等边三角形

ABC

的边长为4，∴

BH

＝

CH

＝2.

1234567891011121314151617181920

第12题图

A.嘉嘉对，淇淇错B.淇淇对，嘉淇错C.嘉嘉错，嘉淇错D.淇淇错，嘉淇对A1234567891011121314151617181920

∴

PM

＝

OP

－

OM

＝5－3＝2.∴点

P

到

AB

的距离为2，故嘉嘉对；

1234567891011121314151617181920二、填空题(共4题，每题3分，共12分)13.如图，四边形

ABCD

内接于☉

O

，若四边形

ABCO

是平行四边形，

则∠

D

的度数为

⁠.第13题图60°

1234567891011121314151617181920

123456789101112131415161718192014.正

n

边形的中心角为72°，则

n

＝

；正

n

边形的每一个内角

为

⁠.

【方法点拨】本题考查的是正多边形和圆，熟知正多边形的中心角之和

为360°是解答本题的关键.5

123456789101112131415161718192015.如图，△

ABC

内接于☉

O

，

AD

是☉

O

的直径，∠

ABC

＝30°，则∠

CAD

＝

⁠°.第15题图60

【解析】∵

AD

是☉

O

的直径，∴∠

ACD

＝90°.∵∠

CDA

＝∠

ABC

＝30°，∴∠

CAD

＝90°－∠

CDA

＝60°.123456789101112131415161718192016.[石家庄外国语学校开学考试]如图，已知△

ABC

为等腰直角三

角形，∠

BAC

＝90°，

AC

＝2，以点

C

为圆心，1为半径作圆，

P

为☉

C

上一动点，连接

AP

，并绕点

A

顺时针旋转90°得到AP'，连接CP'，则

CP'的取值范围是

⁠.

第16题图1234567891011121314151617181920【解析】如图，连接

CP

，BP'，由题意，得∠PAP'＝90°，又∵∠

BAC

＝90°，∴∠

CAP

＋∠CAP'＝∠BAP'＋∠CAP'＝90°.∴∠

CAP

＝∠BAP'.

∴△

APC

≌△AP'B(SAS).1234567891011121314151617181920∴

PC

＝P'B＝1.∴点P'在以点

B

为圆心，1为半径的圆上.在等腰直角三角形

ABC

中，∵

AC

＝2，

1234567891011121314151617181920三、解答题(共52分)17.(6分)如图，一量角器所在圆的直径为10cm，其外缘有

A

，

B

两点，

其读数分别为71°和47°.(1)劣弧

AB

所对的圆心角的度数为

°；【解析】劣弧

AB

所对圆心角的度数为71°－47°＝24°.24

1234567891011121314151617181920

123456789101112131415161718192018.(8分)如图，(1)请画出△

ABC

绕点

O

顺时针旋转90°后得到的△

A1

B1

C1；解：(1)如图，△

A1

B1

C1即为所作.1234567891011121314151617181920(2)求出(1)中点

C

旋转到点

C1所经过的路径长(结果保留π).

123456789101112131415161718192019.(8分)如图，

AC

，

BD

是☉

O

的切线，

C

，

D

为切点，连接

AB

.

(1)若

AB

与☉

O

相切于点

E

，求证：

AC

＋

BD

＝

AB

；证明：(1)∵

AB

与☉

O

相切于点

E

，且

AC

，

BD

是☉

O

的切线，

C

，

D

为切点，∴

AE

＝

AC

，

BE

＝

BD

.

∵

AB

＝

AE

＋

BE

，∴

AC

＋

BD

＝

AB

.

1234567891011121314151617181920(2)若

AC

＋

BD

＝

AB

，求证：

AB

与☉

O

相切.证明：(2)如答图，延长

AC

到点

F

，使得

CF

＝

BD

，连接

AO

，过点

O

作

OG

⊥

AB

，垂足为

G

，连

接

OB

，

OD

，

OC

，

OF

.

∵

CF

＝

BD

，

AC

＋

BD

＝

AB

，∴

AB

＝

AC

＋

CF

＝

AF

.

∵

AC

，

BD

是☉

O

的切线，

C

，

D

为切点，∴∠

BDO

＝∠

FCO

＝90°，

OC

＝

OD

.

1234567891011121314151617181920∴△

BDO

≌△

FCO

(SAS).∴

OB

＝

OF

.

又∵

AF

＝

AB

，

AO

＝

AO

，∴△

ABO

≌△

AFO

(SSS).∴∠

BAO

＝∠

FAO

，即

AO

平分∠

BAC

.

又∵

OG

⊥

AB

，

OC

⊥

AC

，∴

OG

＝

OC

.

∴

AB

与☉

O

相切.123456789101112131415161718192020.(8分)如图，

AB

为☉

O

的直径，弦

CD

⊥

AB

于点

F

，

OE

⊥

AC

于点

E

，若

OE

＝3，

OB

＝5，求

OF

的长.解：如图，连接

OC

.

∵

AB

⊥

CD

，

OE

⊥

AC

，∴

CF

＝

FD

，

AE

＝

EC

.

∵

OE

＝3，

OB

＝5，∴

OB

＝

OC

＝

OA

＝5.

∴

AE

＝

EC

＝4.1234567891011121314151617181920∴

AC

＝8.设

OF

＝

x

，则

AF

＝5＋

x

.在Rt△

CAF

中，

CF2＝

AC2－

AF2，在Rt△

OFC

中，

CF2＝

OC