湖南长郡中学2027届高三月考试卷（三）数学+答案

本试卷共6页。时量120分钟。满分150分。1.已知集合A={x|x²—2x—3<0},B={-2,-1,0,1},则A∩B=A.{0,1}B.{-1,0,1}A.充分不必要条件B.充要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件4.已知M为△ABC所在平面内的一点,则AE=CCA.(0,0)B.(1,0)C.(1,2)A.w7.(★)水平桌面上放置了4个半径为4的小球，4个小球的球心构成正方形，且相邻的两个小球相A.8B.12C.4√2+8.设l≤a₁≤a₂≤…≤a7,其中aj,a3,as,a₇成公比为q的等比数列，a2,aj,a6成公差为1的等差数A.√29.(★)设正项数列{an}的前n项和是S,,且a₁=1,a₃=20,下列选项中正确的有11.定义在(0,+∞)上的函数f(x)的导函数为f'(x),若对于任意正实数x,都有x²f(x)+x³f'(x)A.函数F(x)=xf(x)的极小值点为x=1B.曲线y=f(x)在点(e,f(e))处的C.函数y=f(x)在x=e处取得极大值D.函数y=f(x)在(0,十∞)上无极值题号123456789得分答案三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分)14.已知等差数列{an}的公差为,若集合A={x|x=cosan,n∈N*}={x,x2},则x₁x₂三.四、解答题(本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15.(本小题满分13分)(1)求角A;(2)点D是BC的中点，延长AD至点E,连接BE,CE,a=2√3,AD=2DE,求△BEC面积的取值范围.数学试题(27N)第3页(共6页)16.(本小题满分15分)随机依次抽取出一球.17.(★)(本小题满分15分)(2)若AD⊥DC,且二面角A-CP-D的正弦值为,求AD.18.(本小题满分17分)已知函数f(x)=ax—1,g(x)=Inx—1(a∈R).(1)设函数F(x)=f(x)-g(x),若在定义域内F(x)≥0恒成立，求a的取值范围.19.(本小题满分17分)(2)若an=2n,是否存在i,j∈N*,使得S(i,j)=2048?若存在，求出一组符合条件的i,j;若不(3)若an=n,把集合T中的元素从小到大排列，得到的新数列为b₁,b₂,b₃,…,bm,…,若b≤2026,求m的最大值.数学试题(27N)第6页(共6页)高三数学三参考答案123456789答案ABCBCBDCABD一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分)表示椭圆”的必要不充分条件.5.C【解析】由题知，f(x)定义域为(0,2),图象的对称中心为(1,2).6.B【解析】根据图象可知，函数f(x)的图象是由y=Asinwx向右平个单位长度得到的；由图可知f(x₁)=f(x₂)=0,利用整体代换可得wx₁+φ=0,wx2+φ=π,为已知，则可求得,故选B.7.D【解析】要使半球形容器内壁的半径最小，只需保证小球与球各面(含球面部分)都相切，此时，如图所示，O为半球的球心，A为其中一个小球球心，则OA是棱长为4的正方体的体对角线，且该小球与半球球面上的切点与O,A共线，所以半球形容器内壁的半径的最小值为小球半径与OA长度之和，即4√3+4.∵az≥1,a₁=1,∴a2a₂+1,a₂+2的最小值分别为1.2,3,∴qmn=√3.二、选择题(本大题共3小题，每小题6分，共18分)9.BCD【解析】对于A,若{an}是等比数列，则错误；对于B,若{an}是等差数列，则S₅=a3=a₂+21,由S₁S₃=S,得a₂+21=(1+a2)²,解得a₂=4,S₂=a₁+a2=5,C正确；对于D,若{S,}是等差数列，则S₁+S₃=2S₂,即a₂+22=2a₂+2,解得a₂=20,D正确.10.BC【解析】对于选项A,AC²=2BC·CA→b²=-2abcosC→b=—2acosC,故A项错误；对于选项B,由b²=-2abcosC→b²=—(a²+b²—c²)→2b²=c²—a²,故B项正确；对于选项取等号),角B的最错误.函数F(x)=xf(x),函数F(x)=xf(x)的极小值点为x=1,故A正确.又,故故曲线y=f(x)在点(e,f(e))处的切线方程为,故B正确.选项C错误，选项D正确.三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分)所以过P作PG⊥β,垂足为G,PMLAB于M,连接GM,如图，则PGLAB,PMLAB,PG∩PM=P,PG,PMC平面PGM,所以ABL平面PGM,GMC平面PGM,所以ABLMG,则,其周期而n∈N*,即cosa最多3个不同取值，设这两项分别为,于是有故所以a[cos(A-B)—cos(A+B)]=√3bsinA,由正弦定理得2sin²AsinB=√3sinBsinA,(2)因为AD=2DE,,因此故,所以△BEC面积的取值范围为……………13分事件A表示“前两次取到红球，第3次取到白球”,…………5分分子表示从3个红球取出X-7个，把前X-1个球做全排，7个白球的其中1个作为最后1个取出，共有C3-7A=C种，分母表示将取出的X个球做全排，有A种，…………………7分P(X=9)=CA=30,P(X=10)=AC=,………13分…………………15分17.【解析】(1)因为PA⊥平面ABCD,ADC平面ABCD,所以PALAD,又因为AD⊥PB,PB∩PA=P,PB,PAC平面PAB,所以AD⊥平面PAB.因为A,B,C,D四点共面，所以AD//BC,又因为BCC平面PBC,ADC平面PBC,(2)以DA,DC为x,y轴，过点D作平面ABCD垂直的线为z令AD=1,则A(t,0,0),P(t,0,2),D(0,0,0),设平面ACP的法向量n₁=(x1,y₁,≈1),………6分轴，建立如图所示空间直角坐标系D-xyz.所以n₁=(√4-t²,t,0),取平面CPD的法向量为n₂=(x₂,y2,z2),所因为二面角A-CP-D的正弦值为,又二面角为锐角，则余弦值,解得t=√3,所以AD=√3.……………15分的定义域为(0,十∞),所在(0,+∞)上恒成立，,x∈(0,十∞),原问题转化为求函数t(x)在(0,十∞)上的最大值，则令t'(x)>0,则0<x<e,所以函数t(x)在(0,e)上单调递增；令t'(x)<0,则x>e,所以函数t(x)在(e,+∞)上单调递减，,所所以h'(1)=-1,又h(1)=0,故函数h(x)在x=1处的切线方程为y=-x+1.…………8分(ii)由(i),显然h'(x)在(0,+∞)单调递增，h'(1)=-1<0,所以存在x₀∈(1,e),使h'(xo)=0,令h(x)=0,解得x=1或x=e.所以函数h(x)在x=1处的切线方程为y=-x+1,由h(x)—(1-x)=(x-1)Inx≥0,故曲线h(x)在直线y=-x+1上方.又h(x)在(e,0)处的切线方程为故曲线h(x)在直线方，………………14分设函数h(x)在两个零点处的切线方程与直线y=m的交点的横坐标分别为x3和x₄(如图),则x₁≥x3,x₂≤x₄,令y₁=m,得x₃=1—m;令y₂=m,得yh(x)=(x-1)(Inx-1)0因为x₁≥x₃,x₂≤x₁,时取等)命题得证.………………17分(2)假设存在i,j∈N*,使得S(i,j)=2048,则有由于i计+j与j-i的奇偶性相同，i+j与j-i+1奇偶性不同，又i+j≥3,j-i+1≥2,所以2048中必有大于等于3的奇数因子，这与2048=2¹²无1以外的奇数因子矛盾，故不存在i,j∈N,使得S(i,j)=2048.…………8分(3)首先证明a=n时，对任意的m∈N都有b≠2(t∈N),由于i+j与j-i+1均大于2且奇偶性不同，所以存在t∈N,使为大于2的奇数，故对任意的m∈N*都有b„≠2',t∈N,………11分其次证明除2'(t∈N)形式以外的数，都可以写成若干个连续正整数之和，若正整数h=2(2k+1),