湖南长沙市第一中学2027届高三月考试卷（三）数学+答案

高三数学三一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)A.-1B.0C.1A.-iB.iC.-1A.1B.24.(x+y)⁵的展开式中，x³y²的系数为()A.5B.10C.15二、选择题(本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分)A.直线AB与圆C相切B.若点P到直线AB的距离为1,这样的点P有2个的有()A.bc=aB.三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分)14.设f(x)=sinx+ax,g(x)=e-ax.若对任意u四、解答题(本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)若P为边AB上靠近B的三等分点，,求：(1)求cosC的值；(2)求b+2a的最大值.16.如图，四边形ABCD为菱形，EF//平面ABCD,过EF的平面交平面ABCD于AC,EF=AC=EC=2.(1)求证：DE//平面ABF;(2)若平面ABCD⊥平面ACEF,∠ACE=60°,且四棱锥E-ABCD的体积是2√3,求直线ED与平0为坐标原点.(2)过点E(m,0)作直线l与点Q的轨迹交于A,B两点.(1)若a₁=1,a₂=3,求数列{a}前9项的和；一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)A.-1B.0C.1【解析】【详解】A.-iB.i【解析】A.1A.5B.10【解析】C.p和一9都是真命题D.一P和┐9都是真命题【解析】对于9而言，取x=1,则有x³=I³=1=x,)x【解析】f'(x)=(2x-2)eˣ+(x²-2x【解析】由②③得2-x=√6r,代入得x=1,则【解析】二、选择题(本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分)【解析】【详解】由x²+x-6=0,即(x+3)(选项B,当a=0时，方程ax+1=0即1=0,无解，B=x,由空集是任何集合的子集知B≌A,故B选项C,当时，由ax+1=0得x=-3,而-3∈A,故B={-3}≌A,故C正确；选项D,当a=1时，由ax+1=0得x=-1,而-1∉A,故B={-13A,故D错误.A.直线AB与圆C相切B.若点P到直线AB的距离为1,这样的点P有2个【解析】距离为1时，平行于AB且距离为1的直线中，靠近圆心的直线到C的距离为2.4-1=1.4<2,与圆交于2个点，远离圆心的直线到C的距离为2.4+1=3.4>2,与圆无交点，共满足条件的点P有2个，B正确； 对于D,设P(3+2cosθ,4+2sinθ),PA=(-2cosθ,-4-2sinθ),PB=(-3-2cosθ,-2s则PA·PB=2cosθ(3+2cosθ)+2sinθ(4+2sinθ)=6cosθ+8sinθ+4=10sin(θ+φ)+则最大值为10+4=14,D正确.A.bc=aB.三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分)【解析】则AC⊥BC,AB=2√2,可得将b²=a²-c²,因为0<e<1,所以或即AF·AF₂=(-b,c)·(-b,-c)=b²-c²>0,将b²=a²-c²,得a²-2c²>0,即a²>2c²,14.设f(x)=sinx+ax,【解析】当a>0时，,此时a+1<0或,则四、解答题(本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)(1)求cosC的值；(2)求b+2a的最大值.第11页/共20页【解析】【分析】(1)根据,利用正弦定理化简得到【详解】(1)因为16.如图，四边形ABCD为菱形，EF//平面ABCD,过EF的平面交平面ABCD于AC,EF=AC=EC=2.DE//平面ABF;【小问1详解】略【小问2详解】连接BD交AC于点0,连接EO,因为OE⊥平面ABCD,BCc平面ABCD,所以OE⊥BC,且OGnOE=0,OG,OEc平面OEG,所以BC⊥平面OEG,且OHc平面OEG,所以BC⊥OH,EG∩BC=G,EG,BCc平面B∴OH1平面BCE,因为0C⊥OB,由OE⊥平面ABCD,ODc平面ABC(2)由(1)知0<a<4,且x₁,x₂是方程f'(x)=0的两个正根.又x²+x²=(x₁+x₂)²-2x₁x₂=16-2a,且I【解析】【小问1详解】同号.的两个根为2-√4-a<0当a=0时，f'(x)=x-4,函数在(0,4)上递减，在(4,+)上递增，因而有1个极值点. 当a≥4时有0个极值点.【小问2详解】略0为坐标原点.(2)(i);(ii)[-∞0,-16m²].【解析】【小问1详解】设P(p,0),N(0, 【小问2详解】设直线l的方程为a(x-m)+by=0,其中a,b不同时将参数点(mt²,2mt)代入，得at²+2bt-a=0.由,所以,其中若l为x轴，则l也只交于0一点.因此l可设为斜率k≠0的直线，L,l₂设A=E+s₁v,B=E+S₂,C=E+rw,D第18页/共20页,从而AC·BD∈(-∞,-16m²).19.设无穷数列{an}满足：a>0,a₂>0,(1)若a₁=1,a₂=3,求数列{a}前9项的和；使得使得请给出证明.【答案】(1)48(2)(i)依题意，显然可得对任意n∈N,有an>0,若an+1>an,则an+2=an+1-an<an+1,则an+3=an+2+an+1>an+2,所以an+4=an+3-a+2=(a+2+an+1)-(a+若an+1≤an,则an+2=an+1+an>an+1,则an+3=an+2-an+1<an+2,(3)存在λ=2,证明如下：结合(2)有，若a,+1>an,有aₙ+2=a+1-a,则aₙ+a+1+a+2=aₙ+a+1+(a+1-aₙ)=2a+1;所以存在λ=2,使得等式成立，证毕.【解析】(3)将q,a₂,…,a₃k拆成k组，第n组为{a₃n-2,a3n-1,a₃n},再结合(2)得到【小问1详解】则a₃=2,