北师大版八年级上册数学第七章7.1《认识证明-定理与证明》教学课件（25秋新教材）

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件北师大版八年级上册数学（25秋新教材）7.1.3认识证明-定理与证明第七章

命题与证明7.1.3认识证明-定理与证明

教案一、教学目标知识与技能目标学生能够清晰阐述定理和证明的概念，准确区分定理与命题的联系和区别，理解定理是经过证明的真命题。熟练掌握证明的基本步骤和书写格式，学会运用已学的定义、定理、公理等进行简单的逻辑推理，完成几何和代数问题的证明过程。过程与方法目标通过对定理形成过程的探究，经历从猜想、验证到证明的完整过程，培养学生的逻辑思维能力、归纳推理能力和创新思维能力。在参与证明的实践过程中，提高学生分析问题、解决问题的能力，增强学生运用数学知识进行严谨推理的能力，体会数学证明的严谨性和科学性。情感态度与价值观目标激发学生对数学证明的兴趣和探索欲望，让学生感受数学知识的严谨性和逻辑性，培养学生科学严谨的学习态度和求真务实的精神。在合作交流和探究证明的过程中，培养学生的团队协作精神和勇于挑战困难的品质，增强学生学习数学的自信心和成就感。二、教学重难点教学重点深刻理解定理和证明的概念，明确证明的必要性和重要性。掌握证明的基本步骤和方法，能够运用所学知识进行简单的证明。教学难点理解如何从已知条件出发，通过合理的逻辑推理得出结论，培养学生的逻辑思维能力和证明思路的构建能力。规范证明过程的书写格式，使证明过程严谨、清晰、有条理。三、教学方法讲授法、探究法、讨论法、案例教学法、练习法四、教学过程（一）复习导入（5分钟）回顾旧知：提问学生“什么是命题？如何判断命题的真假？”引导学生回忆命题的概念及真假判断方法，随机抽取学生举例说明真命题和假命题。引出新课：展示一些之前学过的真命题，如“对顶角相等”“两直线平行，同位角相等”，提问学生“这些真命题是如何被确定为正确的呢？它们和一般的真命题有什么不同？”由此引出本节课课题“定理与证明”，激发学生的学习兴趣。（二）探究新知（20分钟）定理的概念（7分钟）给出多个定理的例子：勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；三角形内角和定理：三角形的内角和等于180°

。引导学生观察这些例子，组织小组讨论：“这些真命题有什么共同特点？它们和我们之前学过的一般真命题有什么区别？”小组代表发言后，教师总结定理的概念：经过推理证实得到的真命题叫做定理。强调定理是在一定的条件下，通过严格的逻辑推理被证明为正确的命题，它可以作为进一步推理的依据。让学生举例说明数学中其他的定理，如平行四边形的性质定理、判定定理等，加深对定理概念的理解。同时，引导学生思考定理在数学学习和解决问题中的重要作用。证明的概念与步骤（8分钟）以“证明两直线平行，内错角相等”为例，逐步讲解证明的过程：首先明确已知条件：已知两直线平行；然后分析要证明的结论：内错角相等；接着引导学生思考证明思路：利用已学的平行线的性质和对顶角相等的知识进行推理；最后展示证明的书写格式：已知：如图，直线\(a\parallelb\)，\(\angle1\)和\(\angle2\)是内错角。求证：\(\angle1=\angle2\)。证明：因为\(a\parallelb\)（已知），所以\(\angle1=\angle3\)（两直线平行，同位角相等），又因为\(\angle2=\angle3\)（对顶角相等），所以\(\angle1=\angle2\)（等量代换）。总结证明的概念：从命题的条件出发，根据已知的定义、定理、公理，经过一系列的推理论证，最后推出命题的结论成立，这个过程叫做证明。同时强调证明的每一步推理都要有依据，不能凭空想象。归纳证明的一般步骤：审题：分清命题的条件和结论；画图：根据题意画出图形，并在图上标出必要的字母或符号；写已知、求证：用数学语言写出已知和求证；证明：通过分析，找出由已知推出结论的途径，写出证明过程。证明的应用与实践（5分钟）给出简单的证明题：证明“如果两条直线都和第三条直线垂直，那么这两条直线平行”。引导学生按照证明的步骤进行思考和书写：先让学生自己分析命题的条件和结论，画出图形；然后写出已知和求证；最后尝试进行证明，教师巡视指导，及时发现学生在证明过程中出现的问题。选取部分学生的证明过程进行展示和讲解，强调证明过程中的逻辑连贯性和书写规范性，纠正学生的错误，帮助学生掌握正确的证明方法。（三）巩固练习（15分钟）基础练习：判断下列命题是否为定理，并说明理由：相等的角是对顶角；同旁内角互补，两直线平行。完成课本上简单的证明题，如证明“全等三角形的对应边相等”，要求学生按照证明的步骤规范书写证明过程。学生独立完成，教师巡视指导，及时纠正学生在判断定理和书写证明过程中出现的错误。提高练习：已知：如图，在\(\triangleABC\)中，\(AB=AC\)，\(D\)是\(BC\)的中点，求证：\(AD\perpBC\)。已知：\(a+b=c\)，\(a=d\)，求证：\(d+b=c\)。引导学生小组合作，分析题目中的条件和结论，探讨证明思路，共同完成证明过程。小组内交流讨论后，每个小组派代表进行发言，展示证明过程，其他小组进行评价和补充。拓展练习：尝试证明“三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和”，鼓励学生用多种方法进行证明，培养学生的创新思维和发散思维。让学生自己设计一个命题，并尝试进行证明，然后与同学交流分享自己的命题和证明过程。（四）课堂小结（5分钟）请学生回顾本节课所学内容，说一说定理和证明的概念，证明的步骤和方法。教师进行补充和完善，强调定理是经过证明的真命题，证明是确定命题真实性的重要手段，在证明过程中要注意逻辑严谨、书写规范。帮助学生构建完整的知识体系，加深对定理与证明的理解。（五）布置作业（课后完成）必做题：完成课本上相关练习题，巩固对定理和证明的理解，熟练掌握证明的步骤和方法。选做题：查阅资料，了解数学史上一些著名定理的证明过程，如欧几里得证明勾股定理的方法，写一篇简短的读后感。实践题：在生活中寻找一个可以用数学证明的实际问题，尝试运用所学的证明知识进行分析和解决，并与家人或朋友交流分享。五、教学反思在教学过程中，关注学生对定理和证明概念的理解程度，分析学生在构建证明思路和书写证明过程中出现的问题。思考教学方法是否有效引导学生掌握知识，教学案例是否具有代表性和启发性。针对学生反馈，及时调整教学策略，加强对重难点内容的讲解和练习，提高学生的逻辑推理能力和证明能力，培养学生严谨的数学思维习惯。这份教案围绕定理与证明设计，注重知识讲解与实践结合。若你对教学环节设置、练习难度等方面有新想法，欢迎随时提出，我会进一步优化。互逆命题、互逆定理教案一、教学目标知识与技能目标理解互逆命题、互逆定理的概念，能准确说出一个命题的逆命题。会判断一个命题及它的逆命题的真假性，掌握证明命题真假的方法。过程与方法目标通过对命题、逆命题的分析，培养学生的逻辑思维能力和语言表达能力。经历探究互逆定理的过程，体会从特殊到一般的数学思想。情感态度与价值观目标培养学生积极参与数学活动，敢于质疑、勇于探索的精神。让学生感受数学知识的严谨性和逻辑性，体会数学的应用价值。二、教学重难点重点互逆命题、互逆定理的概念及命题真假的判断。能正确写出一个命题的逆命题。难点判断一个命题的逆命题的真假性，理解原命题为真，其逆命题不一定为真。用逻辑推理的方法证明命题的真假。三、教学方法讲授法、讨论法、练习法相结合四、教学过程（一）导入新课（5分钟）展示一些简单的命题，如“如果两个角是对顶角，那么这两个角相等”，“如果a=b，那么a²=b²”。引导学生分析这些命题的题设和结论。提问：能否交换这些命题的题设和结论，得到新的命题？新命题是否成立？从而引出本节课的课题——互逆命题、互逆定理。（二）讲授新课（25分钟）互逆命题给出互逆命题的定义：在两个命题中，如果第一个命题的题设是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的题设，那么这两个命题叫做互逆命题。如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题叫做它的逆命题。举例说明：如原命题“如果两个角是直角，那么这两个角相等”，它的逆命题是“如果两个角相等，那么这两个角是直角”。让学生进一步理解互逆命题的概念。组织学生进行小组讨论，每个小组写出3-5个命题，并交换写出它们的逆命题。命题真假的判断引导学生思考如何判断一个命题的真假。对于真命题，需要通过推理证明；对于假命题，只需举一个反例即可。以刚才的命题为例，分析原命题和逆命题的真假性。如“如果两个角是直角，那么这两个角相等”是真命题，而它的逆命题“如果两个角相等，那么这两个角是直角”是假命题，因为两个相等的角不一定是直角，还可能是锐角或钝角等。让学生自己判断之前小组讨论中写出的命题及其逆命题的真假性，并在小组内交流。互逆定理给出互逆定理的定义：如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理叫做互逆定理，其中一个定理叫做另一个定理的逆定理。举例说明：如“两直线平行，同位角相等”和“同位角相等，两直线平行”是互逆定理。强调：并不是所有的定理都有逆定理，只有当定理的逆命题为真命题时，才有逆定理。（三）例题讲解（15分钟）例1：写出下列命题的逆命题，并判断其真假。（1）如果a=0，那么ab=0。（2）全等三角形的对应角相等。（3）等腰三角形的两个底角相等。分析：（1）逆命题为“如果ab=0，那么a=0”，这是假命题，因为当b=0时，ab=0，a不一定为0。（2）逆命题为“对应角相等的三角形是全等三角形”，这是假命题，因为对应角相等的三角形不一定全等，可能是相似三角形。（3）逆命题为“有两个角相等的三角形是等腰三角形”，这是真命题，它是等腰三角形的判定定理。例2：证明命题“如果一个三角形的两个角相等，那么这两个角所对的边也相等”是真命题。分析：引导学生画出图形，写出已知、求证，然后进行证明。已知：在△ABC中，∠B=∠C。求证：AB=AC。证明：作∠BAC的平分线AD，交BC于点D。因为AD平分∠BAC，所以∠BAD=∠CAD。在△ABD和△ACD中，∠B=∠C，∠BAD=∠CAD，AD=AD（公共边），所以△ABD≌△ACD（AAS）。所以AB=AC。（四）课堂练习（10分钟）写出下列命题的逆命题，并判断真假。（1）如果x=2，那么x²=4。（2）直角三角形的两个锐角互余。（3）对顶角相等。判断下列说法是否正确：（1）每个命题都有逆命题。（2）每个定理都有逆定理。（3）真命题的逆命题一定是真命题。（4）假命题的逆命题一定是假命题。（五）课堂小结（5分钟）与学生一起回顾互逆命题、互逆定理的概念，以及如何判断命题的真假。强调：原命题为真，逆命题不一定为真；原命题为假，逆命题也不一定为假。（六）布置作业（5分钟）课本课后习题，要求学生认真书写解题过程，判断命题真假时要说明理由。拓展作业：收集生活中或数学学习中至少两个互逆命题，并分析它们的真假性。五、教学反思在教学过程中，要注重引导学生积极思考、主动参与，通过实际例子帮助学生理解抽象的概念。对于学生在判断命题真假和写逆命题时容易出现的错误，要及时给予纠正和指导。在今后的教学中，可以进一步加强练习，提高学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。5课堂检测4新知讲解6变式训练7中考考法8小结梳理学习目录1复习引入2新知讲解3典例讲解1.通过学习知道什么是公理，什么是定理，理解证明的概念，发展学生的思维能力．2．学生通过具体实例学习证明的基本步骤和书写格式，发展推理能力．3．通过理解证明要步步有据，培养学生养成科学、严谨的学习态度．重点难点旧识回顾上节课学习了有关命题的哪些知识？真命题、假命题、命题的条件和结论视频导入如何证实一个命题是真命题呢？用我们以前学过的观察,实验,验证特例等方法.这些方法往往并不可靠.那已经知道的真命题又是如何证实的?能不能根据已经知道的真命题证实呢?哦……那可怎么办导入新知1.知道什么是公理，什么是定理，理解证明的概念.

2.了解真命题的证明、公理化思想，以及证明的出发点，通过具体事例感受证明的基本步骤和书写格式.素养目标3.理解证明要步步有据，培养学生养成科学严谨的学习态度.

了解《原本》与《几何原本》；了解古希腊数学家欧几里得(Euclid,公元前300前后)；找出下列各个定义并举例．1.原名:2.公理:3.证明:4.定理:知识点

1公理、证明、定理的概念探究新知某些数学名词称为原名.公认的真命题称为公理.除了公理外,其他真命题的正确性都需要通过演绎推理的方法证实.演绎推理的过程称为证明.经过证明的真命题称为定理.

归纳总结证实其他命题的正确性推理演绎推理的过程叫证明经过证明的真命题叫定理原名、公理一些条件+探究新知本套教科书选用九条，我们已经认识了其中的八条:1.两点确定一条直线;2.两点之间线段最短;3.同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直;4.两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行（简述为：同位角相等，两直线平行）;5.过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行;6.两边及其夹角分别相等的两个三角形全等;7.两角及其夹边分别相等的两个三角形全等;8.三边分别相等的两个三角形全等.公理探究新知等式的有关性质和不等式的有关性质（以后将会学到）都可以看作公理．“在等式或不等式中,一个量可以用它的等量来代替”.这一性质也看作公理,简称为“等量代换”.其他公理探究新知证明定理“对顶角相等”

如图，直线AB与直线CD相交于点O，∠AOC与∠BOD是对顶角.求证：∠AOC=∠BOD证明：∴∠AOB与∠COD都是平角().已知平角的定义∴∠AOC＋∠AOD＝180°.补角的定义∴∠AOC=∠BOD().同角的补角相等∵直线AB与直线CD相交于点O()，∠BOD＋∠AOD＝180°().探究新知知识点2证明的过程例

根据题设、结论，结合图形，写出已知、求证，经过分析找出由已知推出结论的途径，写出证明过程，并注明依据.

证明过程的注意事项：证明的每一步推理都要有根据，不能“想当然”.这些根据，可以是已知条件，也可以是学过的定义、基本事实、定理等.证明的书写格式:探究新知证明定理：同角的补角相等.已知：∠2是∠1的补角，∠3是∠1的补角.求证：∠2=∠3.证明：∴∠2＋∠1=180°().已知补角的定义∴∠2＝180°－∠1().等式的性质∵∠3是∠1的补角(),已知∴∠3＋∠1＝180°().补角的定义∴∠3＝180°－∠1().等式的性质∴∠2=∠3().等量代换∵∠2是∠1的补角(),巩固练习132分析：要证明AB，CD平行，就需要同位角相等的条件，图中∠1与∠3就是同位角.我们只要找到：能说明它们相等的条件就行了.

从图中，我们可以发现：∠2与∠3是对顶角，所以∠3=∠2.这样我们就找到了∠1与∠3相等的确切条件了.例

如图，∠1=∠2，试说明直线AB，CD平行.素养考点证明推理的应用探究新知证明：∵∠2与∠3是对顶角∴∠3=∠2又∵∠1=∠2∴∠1=∠3∴AB∥CD探究新知（对顶角的定义）,（对顶角的性质）.（已知）,（等量代换）.（同位角相等，两直线平行）.如图所示，直线AB和直线CD，直线BE和直线CF