第27章 反比例函数 单元测试卷（含答案） 人教版2026年九年级数学上册

人教版2026年九年级数学上册第27章反比例函数单元测试卷满分120分时间100分钟一、选择题（共30分）1．下列数量关系中，成反比例关系的是（

）A．橘子的单价一定，购买橘子的数量与总价B．圆柱的体积一定，它的底面积与高C．学校计划种植500棵树，已植的棵数与未植的棵数D．速度一定，路程与时间2．下列式子中，是的反比例函数的是（

）A． B． C． D．3．已知反比例函数则下列各点不在该函数图象上的是（

）A． B． C． D．4．已知反比例函数，下列结论中不正确的是（

）A．图象必经过点 B．图象在第一、三象限C．在每个象限内，y随x的增大而减小 D．当时，5．近视镜的度数（单位：度）是关于镜片焦距（单位：）的反比例函数，其函数图象如图所示，现有一副500度的近视眼镜，则该眼镜的镜片焦距为（

）A．0.2 B．0.3 C．0.4 D．0.56．三角形的面积为，这时底边上的高与底边之间的函数关系的图象大致是（

）A． B． C． D．7．若反比例函数的图象，当时，随的增大而增大，则的取值范围是（

）A． B． C． D．8．二次函数的图象如图所示，则反比例函数与一次函数在同一平面直角坐标系中的大致图象为（

）A． B． C． D．9．如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点，在轴的正半轴上，反比例函数的图象经过顶点，分别与对角线，边交于点，，连接，．若点为的中点，的面积为，则的值为（

）A． B． C． D．10．如图，在反比例函数的图象上有，，，…，等点，它们的横坐标依次为1，2，3，…，2026，分别过这些点作轴与轴的垂线，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为，，，…，，则的值是（

）A． B． C． D．二、填空题（共15分）11．若函数是反比例函数，则______．12．若y与x成反比例，且当时，，则y与x的函数解析式是__________．13．已知反比例函数的图象在第一、三象限内，那么的取值范围是______．14．在函数的图象上有三个点，，，函数值，，的大小关系为________．15．如图，在平面直角坐标系中，直线与双曲线交于，两点，直线与双曲线的另一个交点为．现给出下面4个结论：①；②一定是直角三角形；③存在实数，，使得；④对于任意的正数，都存在，使得．上述结论中，有一个说法错误，序号是_________．三、解答题（共75分）16．（8分）A，B两地相距．汽车以的平均速度从A地到达B地需要．(1)直接写出y与x的函数关系式；(2)如果汽车的平均速度不超过，那么汽车从A地到B地至少需要多少时间？17．（8分）已知y是x的反比例函数，当时，．(1)求反比例函数的解析式和自变量的取值范围；(2)当时，求y的值；(3)判断点是否在这个函数的图象上．18．（8分）在学校开展的红领巾爱心义卖活动中，某小组计划售卖自制的黑糖奶茶．他们采购了一定质量的黑糖，加入适量清水后熬煮糖浆，黑糖总质量不变的情况下，糖浆浓度与糖浆总体积成反比例关系，其中x与y的对应值如下表：22.534750600500375(1)求y关于x的函数表达式；(2)为保证奶茶风味，熬煮时要控制加水量，若熬制出的糖浆总体积最多为，则糖浆浓度至少是多少？19．（8分）已知和是同一个反比例函数图象上的两个点．…………(1)求该反比例函数的表达式；(2)补全表格并画出其函数图象：(3)利用图象直接求出当且时，的取值范围是____________．20．（9分）心理学家研究发现，一般情况下，一节课分钟，学生的注意力随教师讲课时间的变化而变化．学生的注意力指数随时间（分）的变化规律如图所示（其中、为线段，为双曲线的一部分）．(1)分别求出线段所在直线和所在双曲线的函数关系式；(2)一道数学题，需要讲分钟，为了学生听课效果较好，要求学生的注意力指数不低于，那么经过适当的时间安排，教师能否在学生注意力达到所需状态下讲完这道题？21．（10分）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点．(1)求反比例函数的解析式及点B的坐标；(2)在轴上找一点，使的值最小，请求出点P坐标；(3)在（2）的条件下，求线段与反比例函数图象的另一个交点的坐标．22．（12分）数学活动：探究一次函数与反比例函数的关系【定义】当两个函数图象无交点时，称它们为“陌生函数”；当两个函数图象只有一个交点时，称它们为“相连函数”，交点为相连点；当两个函数图象有两个交点时，称它们为“友好函数”，交点为友好点．根据定义在判定一次函数与反比例函数为何种关系函数时，可用以下两种方法：【方法一】根据函数表达式画出图象，由图象确定．如图1，因为一次函数与反比例函数图象没有交点，所以它们是“陌生函数”．【方法二】根据一元二次方程根的判别式确定，如判定与的关系时，由函数表达式得，去分母得，因为，所以函数图象有两个交点，故它们是“友好函数”．【问题解决】(1)对于函数①，②，③．其中①与②是“_____函数”，①与③是“______函数”；(2)若（）与（）是“友好函数”，如图2，当时，的取值范围是______，若（）与是“相连函数”，则的值为______；(3)如图3，过点的直线，对应的函数分别与（，），（，）是“相连函数”，相连点分别为，，，与轴分别交于，两点，已知，，求的值．23．（12分）已知反比例函数的图象与正比例函数的图象交于点，点为反比例函数图象上一动点，连接，以，为邻边构造平行四边形．(1)求的值；(2)如图，过点作轴于点，若的边经过点时，求点坐标；(3)如图，当点在点左侧时，若的面积为，求点坐标．参考答案题号12345678910答案BCDDACACBA1．B【分析】成反比例关系的两种量乘积为定值，据此筛选选项．【详解】解：∵橘子单价一定时，总价数量定值；速度一定时，路程时间定值，即两组量的比值均为定值，∴选项A、D中的两种量均成正比例关系，不符合题意；∵圆柱的体积一定，即底面积高定值，∴它的底面积与高成反比例关系，B符合题意；∵计划种植总棵数为，即已植棵数未植棵数定值，∴已植的棵数与未植的棵数不成比例关系，C不符合题意．2．C【详解】解：A选项是正比例函数，不符合题意；B选项是一次函数，不符合题意；D选项是二次函数，不符合题意；C选项是反比例函数，符合题意．3．D【详解】解：由得．A、B、C选项中点的横纵坐标乘积均为6，在函数图象上．D选项：，不在函数图象上．4．D【分析】由反比例函数解析式得，结合图象性质与图象上点的坐标特征判断各选项．【详解】解：∵反比例函数为，，A选项：∵，∴图象必经过点，结论正确；B选项：∵，∴图象在第一、三象限，结论正确；C选项：∵，∴在每个象限内，随的增大而减小，结论正确；D选项：当时，，∵时，函数在第一象限，随的增大而减小，∴，结论错误．5．A【详解】解：设反比例函数解析式为．图象过点，．函数解析式为．当时，，解得．6．C【分析】先根据面积公式推导出函数关系式，再结合边长和高都是正数确定函数图像所在的象限．【详解】解：根据题意可知，，即，可知函数图像为位于第一象限的反比例函数．7．A【详解】解：∵当时，随的增大而增大，∴，解得．8．C【分析】根据二次函数的图象与其系数的关系判断出的符号，再判断反比例函数和一次函数的图象经过的象限即可得到答案．【详解】解：∵二次函数的图象开口向上，与y轴交于正半轴，∴，∴反比例函数的图象经过第一、三象限，∵对称轴在y轴右侧，∴，∴，∴一次函数的图象经过第一、三、四象限，∴只有C选项中的函数图象符合题意．9．B【分析】设，

利用矩形的性质和中点坐标公式表示出点的坐标，即得，，又由的面积为，可得，最后根据三角形面积公式解答即可．【详解】解：设，

∵是矩形，且点为的中点，点，在轴的正半轴上，∴点纵坐标为，，把代入反比例函数解析式，得，

∴，∴点横坐标为，

∴点横坐标为，把代入反比例函数解析式，得，∴，∴，∵的面积为，点为的中点，∴，∵，∴，解得．10．A【分析】根据点横坐标的变化规律，找到纵坐标的变化规律，进而确定矩形面积的变化规律，即可求解．【详解】解：点，，，…，的横坐标依次为1，2，3，4，…，2025，点，，，…，的纵坐标依次为，，，…，，又图中每个小矩形的水平边长均为1，纵向边长等于相邻两个点的纵坐标的差，，，，…，，．11．3【详解】解：∵为反比例函数时，的次数为，∴，解得．12．【分析】设反比例函数的解析式为，将，代入所设解析式进行求解．【详解】解：设反比例函数的解析式为，将，代入所设解析式，得，解得，与x的函数解析式为．13．【详解】解：∵反比例函数的图象在第一、三象限内，∴，解得．14．【分析】结合反比例函数的图象分布与增减性，根据三个点的横坐标判断所在象限，即可比较函数值大小．【详解】解：对于反比例函数，比例系数，∴函数图象的两个分支分别位于第一、三象限，且在每个象限内，随的增大而减小，∵点、的横坐标为负数，∴这两个点位于第三象限，对应的函数值均为负数，∵，且在第三象限内，随的增大而减小，∴，∵点的横坐标为正数，∴该点位于第一象限，对应的函数值，综上可得．15．③【分析】连接，由反比例函数图象的性质可知点与点关于原点对称，得，即可判断①；令与轴，轴分别交于，，联立两个解析式，可得，进而求得，，由此可得，，可知，，进而求得，即可判断②；由直线，可得，可知为等腰直角三角形，由三角形外角可知，，即可判断③；可知，，求得，，进而可得，可知，当时，关于的方程都有解，即可判断④．【详解】解：连接，设与轴，轴分别交于，，∵直线和双曲线均关于原点对称，∴点和点关于原点对称，∴，故①正确；联立，整理得，解得，，则，，∴，，∴，∴，，∴，∵，∴，∴为直角三角形，故②正确；对于直线，当时，，当时，，∴，∴为等腰直角三角形，∴，由三角形外角可知，，∴一定不是等腰直角三角形，∴，故③不正确；∵，∴，，∴，，∵，∴，即，∴，当时，关于的方程都有解，∴对于任意的正数，都存在，使得，故④正确；∴上述结论中，有一个说法错误，序号是③．16．(1)(2)【分析】（1）根据时间=路程÷速度计算即可；（2）将x表示为y的函数并代入，求出y的解集，从而得到y的最小值即可【详解】（1）解：根据题意得：；（2）解：∵，∴，根据题意，得，解得，，∴汽车从A地到B地至少需要．17．(1)反比例函数的解析式为，自变量的取值范围是．(2)．(3)点不在这个函数的图象上．将代入，得．，点不在这个函数的图象上．【分析】（1）利用待定系数法求出函数解析式，写出取值范围即可；（2）把自变量的值代入计算即可；（3）把横坐标代入计算得到，即可得到结论．【详解】（1）解：设，当时，．∴解得，∴反比例函数的解析式为，自变量的取值范围是．（2）解：当时，（3）略18．(1)（）(2)【分析】（1）根据反比例函数定义设表达式，代入表格中一组对应值计算比例系数；（2）利用反比例函数的增减性，结合的最大值求解的最小值．【详解】（1）解：∵与成反比例关系，∴设（，）．把，代入，得，解得．∴关于的函数表达式为（）．（2）解：∵，∴当时，随的增大而减小．由题意得，∴当时，取得最小值，此时（）．答：糖浆浓度至少是．19．(1)(2)当时，，当时，，当时，，当时，，当时，，当时，，当时，，当时，，补全表格如下：

…1236……1236…描点并画出函数图象如图：(3)或【分析】（1）运用待定系数法解答即可；（2）先补全表格中的数据，再描点连线画出函数图象即可；（3）根据函数图象解答即可．【详解】（1）解：∵和是同一个反比例函数图象上的两个点，∴，解得，∴，设反比例函数的解析式为，∴，∴反比例函数的表达式为；（2）略（3）解：由图象得：当且时，的取值范围是或．20．(1)，(2)教师能在学生注意力达到所需状态下讲完这道题【分析】（1）用待定系数法求出线段所在直线和所在双曲线的函数关系式；（2）求出学生的注意力指数不低于的时间，根据题目讲解所需的时间比较即可得到结果．【详解】（1）解：由函数图象可知，点的坐标为，点的坐标为，设线段所在直线的解析式为，可得：，解得：，线段所在直线的解析式为；设所在双曲线的函数关系式为，由函数图象可知，点的坐标为，可得：，解得：，所在双曲线的函数关系式为；（2）解：当时，可得：，解得：，当时，可得：，解得：，，教师能在学生注意力达到所需状态下讲完这道题．21．(1)，(2)(3)【分析】（1）把，代入求，，确定点A，B的坐标，再利用待定系数法，确定反比例函数的解析式即可；（2）作点B关于x轴的对称点D，连接，交x轴于点P，此时的值最小，然后根据勾股定理即可求得．（3）根据题意，求线段的解析式与反比例函数解析式消元得到的一元二次方程，解方程即可．【详解】（1）解：一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点．则，解得，故点，；∴，解得，故反比例函数的解析式为．（2）解：作点B作关于x轴的对称点D，交x轴于点C，连接，交x轴于点P，此时的值最小，∴，∵，设直线的解析式为，则，解得，故直线的解析式为：，当时，，解得，∴当的值最小时，点P的坐标为．（3）解：根据题意，得，整理，得，解方程，得，∵，故另一个交点的横坐标为，此时，故另一个交点的坐标为．22．(1)陌生；友好(2)或；(3)【分析】（1）联立函数，根据方程的解的个数判断函数类型即可；（2）根据图象判断时，的取值范围；联立与，由求出的值；（3）设直线的函数解析式为，直线的函数解析式为，将与联立，并结合可得，进而计算出点的坐标为，同理，点的坐标为．由可得，利用完全平方公式变形可计算出的值．【详解】（1）解：对于①与②，联立得，整理，得，∵，∴该方程无实数解，即与无交点，∴①与②是“陌生函数”，对于①与③，联立得，整理，得，∴，∴与有两个交点