平面向量知识点总结

平面向量知识点总结平面向量是高中数学阶段连接代数与几何的核心工具，兼具数的运算属性与形的位置属性，其知识点体系清晰，核心考点突出。平面向量基本概念既有大小又有方向的量叫做向量，这是向量区别于数量的核心特征：数量只有大小，没有方向，可以直接比较大小；向量既有大小又有方向，方向无法直接比较大小，因此向量本身不能直接比较大小，只有向量的模（即大小）可以比较大小。向量的表示方法分为三类：一是几何表示，用有向线段表示向量，有向线段的长度表示向量的大小，箭头方向表示向量的方向，有向线段有起点、方向、长度三要素，起点不同的有向线段即使方向长度相同，也是不同的有向线段，但表示的是同一个向量，因为向量是自由向量，可以任意平移；二是字母表示，通常用黑体小写字母a,b,c表示，也可以用有向线段起点和终点的字母表示，记为零向量：长度为0的向量，记为0，其核心性质是方向任意，因此规定零向量与任意向量平行，也与任意向量垂直，这一性质是高考命题最常见的易错点，很多题型都会围绕零向量的特殊性设置陷阱。单位向量：长度为1个单位长度的向量，核心性质是方向不固定，与非零向量a同方向的单位向量公式为a|a|，与a反方向的单位向量为−平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，由于向量可以自由平移，平行向量一定可以平移到同一条直线上，因此平行向量也叫共线向量，这和平面几何中“平行不共线，共线不平行”的结论不同，是另一个常见易错点。规定零向量与任意向量平行。相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量，相等向量与起点位置无关，任意两个相等向量都是同一个自由向量。相反向量：长度相等且方向相反的向量叫做相反向量，任意向量a的相反向量记为−a，零向量的相反向量仍是零向量，核心性质为a本模块核心易错点总结：①向量不能比较大小，只有模可以比较大小；②零向量方向任意，讨论共线平行问题时刻意注意零向量的特殊情况；③平行向量就是共线向量，和直线的平行不同；④单位向量只有长度固定，方向不固定。平面向量的线性运算向量的加法、减法、数乘运算统称为向量的线性运算，线性运算的结果仍是向量，这是和数量积最直观的区别，数量积的运算结果是数量。向量的加法求两个向量和的运算叫做向量的加法，核心运算法则有两种：三角形法则：适用于两个向量首尾相接的情况，将两个向量首尾顺次连接，和向量从第一个向量的起点指向第二个向量的终点，即AB+B平行四边形法则：适用于两个向量共起点的情况，以两个共起点的向量为邻边作平行四边形，和向量为从公共起点出发的对角线对应的向量。向量加法满足交换律a+b=b+a和结合律(a+b)+c=向量的减法向量减法是向量加法的逆运算，减去一个向量等于加上这个向量的相反向量，即a−b=a+(−b)。减法的核心运算法则是三角形法则：两个向量共起点，差向量的终点指向被减向量的终点，即OA−OB向量的数乘运算实数λ与向量a的乘积是一个向量，记为λa，其长度和方向满足：|λa|=|λ||a|；当λ>0时，λa与a同方向；当λ<0时，λa与a反方向；当λ=0时，λa=0，为零向量。

数乘运算满足运算律：λ(μa)=(λμ)a，(λ+μ本模块核心易错点总结：①线性运算结果仍是向量，不要和数量积混淆；②共线向量定理的前提条件不能省略a≠0；③三点共线的系数和为1的结论，OC平面向量基本定理与坐标表示平面向量基本定理如果e1,e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1,λ2，使得a=λ1e1+λ2e2。我们把不共线的e1,e平面向量的坐标表示在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i,j作为基底，对于平面内的任意向量a，都存在唯一一对实数x,y，使得a=xi+yj，我们把有序数对(x,y)叫做向量a的坐标，记为a=(x,y)，这就是向量的坐标表示。

若向量a的起点在坐标原点，则向量a的坐标与终点的坐标完全一致，这是向量坐标和点坐标的对应关系。

向量坐标运算规则：若a=(x1,y1)，b=(x2,y2本模块核心易错点总结：①向量坐标和点坐标不同，自由向量的坐标和位置无关，只要方向长度相同，坐标就相同，和起点位置无关；②共线坐标公式不要记成x1平面向量的数量积数量积是平面向量最核心的考点，也是高考考查的重点，其运算结果是数量，不是向量。数量积的基本概念两个非零向量a和b，作OA=a，OB=b，则∠AOB=θ(θ∈[0,π])叫做向量a与b的夹角，求向量夹角时必须将两个向量平移到共起点，否则会得到错误结果，例如在△ABC中，向量AB与BC的夹角不是角B，而是π−B，这是高频易错点。

数量积的定义：a⋅b=|a||b|cosθ，规定零向量与任意向量的数量积为0。数量积的性质与运算律对于两个非零向量a,b，数量积有如下核心性质：

1.垂直的充要条件：a⟂b⇔a⋅b=0，这是证明垂直关系的核心依据。

2.模长公式：a⋅a=数量积的运算律满足交换律a⋅b=b⋅a，数乘结合律(λa)⋅b=λ(a⋅b)=a⋅(λb)，分配律(a+数量积的坐标表示若a=(x1,y1)，b=(x2,y2)，则a⋅b=x1x2+常用结论与核心题型方法常用二级结论三角形特殊点的向量性质：重心：G是△ABC的重心⇔GA内心：I是△ABC的内心⇔垂心：H是△ABC奔驰定理：若O是△ABC最值范围常用结论：极化恒等式：对于任意两个向量a,b，有a⋅b=(a+b)2−(a−平行四边形对角线平方和定理：|a等和线定理：若OP=λOA+μOB，则当P在平行于直线AB的直线上运动时，核心题型解法总结向量分解求系数问题：常用方法有两种，一是几何法，利用线性运算和平面向量基本定理拆分向量，对比系数得到结果；二是坐标法，建立平面直角坐标系，写出所有向量的坐标，对应相等得到系数，坐标法是通法，大部分题型都可以用坐标法快速解决，不易出错。涉及λ+共线与垂直问题：共线问题用共线定理b=λa或者坐标公式x1y模长问题：常用方法有三种，①平方法：|a数量积问题：常用方法有四种，①定义法：找到模长和夹角，直接用定义计算；②坐标法：建系后对应坐标相乘相加，通法通用；③极化恒