北京大学拓扑学期末试题（2020-2021学年第一学期）及详细参考答案

北京大学拓扑学期末试题（2020-2021学年第一学期）及详细参考答案考试科目：拓扑学考试时间：2021年1月13日适用专业：数学与应用数学、基础数学考试说明：闭卷考试，满分100分，答题时间120分钟一、证明题（每题12分，共48分）1.设\(f,g:X\toY\)为连续映射，\(Y\)为Hausdorff空间。证明：集合\(A=\{x\inX\midf(x)=g(x)\}\)是\(X\)的闭子集。解答：要证\(A\)为闭集，只需证\(A^c\)（\(A\)在\(X\)中的补集）为开集。任取\(x_0\inA^c\)，则\(f(x_0)\neqg(x_0)\)。因\(Y\)是Hausdorff空间，根据Hausdorff空间的定义，存在\(Y\)中两个不相交的开邻域\(U,V\)，使得\(f(x_0)\inU\)，\(g(x_0)\inV\)，且\(U\capV=\emptyset\)。又因为\(f,g\)均为连续映射，连续映射的原像保持开集，因此\(f^{-1}(U)\)、\(g^{-1}(V)\)都是\(X\)中的开集。两个开集的交集仍为开集，故\(W=f^{-1}(U)\capg^{-1}(V)\)是\(X\)中包含\(x_0\)的开邻域。下证\(W\subsetA^c\)：对任意\(x\inW\)，有\(f(x)\inU\)，\(g(x)\inV\)，而\(U,V\)无交，故\(f(x)\neqg(x)\)，即\(x\inA^c\)。这说明\(A^c\)中任意一点都存在包含自身的开邻域完全含于\(A^c\)，因此\(A^c\)是开集，进而\(A\)是闭集。证毕。2.证明：紧致拓扑空间的闭子集必紧致。解答：设\(X\)为紧致空间，\(F\subsetX\)为闭子集。任取\(F\)的一个开覆盖\(\mathcal{U}=\{U_\alpha\mid\alpha\in\Lambda\}\)，这里的开集是子空间拓扑下的开集。根据子空间开集的定义，对每个\(U_\alpha\in\mathcal{U}\)，存在\(X\)中的开集\(V_\alpha\)，使得\(U_\alpha=V_\alpha\capF\)。构造\(X\)的开覆盖\(\mathcal{V}=\{V_\alpha\mid\alpha\in\Lambda\}\cup\{X\setminusF\}\)。因\(F\)是闭集，\(X\setminusF\)是\(X\)的开集，故\(\mathcal{V}\)中所有集合均为\(X\)的开集。同时显然有\(\bigcup\mathcal{V}=X\)，即\(\mathcal{V}\)是\(X\)的开覆盖。由\(X\)的紧致性，\(\mathcal{V}\)存在有限子覆盖，不妨设为\(V_{\alpha_1},V_{\alpha_2},\dots,V_{\alpha_n},X\setminusF\)（子覆盖可不含\(X\setminusF\)，不影响结论）。此时\(\{U_{\alpha_1},\dots,U_{\alpha_n}\}\)覆盖\(F\)：任取\(x\inF\)，则\(x\notinX\setminusF\)，故存在\(k\)使得\(x\inV_{\alpha_k}\)，又\(x\inF\)，因此\(x\inV_{\alpha_k}\capF=U_{\alpha_k}\)。综上，\(F\)的任意开覆盖都有有限子覆盖，故闭子集\(F\)紧致。证毕。3.设\(X,Y\)为拓扑空间，\(f:X\toY\)是连续满射。若\(X\)连通，证明\(Y\)连通。解答：采用反证法。假设\(Y\)不连通，根据连通空间的定义，\(Y\)可以分解为两个非空不相交开集的并，即存在非空开集\(U,V\subsetY\)，满足\(U\cupV=Y\)，\(U\capV=\emptyset\)。因\(f\)是连续映射，开集的原像是开集，故\(f^{-1}(U),f^{-1}(V)\)均为\(X\)的开集。验证集合关系：\(f^{-1}(U)\cupf^{-1}(V)=f^{-1}(U\cupV)=f^{-1}(Y)=X\)；\(f^{-1}(U)\capf^{-1}(V)=f^{-1}(U\capV)=f^{-1}(\emptyset)=\emptyset\)。又\(f\)是满射，\(U,V\)非空，故\(f^{-1}(U),f^{-1}(V)\)均非空。这说明\(X\)可分解为两个非空不相交开集的并，与\(X\)连通矛盾。因此假设不成立，\(Y\)必连通。证毕。4.证明：第二可数的拓扑空间必是Lindelöf空间。解答：设拓扑空间\(X\)满足第二可数公理，即\(X\)存在可数拓扑基\(\mathcal{B}=\{B_n\midn\in\mathbb{N}\}\)。任取\(X\)的一个开覆盖\(\mathcal{U}\)。对任意\(U\in\mathcal{U}\)，根据拓扑基的定义，\(U\)可以表示为若干基开集的并，即存在\(\mathcal{B}\)的子集\(\mathcal{B}_U\)，使得\(U=\bigcup_{B\in\mathcal{B}_U}B\)。记\(\mathcal{B}_0=\bigcup_{U\in\mathcal{U}}\mathcal{B}_U\)，则\(\mathcal{B}_0\subset\mathcal{B}\)，因\(\mathcal{B}\)可数，故\(\mathcal{B}_0\)也是可数集，且\(\bigcup_{B\in\mathcal{B}_0}B=\bigcup_{U\in\mathcal{U}}U=X\)，即\(\mathcal{B}_0\)是\(X\)的可数开覆盖。对每个\(B\in\mathcal{B}_0\)，任意选取一个包含\(B\)的开集\(U_B\in\mathcal{U}\)，由此得到\(\mathcal{U}\)的可数子集\(\mathcal{U}_0=\{U_B\midB\in\mathcal{B}_0\}\)。显然\(\bigcup_{U\in\mathcal{U}_0}U\supset\bigcup_{B\in\mathcal{B}_0}B=X\)，即\(\mathcal{U}_0\)是\(\mathcal{U}\)的可数子覆盖。根据Lindelöf空间的定义，\(X\)是Lindelöf空间。证毕。二、简答题（每题8分，共32分）1.简述Hausdorff空间的核心性质，并给出一个非Hausdorff空间的例子。解答：核心性质：Hausdorff空间（T2空间）中任意两个不同的点，都存在各自的开邻域使得两个邻域互不相交。由此可推出两个关键常用性质：一是Hausdorff空间中收敛序列的极限唯一；二是单点集为闭集；三是前述真题用到的，相等映射集为闭集。反例：实数集\(\mathbb{R}\)上的余有限拓扑。该拓扑中所有开集为空集和全体有限集的补集。任取两个不同实数\(x,y\)，包含\(x\)的开集必为去掉有限个点的全集，必然包含\(y\)，因此不存在不相交的开邻域，不是Hausdorff空间。2.区分“局部紧致”与“整体紧致”，并说明\(\mathbb{R}^n\)的紧致性。解答：整体紧致：空间的任意开覆盖都存在有限子覆盖，是整体拓扑性质。局部紧致：空间中每一点都存在紧致的闭邻域，是局部拓扑性质。局部紧致不能推出整体紧致，整体紧致空间一定局部紧致。欧式空间\(\mathbb{R}^n\)不是整体紧致空间（可取无界开覆盖无有限子覆盖），但\(\mathbb{R}^n\)是局部紧致空间：对任意点\(x\in\mathbb{R}^n\)，以\(x\)为中心的闭单位球是紧致闭邻域，满足局部紧致定义。3.简述同伦等价与同胚的关系。解答：同胚是更强的拓扑等价关系，同胚一定同伦等价，反之不成立。同胚要求存在双向连续双射，保持所有拓扑性质；同伦等价只要求存在映射\(f:X\toY,g:Y\toX\)，使得\(g\circf\)、\(f\circg\)分别同伦于\(X,Y\)上的恒等映射，仅保持同伦群、连通性、紧致性（部分）等同伦不变量。典型例子：圆盘与单点同伦等价，但不同胚；球面与自身同胚且同伦等价。4.简述商映射的定义与核心性质。解答：定义：设\(f:X\toY\)是连续满射，若对任意子集\(V\subsetY\)，\(V\)是\(Y\)中开集当且仅当\(f^{-1}(V)\)是\(X\)中开集，则称\(f\)为商映射。核心性质：商映射是构造新拓扑空间的核心工具，可由原空间的等价关系生成商空间；商映射保持连续性（映射复合、开集闭集判定）；商空间的拓扑是使得商映射连续的最强拓扑。三、综合计算题（20分）设\(X=[0,1]\times[0,1]\)为单位正方形，定义等价关系：\((0,t)\sim(1,t),\forallt\in[0,1]\)。求商空间\(X/{\sim}\)的拓扑类型、基本群，并说明其紧致性与连通性。解答：1.拓扑类型判定将单位正方形左右两条边对应点粘合，得到的商空间为二维环面\(T^2=S^1\timesS^1\)，是典型的闭可定向曲面。2.紧致性与连通性原空间\(X=[0,1]^2\)是欧式空间中的有界闭集，根据Heine-Borel定理，\(X\)紧致。商映射保持紧致性，因此商空间\(T^2\)紧致。原空间\(X\)是连通空间，连续满射保持连通性，因此\(T^2\)连通。3.基本群计算根据乘积空间基本群公式：\(\pi_1(X\timesY,x_0\timesy_0)\cong\pi_1(X,x_0)\times\pi_1(Y,y_0)\)。圆周的基本群\(\pi_1(S^1)\cong\mathbb{Z}\)，因此环面基本群：\(\pi_1(T^2)\cong\pi_1(S^1)\times\pi_1(S^1)\cong\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}\)综上，该商空间为二维紧致连通可定向环面，基本群为整数加法群的直积\(\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}\)。四、附加题（10分，不计入总分，拔高拓展）证明：若\(X\)是连通Hausdorff空间，且任意两个不相交闭集有不相交开邻域，则\(X\)不可数。解答：该空间满足T4公理（正规空间），且连通、Hausdorff。采用反证法，假设\(X\)可数。单点集是Hausdorff空间的闭集，任取\(X\)中两个不同点\(x\neqy\)，则\(\{x\},\{y\}\)是不相交闭集，由正规性，存在不相交开邻域分离两点。可数的